книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

Учитывая равенства (118) и (119), получаем

где

о

М0

наибольшая величина дефекта модуля. Из уравнения для комплекс­ ного модуля с учетом уравнения (1 2 0 ) легко найти и внутреннее трение:

полученными выше при помощи реологической модели Зннера, если под М 2 понимать 7ИШ, а под М х модуль М0. Следовательно, все сказанное выше о формулах (78) и (91) относится и к формулам (121) и (122). Однако в отличие от формального описания при помощи реологических моделей на основе термодинамики можно выяснить физический смысл модулей М х и М 2 [см. формулы (119)1.

Для изотермического случая в формуле (116), если ее записать в тензорном виде [92, с. 27, 33], появится еще одна релаксационная поправка, учитывающая релаксацию теплового потока. Поправки, учитывающие релаксацию объемной вязкости и релаксацию темпе­ ратуры, имеют одинаковые времена релаксации и потому связаны с одним механизмом релаксации. Этим механизмом является пере­ мещение атомов или групп атомов, обусловливающих релаксацию объемной вязкости.

Поскольку такое перемещение осуществляется при наличии гра­ диента температуры, то, как это следует из термодинамики необра­ тимых процессов, поток вещества будет сопровождаться дополни­ тельным тепловым потоком. Очевидно, этот дополнительный тепло­ вой поток должен характеризоваться тем же временем релаксации, что и поток массы.

Учитывая это обстоятельство, а также то, что объемная релакса­ ция мала, можно две последние релаксационные поправки объеди­ нить (см. [92, с. 27 и 331) в одну. В результате такого объединения изменится смысл модуля К и коэффициента т].

70

Здесь а — коэффициент теплопроводности; сѵ— теплоемкость единицы объема вещества при постоянном объеме; Т 0— температура опыта; г) 0 и т2 — объемная вязкость и время объемной релаксации;'

система после полной релаксации вязкости может еще находиться в неравновесном состоянии, обусловленном наличием градиента температуры (или, наоборот, в зависимости от частотно-температур­ ной области, определяющей соотношение между временем релакса­ ции этих процессов).

Последовательное решение этого вопроса (см. [92, с. 27; 170]) приводит к появлению в выражении (116) температурного и деформа­ ционного слагаемых со временем релаксации т3.

Деформационное слагаемое, обусловленное дополнительным по­ током вещества, вследствие теплопроводности мало и потому им

где ct — скорость звука продольной волны; %— коэффициент тем­ пературопроводности; со — циклическая частота.

Зависимость т3 от частоты объясняется тем, что с ростом частоты сокращается размер областей, между которыми происходит релакса­

—ІО13 Гц. Таким образом, для всех практически, реализуемых ча­ стот (до 1010 Гц) сот3 > 1, и продольную волну можно считать адиаба­ тической.

Следовательно, для звуковых и ультразвуковых продольных ко­ лебаний можно поправку в уравнении (126) не учитывать.

Сдвиговая волна не производит изменения объема, а следова­ тельно, й теплового эффекта, поэтому термоупругое поглощение [поправка в уравнении (125)] не связано с этой волной. Однако

71

сдвиговая волна может испытывать дополнительное поглощение за счет другого теплового механизма — фононной вязкости. Фононы, т. е. кванты .звуковых волн, являются переносчиками тепловой энер­ гии тела. Они взаимодействуют друг с другом через нелинейные упругие свойства среды, что приводит к перераспределению энергии между сдвиговыми и продольными колебаниями. Так как фононы переносят энергию и импульс, то можно сказать, что они обладают эффективной вязкостью т]ф, которая обусловливает поглощение сдви­ говой волны и оказывает торможение на движущуюся дислокацию (см. гл. VII).

Для инфразвуковых и звуковых нзгибных колебаний стержней существенное значение имеет температурная релаксация, описан­ ная Зинером в работе [165]. Мы ее опишем в следующей главе, где будет рассмотрена ограниченная среда (стержни). На основании замечаний относительно тепловой релаксации вернемся к вопросу о затухании колебаний в неограниченной среде.

Учитывая поправку и принимая во внимание только что сказан­ ное относительно тепловой релаксации за счет основной теплопро­ водности (т3), можно легко найти не только Q~ 1 по формуле (125), но и коэффициент затухания а для поперечных и продольных волн [13].

Пусть поперечная упругая волна с частотой ш имеет волновой

вектор k (kx = k\ ky — 0 ; kz = 0 ), т. e. является плоской и рас­ пространяется вдоль оси X. Для одноосного, случая ее уравнение можно, как мы видели выше [см. (29)], записать так:

е = е0е‘' ш-кх)т

Подставляя е в выражение (116), найдем

Подставим теперь е и а в уравнение движения (166):

дге _ да Р dt2 ~~дГ‘

Значение квадрата волнового вектора, найденное с помощью последнего уравнения, будет равно

В предельном случае малых частот (MT-L 1 ), т. е. когда период звуковой волны велик по сравнению со временем релаксации, урав­

72

т. е. появляется затухание, обусловленное наличием сдвиговой вяз­ кости с коэффициентом

где скорость звука Ct равна

(133)

Как коэффициент поглощения, так и скорость звука для больших частот в первом приближении не зависят от частоты. Во втором приб­ лижении для обеих величин учет частотной зависимости обеспечи­

первое выражение в уравнении'(132).

Для продольной звуковой волны, решая задачу так, как это сде­ лано выше, найдем [13]

73

Мнимая часть выражения (136) с учетом выражений (127) и (135) дает коэффициент поглощения продольных волн

В области больших, но не гиперзвуковых частот-для всех времен релаксации выполняется условие COT2 > 1. В этом случае из равен­ ства (134) получим

в первом приближении дает константу, а слагаемое, обусловленное основной теплопроводностью, — квадратичную по частоте зависи­ мость, не отличающуюся от соответствующей добавки в выражении а], ибо в обоих случаях выполняется условие сот3 > 1 .

Подводя итоги изложенному,- можно сказать, что в неограничен­ ной среде для частот от инфразвука до гиперзвука существенное значение имеет вязкостная релаксация (сдвиговая или объемная), которая в случае однородных изотропных твердых тел характери­ зуется одним механизмом релаксации. Если этим механизмом яв­ ляется самодиффузия, заметно проявляющаяся при высоких темпе­ ратурах и низких частотах, то равновесное значение модуля сдвига следует положить равным нулю, так как при высоких температурах напряжения сдвига термодинамически неустойчивы [167]. При этом сдвиговые напряжения могут релаксировать полностью, а объем­ ные— частично.

Следовательно, для однородного изотропного тела в этом случае будет наблюдаться либо фон без пика (сдвиговая релаксация), либо пик без фона (объемная релаксация). Если же рассматривать другой релаксационный механизм (зернограничный, дислокационный и др.), не приводящий к полной релаксации сдвиговых напряжений, то равновесное значение модуля сдвига G следует сохранить.

Релаксационный пик и фон внутреннего трения при сдвиговых (например, при крутильных) колебаниях можно получить, если сдвиговые напряжения будут характеризоваться двумя временами релаксации, одно из-которых обусловлено самодиффузионным ме­ ханизмом.

74

Сравнение изложенной выше теории с опытными Данными, напри­ мер, для температурной зависимости амплитудонезависимого внутреннего трения металлов (см. рис. 43) убеждает нас в том, что теория может лишь качественно правильно описать эксперимен­ тальные кривые.

Неоднородные изотропные тела

Вопрос о размытии пиков на кривой Q~ 1 (Т) материалов можно рассмотреть следующим образом. Мы знаем, что реальные тела, как правило, неоднородны, и поэтому в условиях циклического деформирования релаксационные процессы будут протекать в раз­ ных местах тела с различной скоростью., Следовательно, поведение' неоднородного тела нельзя описать одним временем релаксации.

Для его описания необходим спектр (дискретный или непрерывный) времен релаксации.

Если изотропное тело неоднородно, его можно разделить на N таких частей, в каждой из которых материал можно считать одно­ родным и изотропным и, следовательно, подчиняющимся уравнению (116). Проведем усреднение (116) по всем частям N, обозначая усред­

Эта суммаимеет частный вид интегральной суммы Стилтьеса [171 ]. Переходя к пределу при N —>оо, получаем

00

интеграл Стилтьеса для одного из частных случаев [171, с. 111]. Интеграл Стилтьеса имеет смысл и для недифференцируемых функций X (s). Для дискретного спектра %(s) имеет разрывы, так как является ступенчатой функцией тип'а единичных функций (см., например, [172]). Поскольку производная единичной функции равна

75

6 -функции1, то с помощью 6 -функцйн происходит переход к дискрет­ ному спектру (см. • гл. IV).

Если функция %(s) непрерывна, то d% (s) = ф (s) ds, где ф (s) —

о

Введем интегральный оператор Лапласа L. По определению Лурье [172], действие оператора L на некоторую функцию ф (х) означает интегрирование произведения ехр (—рх) ф {х) в пределах от 0 до оо, т. е.

Спектр времен релаксации в твердом теле может быть обуслов­ лен не только разной скоростью протекания данного релаксационного механизма в различных участках неоднородного тела, но и наличием различных релаксационных механизмов. Если времена релаксации этих механизмов образуют непрерывный спектр, то рассуждения, подобные вышеизложенным, приводят нас вновь [168] к выражению (147).

Задач на рассеяние энергии колебаний в неоднородных изотроп­ ных телах решено немного (см. [165, 166, 174—177 и др. ]). В основ­ ном они касались межзеренн'ой диффузионной релаксации. Однако при этом либо не учитывались корреляционные эффекты между зернами неоднородностей [165, 166, 174], либо считалось, что смесь ңвляется поликристаллом, упругие свойства зерен которого опреде­ ляются лишь ориентировкой кристаллографических осей [175].

1 б-функцию можно определить по-разному и, в частности, как производную от разрывной функции %(s). См., например, [172] и [173].

2 Для неоднородного изотропного тела таких функций будет две: одна для.сдви­ говых времен релаксации, другая для объемных. В общем случае это будут разные функции.

76

В работе 1176] рассчитывается внутреннее трение в твердых те­ лах, являющихся смесями изотропных тел (например, материалы, полученные методом порошковой металлургии, если анизотропия отдельных спеченных зерен пренебрежимо мала) с учетом корреля­ ционных эффектов. На примере систем Си—Fe и Ni—Zn показано, что высота пика, обусловленного термоупругой релаксацией, у этих систем отличается, по крайней мере, на один порядок. Отмечается, что для объемных колебаний высота пика в обоих системах на. поря­ док больше, чем для сдвиговых.

Если в теле одновременно происходит несколько независимых релаксационных процессов (действует несколько механизмов, каждый из которых для изотропной среды описывается своей парой времен релаксации — по одному для сдвиговых и объемных напряжений), то внутреннее трение для случая, когда ядро релаксации описы­

). (ит/ ) 2

Заметим, что при одновременном протекании релаксации от раз­ ных причин и с разными тувнутреннее трение не всегда получается простым суммированием. Если один механизм релаксации влияет на другой, то результирующая релаксация может быть значительно больше, чем при простом наложении. О явлении связанных релакса­ ций более подробно будет сказано в гл. V.

4. Наследственная теория

Уравнение (149) можно обратить, выразив явно деформацию через напряжение:

t

77

Уравнения (149) и (151) аналогичны интегральным уравнениям Больцмана—Вольтерра. В случае одноосного напряженного состоя­ ния эти уравнения, полученные, как хорошо известно, на основе общих, не термодинамических соображений имеют вид [178]

— CO

Здесь уИсо— модуль упругости; /от — податливость в момент вре: меня, когда никакие процессы релаксации и последействия не успели пройти; к — коэффициент, зависящий от конкретного вида ядер.

Функцию ф ( і — t'), описывающую предысторию деформации, называют ядром последействия или ползучести, а функцию / [t— t’)— ядром релаксации, которая является резольвентой ядра ползучести. Она зависит не от абсолютного значения времени, а только от про­ межутка времени, прошедшего между моментом времени t' действия силы в прошлом и настоящим моментом t. Принятый в уравнениях (152) и (153) нижний предел интегрирования равным—оо охватывает всю предысторию тела от t = —оо, что, очевидно, возможно лишь теоретически. В действительности история начинается с некоторого определенного момента. При этом, если материал изготовлен так, что никакая деформация в нем не происходит до приложения внешних сил, интегрирование следует начинать с момента приложения на­ грузки. Этот момент принимается за начало отсчета и равным нулю. Однако при решении ряда задач (см. ниже) оказывается удобнее оставить нижний предел интегрирования равным —оо. Совершенно очевидно, что интегральное уравнение (152) с экспоненциальным ядром сводится к линейному дифференциальному уравнению с по­ стоянными коэффициентами, т. е. получается та или иная реологиче­ ская модель с упругими и вязкими элементами. Мы их рассматривали выше и убедились в том, что согласие теории с опытом лишь каче­ ственное. Чтобы получить лучшее согласие теории с опытом, выберем в качестве ядра релаксации не экспоненту в формуле (152), а какую-

обращающееся при t — t’ в бесконечность, если у < 1. При у = Г функция (154) превращается в экспоненту (150) и при t — V обра­ щается в единицу, т. е. не имеет никаких особенностей. Однако резольвенту ядра (154) найти не удалось, и для интегрального уравнения (152) с ядром (154) нельзя составить эквивалентного ему дифференциального уравнения.

78

Работнов (1958 г.) построил класс функций, которые можно на­ звать экспоненциальными функциями дробного порядка. Если использовать их в качестве ядра f (t — t'), то построение резольвенты cp {t — t') не встречает трудностей. Она будет выражаться через функцию того же класса по весьма простым правилам. Функция Работнова имеет вид

ρτ= 0

Здесь по сравнению с обычной записью [164] сделана замена ß —>—т и а —>у — 1; Г [у (п + 1)] — у-функция. Обладая особенностью при t — t' = 0, ядра Работнова позволяют достаточно хорошо описывать неупругое поведение реальных тел. Нетрудно показать, что интегральные уравнения (149), (152) с ядром (155) эквивалентны реологическому уравнению стандартного линейного тела с дробными производными по времени

Действительная и мнимая части комплексного модуля равны:

Положение пика внутреннего трения на оси сот зависит от дефекта модуля и параметра у. Эта зависимость в данном случае определяется формулой

которая при у = 1 переходит в формулу. (1 2 2 ).

79