книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

Учитывая уравнение (161) из формулы (160), найдем, что высота пика внутреннего трения равна

В случае стандартного линейного тела из выражения (162) сле­ дует формула (90).

На рис. 44 сопоставляется экспериментальная кривая Q- 1 (Т) алюминия для зернограничной релаксации с теоретическими кри­ выми, полученными из уравнения (160) при различных значениях

что с точностью до константы совпадает с формулой Q- 1 = (сот)-"'’, предложенной в работе [185] для описания дислокационного фона внутреннего трения металлов и уточненной (в смысле некоторого обоснования ее вывода) в работе [186]. Вопрос о возможности ис­ пользования формулы (164) по всей области частот (и температур) будет обсужден позже (см. гл. V).

§0

5. Анизотропные тела

Связь между тензором напряжений о.к и тензором деформации г1т для равновесных состояний монокристалла дается законом Гука [166]:

где ХіЫт— тензор модулей упругости (изотермических для инфразвуковых частот и адиабатических для ультразвуковых н гиперзву­ ковых частот). Для описания неупругнх явлений (без учета теплопро­ водности) необходимо ввести, как мы говорили выше, тензор релакса­ ции tlk, который характеризует отклонение состояния систем от равновесного значения. Повторяя рассуждения, изложенные ранее, можно получить

где FMm — ядра релаксации; по дважды встречающимся значениям производится суммирование. Уравнение (166) впервые получено Вольтерра [178] на основе теории линейных функционалов.

На основе термодинамической теории сходные уравнения полу­ чены в работе [187]. Там же показано, что при экспоненциальных ядрах релаксация компонент тензора напряжений к своим равновес­ ным значениям не следует простому экспоненциальному убыванию до равновесного значения, как то характерно для изотропной среды, а определяется всей совокупностью времен релаксации хік. Таким образом, в общем случае релаксация напряжений однородной ани­ зотропной среды определяется шестью временами релаксации хік, соответствующими шести независимым компонентам тензора напря­ жений.

Уравнение (168) можно обратить, выразив явно тензор напряже­ ний через тензор деформации:

Некоторые конкретные примеры решения задач по рассеянию энергии колебаний в монокристаллах будут рассмотрены в гл. V. Сзадачами по рассеянию энергии колебаний в поликристаллах можно ознакомиться в работах [188; 9, с. 229, 239 и др. ].

Из всего изложенного следует, что термодинамическая теория позволяет обосновать общую линейную связь между напряжением и деформацией и достаточно точно описать характер температурной и частотной зависимостей внутреннего трения, дефектов модулей и т. д. Однако при помощи уравнений (152), (153) и (166), (167) нельзя опи­ сать амплитудную зависимость этих величин (в силу их линейности!)

и их зависимость от времени, часто наблюдаемую на опыте. Тот факт, что ядра ползучести и релаксации зависят от разности t — t', ука­ зывает на неизменность свойств материала во времени; начало от­ счета времени можно изменять произвольно, результаты, при этом остаются одни и те же.

Для описания свойств стареющих материалов ядрэ должны быть приняты функцией аргументов t и t' по отдельности.

Амплитудную зависимость внутреннего трения можно учесть, например, в рамках нелинейной теории вязко-упругости, которая, к сожалению, находится еще в стадии разработки [189]. Можно ее учесть и путем выяснения характера зависимости времени релакса­ ции от амплитуды деформации, как это сделано в работе Фастова [92, с. 31 ]. Фастов ввел еще один тензор — тензор остаточных де­

формаций еік. Кроме этого, он использовал уравнение для устано­ вившейся ползучести, которое рассматривается в микроскопической теории ползучести. В результате он получил выражение для времени релаксации, которое для одноосного напряжения имеет вид

2GAsh Wуа

Здесь А и у — константы уравнения ползучести.

Наконец, можно решить вопрос амплитудной зависимости вну­ треннего трения методами нелинейной теории упругости," опираясь на опытные данные.

Сначала полезно рассмотреть случай линейных колебаний (см. раздел 6 ), а затем нелинейных (раздел 7). Будем рассматривать, для простоты задачу о колебании механической системы с одной сте­ пенью свободы, к которой могут быть сведены многие реальные системы.

Приемы приведения реальных механических систем к указанно^ расчетной схеме хорошо известны [190].

6. Линейные колебания. Резонансные потери

Свободные колебания

Задачи, которые рассматриваются в теории линейных колебаний, как хорошо известно,-, приводятся к изучению дифференциального уравнения

82

Решение уравнения (169) представляется суммой решения одно­ родного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного, уравнения. Если предположить, что свободные колебания имеют вид (175), то решение уравнения (169), где Р (t) = b cos со£, легко полу­ чить в виде

Таким образом, искомое движение получают сложением свободных колебаний и так называемых вынужденных колебаний, которые воз­ никают от действия внешней силы. По истечении достаточно боль­ шого промежутка времени свободные колебания практически пре­ кратятся (s > 0 ) и будут происходить лишь вынужденные колебания с амплитудой

Сдвиг фазы ер вынужденных колебаний относительно фазы внеш­ ней силы Р (t) определяется соотношениями:

Работа, производимая силой Р (t) в течение периода Т, дается

выражением

т

(181)

С другой стороны, если величина ф мала, можно принять энергию колебаний системы W — ab.

Тогда

Нетрудно показать, что резонансное поглощение (182) как функ­ ция частоты со имеет максимум

и не зависит от амплитуды внешней силы.

84

На рис. 45 представлена зависимость Q_i от со/со0 при различных s/co0. Как видно, изменение s существенно влияет на форму резонанс­ ного пика: В случае релаксационного поглощения [см. формулы (78), (1 2 1 )] изменение s приводит к сдвигу максимума, но форма пика не претерпевает значительного изменения. Следовательно, чтобы отли­ чить релаксационное затухание от резонансного, необходимо ис­ следовать, как влияет на затухание изменение s, вызванное, напри­ мер, изменением температуры тела. Изменение температуры сильно влияет на релаксационное затухание [см. формулу (93) ] и мало

влияет на резонансное поглощение в силу медленного падения соо =

Если при фиксированном s величины т и ß стремятся к бесконеч­ ности, то CÖQ= klm стремится к нулю, так что — х = —s.

Решение этого уравнения имеет типичный релаксационный вид:

Обратимся теперь к построению петли гистерезиса для случая,

когда со Ф со0. Сумма сил упругого kx и вязкого ßx сопротивлений для установившиеся вынужденных колебаний [см. (178) ] равна

Исключив время t из уравнения (178), которое для установив­ шихся вынужденных колебаний будет иметь вид

X = а cos (co^ — cp),

и уравнения (185), получим

85

Петля динамического гистерезиса имеет форму эллипса (рис. 46). Полуоси, измеренные в направлениях координатных осей, состав­ ляют а и ßcoa. Соответственно этому площадь петли гистерезиса равна

Заменив в (181) амплитуду b и фазовый угол ср по формулам (179) и (180), можно легко убедиться в том, что ДЦ7 = S. Следова­ тельно, поглощение энергии колеба­ ний можно определить по площади

петли гистерезиса.

7.Нелинейные колебания

Вдействительности вязкие силы и восстанавливающие силы часто

Петли гистерезиса для таких систем получаются не эллиптиче­ скими, а с острыми вершинами и косой симметрией [2, 191 ]. Площадь петель пропорциональна не квадратам, а другим степеням ампли­ туды деформации и часто почти не изменяется с частотой, начиная от со «=: 0 (статические испытания) до частот в несколько десятков килогерц. Последнее обстоятельство и особенно наличие статических петель гистерезиса как будто указывают на отсутствие прямой связи между внутренним трением и скоростями деформации. Опытные дан­ ные [192 ] позволяют связать внутреннее трение в этих случаях только с напряжением. Возможность таких случаев вытекает из следующих рассуждений.

Пусть при нагружении каждому напряжению соответствует дефор­ мация, мгновенно (со скоростью, не превышающей скорости звука) принимающая постоянное значение. После достижения определенной максимальной деформации нагрузка снимается. Предположим, что каждому значению убывающего напряжения соответствует определен­ ное мгновенно установившееся значение деформации, отличное, однако, от соответствующего значения при нагружении. После снятия нагрузки остается постоянная остаточная деформация, которую можно довести до нуля, только приложив силу в противоположном направлении. Для этого случая соотношение напряжение — дефор­ мация представляет многозначную функцию (рис. 47). Физически это означает, что при нагружении (и разгрузке) происходит необра­ тимое изменение состояния тела. Механизмы затухания этого типа называют статическим гистерезисом [83]. Они исключительно раз­

86

нообразны и не поддаются такому простому математическому опи­ санию, как релаксационные явления (см. гл. V). Явления статиче­ ского гистерезиса возможны при больших (приводящих к микро­ скопической деформации) и при малых [результат особой атомной или магнитной перестройки) (см. гл. V) ] амплитудах.

Величина затухания характеризуется по-прежнему величиной, выраженной уравнением (2). Очевидно, что эта мера дает интеграль­ ную оценку относительного рассеяния энергии за цикл и выражает площадь (AW = S) петли гистерезиса, но не описывает ее формы. Из-за малой ширины петли гистерезиса [для металлов площадь петли

нам решить эту очень важную задачу. Это обстоятельство открыло широкий простор для различных умозри­

тельных предположений относительно закона вязких и восстанав­ ливающих сил, поскольку форма петли при решении конкретной задачи о колебании системы выбирается в значительной мере про­ извольно [192—195].

Гистерезисные потери ч

Уравнение колебаний системы с одной степенью свободы имеет вид (180). Перепишем его в другом виде, более удобном для анализа, при этом имея в виду только моногармоническое воздействие:

денные значения коэффициента жесткости и массы соответственно; h — отнесенная к единице массы амплитуда внешней моногармони­

ческой силы; Ф (х, X, а) — функция, определяющая петлю гисте­ резиса.

Для решения уравнения (189) можно использовать два приема. Один из них основан на том предположении, что силы, обусловлива­ ющие гистерезис, вносят малую поправку в законы*Гука и Ньютона

87

В результате Громоздких вычислений для внутреннего трений, за меру которого принята величина, обратная добротности колеба­ тельной системы, получается следующая формула [196]:

зисной петли не влияет на величину внутреннего трения, если коэф­ фициенты разложения ее в ряд Фурье (С и D) не зависят от.амплитуды колебаний; 2 ) высшие гармоники могут привести к частотной зависимости гистерезисного внутреннего трения, которая опреде­ ляется (рис. 48) амплитудной добавкой ах!ай.

Для иллюстрации изложенных выше расчетов рассмотрим кон­

Здесь [Xи /г — коэффициенты, значение которых определяется фор­

мой петли; sign — знак, равный +1, если х >> Ѳ, и —1, если л; < 0. Для функции Ф, заданной выражением (191), коэффициенты раз­

ложения в ряд Фурье имеют вид

Для внутреннего трения в этом случае (см. [196]) имеем формулу

В качестве численного примера рассмотрим сталь. Для нее п = 2, [X= 18,6. Учитывая, что р.а0 <С 1, рассмотрим лишь a ja Ö.Приведен­ ная на рис. 48, а частотная зависимость относительной величины амплитудной добавки в очень узкой области резонанса первой гар­ моники достигает 20%. Для упругих частот эта добавка значительно меньше и принимает положительные и отрицательные значения.

Рис. 48, б иллюстрирует частотную зависимость фазовой.добавки

89