книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

то результаты остаются справедливыми для всех частот. Очевидное решение

Полагая, что вклад во внутреннее трение, определяемое выраже­ нием Q-1 = AW!2nW от членов более высокого порядка, чем п = О, незначителен, Гранато и Люкке в дальнейшем используют только

Если внутреннее трение Q-1 и коэффициент затухания считать связанными уравнением (38), а дефект модуля А0 полагать равным 2 (ѵ0— ѵ)/ѵ0, то из выражений (523) и (524) легко найти, учитывая,' что AQ и Аа малые величины, следующие формулы:

180

Как видно из формул (523) и (526), потери имеют резонансный характер. Они максимальны вблизи резонансной частоты, которая равна

линейно почти до резонансной частоты, проходит через максимум, острота которого зависит от величины В, и затем уменьшается как со-3.

Для большего затухания (D < 1) начальная зависимость Qf1 линейна вплоть до максимума, имеющегося при частоте, меньшей, чем со0. В области со0 декремент изменяется обратно пропорционально первой степени частоты и затем падает как со-3. - .

Для количественного сравнения теории с опытом Гранато и Люкке исходят из величин I = 10_6ч-10~3 см, В = 5 • 10“3-г-5 ■ІО-5, Л = ІО7.

При этих значениях I и В частота ю0 лежит в гиперзвуковом диа­ пазоне частот. Очевидно, что потери в твердом теле, обусловленные данным механизмом, следует искать не ниже, как в мегагерцевом диапазоне частот, где они независимо от величины В будут расти пропорционально частоте. При частотах 1—ІО4 Гц внутреннее тре­ ние (526) пренебрежимо мало.

Вреальном твердом теле дислокации имеют не одну и ту же длину;

аобнаруживают какое-то распределение по длинам. Так как Qf1 зависит от I, то конечные результаты должны зависеть от характера распределения. Гранато и Люкке исследовали различные типы рас­ пределений и нашли, что для них качественные результаты изме­

няются незначительно, за исключением того, что на' резонансной частоте нет очень большого увеличения декремента при малом зату­ хании, если имеется распределение по длинам, отличное от'6-рас- пределения, использованного при выводе формул (523) и (526). Де­ тальное сравнение указывает на возможность хорошего описания результатов при наличии распределения длин путем введения по­ нятия об отрезках одинаковой эффективной длины.

Найдено, что эффективная длина Ьс для экспоненциального или квадратичного распределения соответственно в 3,3 и 1,5 раза больше средней длины. Этот результат очень полезен, так как позволяет рассматривать влияние различных типов распределения только с точки зрения различия эффективных длин. Кроме того, значительно упрощается математический анализ. ■

181

В случае, если Имеется распределение N (/) длин дислокаций, внутреннее трение определяется выражением

0 0

Гранато и Люкке использовали функцию (510), предложенную Келером, введя в нее среднюю величину отрезка между точками закрепления L = Ыс\ при этом Nb = А.

Вычисления по формуле с учетом распределения длин в предпо­ ложении, что соId С К дают

Сравнивая формулы (512) и (532), убеждаемая лишь во внешнем

Правая часть уравнения (533) в функции частоты имеет релакса­ ционную форму. Однако т неэкспоненциально зависит от темпера­ туры. Температурная зависимость обусловлена главным образом предполагаемой температурной зависимостью В (см. ниже).

Под действием достаточно больших напряжений дислокации могут отрываться от закрепляющих их примесных атомов. Напряжение, при котором происходит отрыв, пропорционально максимальной ве­ личине силы связи атома с дислокацией fm и обратно пропорцио­ нально сумме расстояний от данной точки закрепления до соседних. Поэтому процесс отрыва носит лавинообразный характер, т. е. при напряжении, достаточном для отрыва от одного из атомов, располо­ женных на каком-либо участке линии дислокации между двумя сильно закрепленными узлами сетки, освобождается весь этот уча­ сток. Когда происходит процесс отрыва, распределение N (I) изме­ няется и, таким образом, оно является функцией приложенного на­ пряжения.

Полагая далее, что функция N (I) изменяется от начального экс­ поненциального распределения (510), где L — Ьс при малых дефор­ мациях к 6-распределению (все петли имеют одну и ту же длину LN) при очень больших деформациях, когда все сегменты отрываются

182

Гранато и Люкке вводят функцию распределения N' (/) dl для промежуточных деформаций и с ее помощью получают

Учитывая А0, С [см. (506)] и пренебрегая единицей в скобке, запишем

Рис. 85. Модель Гранато—Люкке (а), видоизмененная ограничивающим влия­ нием примесей (Шварц—Внртман), и зависимость ед от а для видоизмененной

модели (б)

Формула (538) написана для случая сдвигового напряжения ст0, приложенного в плоскости скольжения '(рис. 85).

Для продольных колебаний

множитель, учитывающий ориентацию направления распространения продольной волны по отношению к плоскости и направлению скольжения в кристалле; .

аналогичными уравнениями (538) и (539).

Таким образом, на ранних стадиях отрыва, т. е. когда амплитуда приложенного напряжения не слишком высока и отрыв от точек закрепления происходит лишь у малой части из общего числа дисло­

183

дислокации при рассеянии фононов приводит к «флаттер-эффекту». Поэтому простое суммирование вкладов таких механизмов в рассеяние энергии является незаконным.

Фононные эффекты, связанные с рельефом Паііерлса, оценены в работах [87, 280].

При низких температурах (порядка гелиевой) эффективность фононного вклада в торможение дислокаций понижается и основная роль в рассеянии энергии движу­ щейся в металлическом кристалле дислокации принадлежит взаимодействию ее упругого поля с электронами проводимости. Изменение во времени локальной де­ формации, вызванное перемещением дислокации, приводит к релаксационному про­ цессу перехода системы электронов к новому равновесному распределению. Иссле­ дованию электронного торможения дислокаций посвящена серия работ Кравченко [281 ]. Расчет взаимодействия электронов, находящихся вблизи поверхности Ферми, с полем дислокационной деформации в рамках линейной теории упругости (нели­ нейные эффекты, связанные с ядром дислокации не рассматриваются) показал, что коэффициенты электронной вязкости для краевых и винтовых дислокаций, соответ­ ственно имеют вид

где V — коэффициент Пуассона; d|{ и dB— удвоенный радиус ядра соответственно краевой и винтовой дислокаций; п — число электронов проводимости в единице

объема недеформируемого металла; |х0 — химический потенциал электронов; ѵ — абсолютная величина скорости электронов вблизи поверхности Ферми.

Используя струнную модель дислокации Гранато и Люкке, можно найти декре­ мент затухания, связанного с взаимодействием ультразвуковой волны с упругим полем краевой дислокации [281]:

локации; с — линейное натяжение); N — плотность дислокаций; <р — угол между направлением движения дислокаций и направлением распространения ультразву­

отсутствие затухания. Для чисто дислокационного вклада в затухание ультразвука можно использовать результаты теории. Гранато и Люкке (или аналогичных ей тео­ рий) с той лишь разницей, что константы затухания должны иметь вид (544).

Экспериментально электронный вклад в торможение дислокаций обнаружи­ вается при исследовании пластических свойств металла при переходе его в сверх­ проводящее состояние [282—285], поэтому представляет интерес исследование за­ висимости электронного торможения дислокаций от приложенного магнитного поля. Расчет, проведенный в последней работе [281], показывает, что сила электронного торможения F медленных (У < Ь/%) дислокаций пропорциональна их скорости У

т. е. зависимость F = F (У) имеет максимум при Ут— 1. Согласно имеющимся экспериментальным данным с теоретическими оценками [281, 286, 287], выполнен­ ными для Я = 0, объясняется, очевидно, использованием слабых магнитных полей.

185

В теории К—Г—Л все примесные атомы оседали на Дислокациях и игралй роль неподвижных точек закрепления. Более вероятно, что примеси беспорядочно рас­ пределены по всему материалу и не обязательно в плоскости скольжения (см. рис. 85). Иначе говоря, можно считать, что каждая дислокация окружена облаком примесей (облаком Коттрелла). При медленном движении дислокации облако перемещается вслед за дислокацией диффузионным образом. Отставание облака от дислокации при­ водит к появлению силы торможения, которая может быть найдена решением урав­ нения диффузии примесей в упругом поле движущейся дислокации. Сила трения при этом оказывается пропорциональной скорости при малых скоростях, а при больших она убывает. Последнее отражает очевидный факт отрыва дислокации от облака.

При высоких скоростях движения дислокаций перераспределение точечных де­ фектов в объеме кристалла путем восходящей диффузии в поле дислокационных на­ пряжений становится малоэффективным и основную роль в диссипации энергии на­ чинают играть фононные процессы. Движущиеся дислокации возбуждают локальные и резонансные колебательные уровни примесных атомов, теряя при этом часть своей энергии, в результате чего возникает сила сопротивления движению дислокаций, слабо зависящая от температуры [288—291]. Расчеты такого динамического тормо­ жения дислокаций должны основываться на конкретной структуре фононных спек­ тров реальных твердых тел.

В работе Нацика и Миненко [292] изучен механизм динамического торможения скользящих дислокаций за счет возбуждения колебаний дислокационных сегментов, закрепленных узлами сетки Франка, точечными дефектами или другими стопорами [293]. Этот механизм существенно отличается от известных механизмов торможения статического характера, к которым, например, относятся сопротивление движению дислокаций со стороны квазипериодического рельефа внутренних напряжений и тор­ можение, возникающее за счет непосредственного пересечения дислокационных сег­ ментов. Взаимодействие упругого поля движущейся дислокации с полями закреп­ ленных на концах дислокационных сегментов приводит к колебательному движению последних, что в свою очередь возмущает движение скользящей дислокации, созда­ вая сопротивление ее перемещению. Величина силы этого сопротивления в значи­ тельной степени определяется дислокационной структурой кристалла: плотностью дислокаций, размерами дислокационных сегментов, блочной структурой и т. д. Авторы работы [292], качественно исследовав зависимость силы торможения дисло­

линейное натяжение). Видно, что в случае почти изотропной дислокационной сетки (ЛL3 — 1) сила f (К) мало отличается от силы торможения в бездислокационном кристалле. Однако в случае сильно анизотропной сетки дислокаций (ЛL2 > 1, поскольку длины дислокационных сегментов, лежащих в некоторых плоскостях,

могут значительно превышать среднюю длину Л-1/2) возможносущественное увели­ чение демпфирования.

Следовательно, торможение дислокаций, обусловленное взаимодействием с окру­ жающими точечными дефектами, играет существенную роль в области низких и сред­ них частот. Взаимодействие зависит от характера искажений решетки вокруг при­ месей.

Если упругие искажения вокруг примесных атомов обладают той же симметрией, что и симметрия кристаллической решетки, то в линейном приближении эти дефекты взаимодействуют только с нормальным напряжением. Если симметрия искажений вокруг атомов примеси более низкая, чем симметрия кристаллической решетки, то такие дефекты будут взаимодействовать также и со сдвиговыми напряжениями. Последние'дефекты можно рассматривать как упругие диполи, а кристалл в целом как параупругую'среду. Параупругие примеси создают облака механической поля­ ризации, представляющие собой частично упорядоченное распределение упругих

186

диполей по ориентациям в полях напряжений вокруг дислокаций. При движении дислокации, окруженной облаком поляризации, на нее действует тормозящая сила. 1 Расчет зависимости силы торможения дислокации облаком поляризации дает ли­ нейную зависимость'при малых скоростях и слабое убывание при больших скоростях [294], а также [588].

Анализ внутреннего трения, связанного с силами торможения, выполнен в ра­ ботах [88, 295—298].

Например, в работах [298] рассмотрено внутреннее трение, обусловленное диф­ фузией атомов примеси в поле напряжений краевой дислокации, совершающей ко-

On'p

лебания в плоскости скольжений под действием гармонической внешней силы.

В отличие от аналогичного рассмот­ рения Кеслера [295] тормозящая сила,

действующая со стороны облака на і ислокацию, не считается малой. Амплитуднонезависимое внутреннее трение для случая высоких частот определяется формулой [295]

Здесь с0 — равновесная концентрация примесей при отсутствии сдвиговых на> пряжений; D — коэффициент диффузии примесей. Коэффициент х. согласно Ке­

примесей и от свободной длины дислокации имеет более сложный характер, чем это получено у Кеслера [295]. При больших концентрациях примеси внутреннее тре­ ние обратно пропорционально концентрации и не зависит от свободной длины дисло­ кации. В случае малой концентрации примесей первым членом в скобках в уравне­ нии (549) можно пренебречь и для высоких частот получается формула, близкая к формуле Кеслера.

Если взаимодействие дислокации с примесью слабое, то внутреннее трение удается [298] рассчитать в более широком диапазоне частот.

187

На рис. 87 показана зависимость, внутреннего трения от частоты при различных значениях параметра /і. Из сравнения кривых с релаксационным пиком, характери­ зующимся одним временем релаксации (пунктирная кривая), видно, что форма кри­ вых Q'1 (со) может быть объяснена только наличием спектра времен релаксации.

Поскольку п;=»с0, то рис. 87 иллюстрирует концентрационную зависимость внутреннего трения. При малых концентрациях примесей, когда п < 1, максимум внутреннего трения растет пропорционально концентрациям.

При больших концентрациях пик внутреннего трения при увеличении концен­ трации смещается в сторону более низких частот, причем величина его почти не за­ висит от концентрации.

Как видно из рис. 86, значения функций (а) и f2 (а), рассчитанные в прибли­ жении слабого взаимодействия, отличаются от их точного значения для а<=; I на

5320%. В областях вблизи ядра дислокации, где взаимодействие наиболее сильное, время диффузионной релаксации минимально, что приводит к тому, что максималь­ ная ошибка рассмотренного приближения должна быть при высоких частотах; при

= 2b это условие выполняется для алюминия при температуре выше 200° С, для меди — выше 300° С, для свинца — выше 80° С.

В этой же работе дана оценка величинымаксимума внутреннего трения для меди. При выбранных с0 [—10~2% (от.)], I (—10~4 см), а («=*1), Т (—500° С) эффективная

плотность дислокации В2Л«* 107 см~2, п«э 17 и Q~*x 3-10 3, что совпадает по

порядку величины с максимумом примесного пика. Приняв для коэффициента диф­ фузии примесей при 500° С величину D 10~іа см2/с, авторы находят, что пик вну­ треннего трения будет приходиться на частоту 1 Гц.

Проведенный авторами [298] расчет внутреннего трения сделан в пренебрежении силами инерции. Это правомочно, так как сÜ0ÄS 10+1° = 10+и с -1. Учет инерцион­ ных сил необходим лишь для очень высоких частот.

При сильных взаимодействиях (а > 1) для ненасыщенных атмосфер Коттрелла внутреннее трение в пренебрежении размытия пика определяется одним временем

Из последней формулы видно, что энергия активации пика равна сумме актива­ ции диффузии примеси U и максимальной энергии взаимодействия дислокации с при­ месным атомом. Это позволяет воспользоваться рассмотренной выше моделью для объяснения пика Сноека—Кэ (см. гл. II), приняв, что он обусловлен взаимодействием дислокаций с атомами углерода (или азота).

Действительно, энергия активации этого пика составляет —1,5 эВ и значительно превышает энергию активации диффузии углерода в a-железе, равную —1 эВ. Раз­ ность 0,5 эВ может представлять собой энергию связи атома углерода с [дислока­ цией.

188

Из выражения (551) для температуры, при которой имеется максимум внутрен­ него трения, получим уравнение

Отсюда видно, что с ростом концентрации примеси температура пика Сноека—• Кэ должна увеличиваться, что и наблюдается экспериментально (см., например,

(см. рис. 29).

Наблюдаемый экспериментально сдвиг пика в сторону низких температур при увеличении степени деформации можно объяснить не только уменьшением расстоя­ ния между точками закрепления I, но и уменьшением концентрации с0 вследствие конденсации атомов примеси в облака Коттрелла вокруг новых дислокаций, обра­ зовавшихся в результате деформирования.

Недостатком рассмотренной выше теории является требование малости ампли­ туды колебаний дислокации (R С Rо)-

Другой подход к расчету торможения движущейся дислокации примесями был принят Шоеком [296] и Шиллером [297]. В этих работах облака примеси моделиро­ вались цепочкой атомов, расположенных на линии дислокации и жестко связанных с ней. '''

Для описания движения дислокации Шоек использовал модель Келера анало­ гично тому, как это делал Кеслер [295]. Внутреннее трение Шоек рассчитывал для двух случаев: когда амплитуда колебаний дислокаций велика и когда она мала по сравнению с межатомным расстоянием.

В первом случае скорость диффузии атома примеси под действием силы, прило­ женной к дислокации, а следовательно, и скорость перемещения дислокации опре­

где А/ — длина сегмента дислокации, приходящаяся на один атом примеси. Вели­ чина А/ обратно пропорциональна концентрации примесных атомов вблизи дисло­ кации.

Решение уравнения движения (504), когда А = 0 (силами инерции Шоек пре­ небрегает), с учетом выражения (553) позволяет найти усредненное по длине от­ резка дислокации I ее смещение | из положения равновесия. Зная £ как функцию I приложенного напряжения о и частоты а, легко получить

9nR2ck TC ll

(555)

ІбѴзйЬЮ '

Здесь Rc — эффективный радиус области, в которой примеси можно считать жестко

функция распределения длин г = 1//0; /0 — равновесная длина. Геометрический фактор Q «г 0,1. ’

Если распределение имеет вид б-функции, т. е. N (z) — б (1—г), то выражение (554) описывает процесс, характеризующийся одним временем релаксации.

189