книги из ГПНТБ / Постников В.С. Внутреннее трение в металлах

Другой коэффициент а х на рис. 56 не поместился, так как является непосредственным продолжением кривых 4 и 6 в соответствующие стороны от области апериодичности.'

Наконец, на рис. 57 показаны относительные вклады Нг/Н3 коэффициентов уг в общее движение для области апериодичности. Как видно из рис. 57, только в небольшой области, примыкающей к правой асимптоте, могут быть существенны все три значения уг. Ширина температурной области определяется выражением (277), где Л (In т) — отрезок по оси абсцисс, для которого амплитуды Нг имеют, одинаковый порядок величин. Например, для k l u ^ ІО- 4

чески можно пренебречь наибольшим из коэффициентов затухания ух (кривая 4). Коэффициенты у2 (кривая 5) и у3 (кривая 6) вносят одинаковый вклад в движение, и поэтому зависимость угла закру­ чивания от времени характеризуется суммой двух экспонент с раз­ ными коэффициентами затухания, что следует иметь в виду при ана­ лизе экспериментальных данных, так как наличие двух различных коэффициентов затухания может создать впечатление существования двух релаксационных процессов, тогда -как в данном случае заранее предполагается наличие одного физического механизма.

Модель Алфрея—Кобеко

Как мы видели выше, одновременно пик и фон можно описать моделью Алфрея—Кобеко, характеризуемой двумя временами ре­ лаксации при равенстве нулю равновесного модуля сдвига. Если Gi) =h 0 , то получаются два пика,

Ш

При этом нерелаксированный модуль Gm= Gx -j- Ga. Решение урав­ нения (284) с условиями (234) будет

Рассмотрим поведение внутреннего трения. В области релакса­ ционного пика и соответствующей ему области апериодичности поведение коэффициентов затухания аналогично модели Зинера. В области фона поведение коэффициентов затухания такое же, как и для модели Максвелла.

Из анализа решения (285) вытекает, что

tg cp, рассчитанного по формуле (99) с учетом изменения собственной частоты, взятой из решения рассматриваемой краевой задачи. Как видно из рис. 58, температурная зависимость квадрата собственной частоты (кривая 3) представляет собой два плато и две области резких релаксационных спадов. Участки плато получились вследствие игно­ рирования температурной зависимости Gyнерелаксационной при­ роды. Учет температурной зависимости G; дает вместо участков плато

участки медленного уменьшения cof с ростом температуры, что со­ гласуется с экспериментальными данными. Корректировка кривой tg ф на изменяющуюся частоту за счет первого релаксационного спада приводит к сдвигу пика внутреннего трения в область более низких температур, что находится в соответствии с часто используемым экспериментальным правилом: уменьшение частоты эквивалентно повышению температуры.

На рис. 59 приведены результаты решения краевой задачи для первой гармоники. Для сопоставления представлена скорректиро­ ванная реологическая кривая 3 внутреннего трения tg ф. Как видно

Ш

из рис. 59, кривые tg ср и бх/я совпадают, за исключением небольшой температурной области вблизи максимума релаксационного пика, где (б1/эт)шах несколько больше (tg cp)max. Это расхождение, соответ­ ствующее •—-ІО%, не связано с игнорированием высших гармоник,

анаходится в полном согласии с расхождением, рассмотренным выше для модели Зинера. Показанное на рис. 59 несовпадение кривых фона максвелловской и алфреевской моделей обусловлено тем, что

впервом случае фон получается за счет релаксации всего модуля G,

аво втором случае — за счет релаксации его части V3G. Это при­ водит к изменению частот и, следовательно, к сдвигу кривых фона, как это и видно на рис. 59. Температура, определяющая переход

колебаний в апериодическое движение, одинакова в обоих случаях и, как уже отмечалось, не определяется точкой плавления образца, а зависит еще, кроме физических свойств материала, от геометрии системы.

Для того чтобы проследить поведение модели Алфрея—Кобеко в области фона, на рис. 60 внутреннее трение взято в логарифми­ ческом масштабе. Здесь кривая 1 для tg ср построена без учета изме­ нения частоты, а кривая 2 для бх/п представляет результат решения краевой задачи.

Как отмечалось выше, корректировка кривой 1 на изменяющуюся частоту совместит ее с кривой 2, однако расхождение в области пика, составляющее —10%, не изменится. В области непосредственной близости к области апериодичности расхождение между кривыми 1

и2 связано с тем, что в результате полной релаксации за счет второго механизма собственная частота колебаний резко убывает до нуля,

алогарифмический декремент стремится к бесконечности. Это рас­ хождение аналогично рассмотренному выше для среды Максвелла

идля него справедливы прежние выводы.

На рис. 60 еще сопоставлены графики квадрата собственной частоты (кривая 3) и динамического модуля (кривая 4), полученного

по реологической формуле (98). Квадрат собственной частоты рассчи­ тан по решению данной краевой задачи.

В области первого релаксационного спада, когда шт2 ^ 1, раз­ личие между кривыми 3 и 4 (рис. 60) при G2 = V3 (Gj -f- G3) незна­ чительно и на рисунке не изображено, так как это не имеет прин­ ципиального значения.

Однако в области второго релаксационного спада COTJ ^ 1 между ходом этих кривых есть существенное различие, как и для модели Максвелла: квадрат частоты в точке перехода и апериодичности равен нулю, тогда как динамический модуль асимптотически при­ ближается к нулю с ростом температуры. Учет влияния изменяющейся с температурой частоты для динамического модуля рассмотрен выше (см. рис. 56).

3. Вынужденные колебания крутильного маятника

При рассмотрении затухающих колебаний логарифмический дек­ ремент сравнивали с tg ср, который, вообще говоря, относится к вы­ нужденным колебаниям. При этом невозможно было определить частотную зависимость амплитуды и фазы вынужденных колебаний,

атакже исследовать нестационарный режим колебаний.

Всвязи с этим вновь необходимо исследовать систему. Для ре­

шения задачи можно воспользоваться результатами, полученными и выше. Поскольку в условии (234) действие скручивающего момента сил при 2 = I задано с помощью 6 -функции, то полученные решения представляют собой функции точечного источника или функции Грина [166; 216, с. 31 ]. Зная эти функции, можно построить решение для произвольного внешнего момента сил. Если

есть решение при действии мгновенного момента сил М в начальный момент времени t = 0 , то решение при действии момента сил'М (і) дается интегралом

где G— функция Грина.

314

Для дальнейших расчетов ограничимся рассмотрением синусои­ дального внешнего момента сил М (t) = М0sin co^.

Отметим, что все дальнейшие результаты можно получить и не­ посредственно [217], решая соответствующие уравнения со следую­ щими граничными и начальными условиями:

Модель Максвелла

Функцию Грина для крутильного маятника, сдвиговые напряже­ ния которого описывают моделью Максвелла, получим, разделив формулы (252) и (255) на М. Подставляя результат деления фор­ мулы (252) на М в выражение (289) и проводя интегрирование, получим для Dn > 0

В формуле (291) первое слагаемое описывает положение рав­ новесия, обусловленное наличием собственной вязкости системы. Для упругой среды s —>0 й ср0 —>0, как и следовало ожидать. Второе слагаемое, представляющее бесконечную сумму затухающих ко­ лебаний, описывает неустановившийся переходный процесс; при t = оо это слагаемое исчезает. Наконец, третье слагаемое описывает стационарный режим вынужденных колебаний, который тоже пред­ ставляет бесконечную сумму гармоник.

Аналогично для условия Dn < 0 получим

зависимость амплитуды, как и сле­ дует ожидать, имеет максимум, который в предельном случае упругой задачи (т —>оо) становится бесконечным. С уменьшением т высота пика уменьшается и при достаточно малых т (порядка 1 и меньше) совсем пропадает. Характерной особенностью модели Максвелла является резкое возрастание амплитуды при со —>0 .

Наличие сдвига фаз (ір2) между моментом приложенных сил и

которая является эллиптической. Из выражений (293) и (297) сле­ дует, что для максвелловской среды при сот —>0 эллипс становится окружностью, поскольку ф2 —>л/2. В предельном случае упругой среды (сот —>оо) эллипс вырождается в прямую.

116

Принимая в Качестве меры внутреннего трения величину h.WI2nW и учитывая, что

т

на основании формул (278), (293) и (296) получим снова формулу (275). В эту формулу не входят геометрические характеристики крутиль­ ного маятника, и внутреннее трение при фиксированной частоте со определяется лишь временем релаксации материала стержня. Ее, как мы видели выше (см. гл. Ill), можно легко найти и без решения краевой задачи. Однако в этом случае нельзя найти температурную зависимость амплитуды Ф и угла сдвига фаз ф2, поскольку эти ве­ личины зависят от собственной частоты со„, а последняя зависит от температуры.

Для экспериментального определения внутреннего трения с по­ мощью вынужденных колебаний используется один из следующих методов: 1) находят частотную зависимость амплитуды и измеряют ширину полосы частот Дсо, на которой квадрат резонансной ампли­ туды убывает в два раза, тогда за меру внутреннёго трения принимают отношение (23); 2) во втором методе с помощью обратной связи ча­ стоту вынуждаемой силы поддерживают строго равной собственной частоте и в качестве меры внутреннего трения принимают величину, обратно пропорциональную амплитуде колебаний при постоянной амплитуде момента приложенных сил [218]; 3) третий метод состоит

внепосредственном измерении площади петли гистерезиса [2, 219].

Вслучае большого затухания первый метод не может быть ис­ пользован, так как при сот 1 резонансный пик либо слабо выражен,

либо вовсе отсутствует (см. рис. 61). Второй метод может быть ис­ пользован для измерения внутреннего трения и при большом зату­ хании. Однако обратная амплитуда лишь при малых величинах Q-1 пропорциональна Д W/W. Действительно, для максвелловского маят­ ника при малом затухании собственная частота

и резонансная амплитуда

М0х

Фрез /соІСО

что дает

то температурная зависимость Фрез может явиться мерой внутрен­ него трения.

117

На рис. 62 приведены кривые внутреннего трения в функции In т ^ г« МТ. Кривые 1 \\ 2 построены по точной формуле (278), причем для кривой 1 частота со == 1 считалась независящей от температуры, а для кривой 2 принималась равной <ob т. е. с ростом температуры частота уменьшалась. Кривые 3 и 4 построены по асимптотической формуле (298), причем в обоих случаях учитывалось изменение соб­

вана даже для качественного описания поведения внутреннего трения. Качественно правильную температурную зависимость дает

энергии, следует принять третий метод — непосредственное измерение площади петли гистерезиса.

При малом затухании колебаний петля становится узкой и пред­ почтительными будут косвенные методы измерения внутреннего трения — по ширине резонансного пика или по обратной амплитуде.

Модель Зинера

Используя функции Грина модели Зинера с помощью уравне­ ния (289), можно найти [220] для первой гармоники в случае Dn > 0

118

а в случае Dn < О

лежит несколько ниже, чем для tg ср. Там же приведен температурный ход динамического модуля G (co)/Gco и квадрат собственной частоты колебаний со!-

п Как видно, при вынужденных колебаниях внутреннее трение, полученное по комплексным модулям (tg ф).и по решению краевой задачи (Q-1), почти одно и то же. Различие здесь, очевидно, не­ принципиальное. Однако различие tg ф и Q" 1 с логарифмическим декрементом затухания очень существенно, и при достаточно боль­ шом затухании становится бесконечно большим, поэтому решение краевой задачи для затухающих колебаний намного важней, тогда как для вынужденных колебаний можно воспользоваться простыми реологическими формулами.

4. Свободные продольные колебания стержня

Внутреннее трение при крутильных колебаниях обусловлено релаксацией только сдвиговых механических напряжений. Согласно общей линейной теории релаксационных явлений в твердых телах, кратко рассмотренной в гл. Ill, релаксационные процессы могут приводить и к релаксации объемных напряжений. Экспериментальных исследований по непосредственному изучению чисто объемной ре­ лаксации нет, что связано с ее незначительной величиной, особенно для металлов. Однако теоретические исследования [9, с. 210] позво­ ляют утверждать, что объемную релаксацию, по крайней мере, прин­ ципиально можно выявить на примере продольных и изгибных ко­ лебаний, когда происходят сдвиговые и объемные деформации. Как показано в этих работах, проявление объемной релаксации

119