книги из ГПНТБ / Орлов В.С. Проектирование и анализ разработки нефтяных месторождений при режимах вытеснения нефти водой

П рк

недостаточном

количестве исходных

данных

геометрия

фильтрационного

потока

учитывается

по схеме

эквивалентной

га­

лереи с

предварительным построением

семейства

линий

токов.

2. Неоднородность пласта по проницаемости

моделируется

в

виде изолированных слоев различной

проницаемости, вероятностно

распределенных по мощности пласта.

3. Мощность

такого

непрерывного

слоисто

неоднородного пла­

обусловленного

прерывистостью

и

лпнзовидностыо \|зІ ф .

Таким

образом, рекомендуемая

расчетная схема-модель,

вклю ­

ч а ю щ а я

в

себя

учет

геометрии

пластовых

фильтрационных

пото­

ков, нижнего предела

проницаемости,

коэффициента охвата по

мощности в зависимости от перепада

давления <|;„ (Др), а

т а к ж е

охвата,

обусловленного прерывистостью

и

лпнзовидностыо

пласта,

ПРОНИЦАЕМОСТИ

При

расчетах процесса обводнения нефтяной

з а л е ж и

обычно

принимается та или иная модель неоднородности

по проницаемо ­

сти. И з

рассмотренных в главе V моделей пласта

примем

наиболее

костями между нагнетательной и

эксплуатационной

галереями .

В расчетах учитывается непоцшневое

вытеснение нефти

водой.

ные о проницаемости и представляются

в той или иной

анали­

тической

форме.

А именно, дл я расчетов нужно

иметь: функцию

распределения

проницаемости

Ф(к),

плотность

распределения

проницаемости

f(k)

= а Ф ^

. Тогда долю

нефти

в

потоке

жидкости

можно

опреде-

dk

лить из следующих физических предпосылок при принятой

модели

неоднородности

пласта.

К моменту t

з а н я т а я нефтью

дол я объема пласта, ограничен­

ного

нагнетательной галереей

и

рассматриваемым

вертикальным

(точнее от

k д о АШ ах) к тому

ж е самому

моменту

/ заняты

водой.

Таким

образом, относительный

объем

пласта,

занятый

нефтью,

будет

fe_

_

_

j

kd<t> (k)

\ kfi (k) dk

Qn =

0-^

= ' V - r

r

-

( V U )

f

«№ (ft)

j "

h {k) dk

о

о

QB = 4 — —

=

î

_ _

,

(VI.2)

[ аФ (k)

J h (k) dk

9

о

ÔO

OO

где J' d<P(k)=

\ f\{k)dk=\.—объем

всех

прослоев

(всего пла-

bo

b

g В. С. Орлов

129

Яж

ft___°°___

F^k) = Аг\ fx{k) dk.

(VI.4)

b

Ч' =

ЧвЧохв. „ •

(VI.5)

Нефтеотдача

в системе с к в а ж и н требует

дополнительного уче­

та коэффициента

охвата, обусловленного схемой фильтрационного

потока (коэффициентд

охвата

по площади

прослоя с максималь ­

ной проницаемостью) .

В данной схеме он не учитывается.

проницаемостью больше k от k до kmax будут полностью

заполне­

ны водой (в пределах

рассматриваемого вертикального

сечения),

а меньше k (от 0 до k)

— частично и водой и нефтью.

I

аФ (ft)

Ѵв =

- *

=

[ 1

~ Ф

( * ) ]

,

(VI.6)

DO

DO

X

'

\

аФ (ft)

J

/І (ft)

dft

b

о

частично занятых

водой

л _

_

ft

_

_

_

j

(ft)

J Ä/J. (A) rfft

VV в =

1

=

L

•

(VI.7)

J fi (Ä) dé

f

M A ) dft

Тогда будем иметь

Il

_

* _

_

_

— Ф (ft)] +

J ft/x(ft)dft

'охв.

n

(VI.8)

Определим

долю

нефти

в

потоке

жидкости

и коэффициент

к—

k

охвата, как функции

безразмерной проницаемости

,

а

так -

ж е вспомогательную

функцию

Fi(k),

которая по Ю . П.

Борисову

применяется д л я оценки

коэффициента

охвата пласта,

связанного

с его неоднородностью по проницаемости. Используем

д л я

этих

целей

обобщенную

функцию

распределения

проницаемости.

О б о б щ е н н а я функция распределения случайной величины, в

данном

случае проницаемости, имеет вид

[72]

F(k)

=

e

[ k

) — [^ky(R—

k)]a,

(VI.9)

-

k

где к=—

а

(k

— проницаемость);

о — с р е д н е к в а д р а т и ч е с к о е

укло-

нение; R—

р а з м а х

распределения,

в ы р а ж е н н ы й в ст.

Тогда плотность распределения проницаемости в безразмерном

виде д л я обобщенного

закона

распределения

будет

; (Ä) =

ЕІЖ.

= а

А

Г "

№

)

ô p

« - p e - i { R _-k)s-i

х

dk

ft2

X[yR-k(y+

1)}.

(VI. 10)

По Ю . П. Борисову

[21], плотность

распределения

проницае­

мости

преобразованного

пласта

д л я учета

непоршневого вытесне­

ния нефти водой равна

fl(k)

= f(k) 1 -

' ф

+

1 —Рев—Po. „

+

!*

(vi.li

2 ( 1 - Р с в - Р ѳ

. н ) 1 ^

.IVk

гф

1 — Рсв — рв . „ =

b,

( V I . 12

тогда будем иметь

/i(ft)

= / ( é ) . ( l - 6 ) + — т =

[-V&rdk.

(VI.13)

к

При

подстановке

( V I . 10) в ( V I . 13)

и

выполнении

интегриро­

вания

встречаются

значительные

трудности,

которые

не позволя­

ют вычислить интеграл

в ( V I . 13)

в конечном

виде.

В связи с этим будем решать

поставленную з а д а ч у прибли­

женно,

предварительно

представив

исходную

обобщенную

функ­

цию распределения

проницаемости

( V I . 9 )

в

виде рядов.

Первое слагаемое

обобщенной

функции

распределения

( V I . 9 )

можно представить

в виде р я д а :

, ; w

_ . - ( f - ) _ 1

_ ! ( i z ! } +

( R

Y

f R

\ 3

2* (ft) =

[fk

(R - Щ

=

ß~fc

(R - ft)

=

ß

k

R

[ l - -A- ft +

2

y

6

0

v5

6

6

v6

6

6 ( 0 - 1 ) Ä »

6 ( ô — l ) (Ô—2)

I

+

^ 3 !

A

+ • • -У

( V L 1 5 )

Оценка

степени

сходимости

рядов

( V I . 14)

и

( V I . 15)

показы­

вает,

что

с

достаточной

д л я

практических

целей точностью в ряду

( V I . 14)

достаточно

у д е р ж и в а т ь

четыре

слагаемых,

кроме

единицы,

а в

ряду

( V I . 14)

— д в а .

П р и

этом

погрешность

изменяется от

0,5 до -2-7-3% при изменении к

от 0,5 до

3,

причем

при / с > 3 по­

грешность стремится к нулю.

П р е д с т а в и м теперь обобщенную функцию

распределения

в ви­

де приближенной

зависимости,

учитывая

разложение в ы р а ж е н и й

( V I . 14) и ( V I . 15) в ряды:

_

« ( f - , )

„ ( f ^ Y

„ ( ! • - , ) •

F'

(ft) = l

i *

L + — L *

L

I i

1—. +

w

1

2

6

+ «" Л І

/

ß V

k y è

+ ß W " 1

k y ô + 1

-

24

_ ß 6 6 ( 8 - 1 ) ^ 6 - 2 ^ e + 2 >

( V I л 6 )

Тогда плотность

распределения

проницаемости

составит

' « - • ^ - ^ K f - O + f C f - O -

+

- ^ - Я б ~ 2

(vÇ + 2 ) Â V Ô + I

J .

(VI. 17)

Плотность распределения проницаемости с учетом преобразо ­

вания непоршневого вытеснения нефти водой

в

однородном

пла­

сте в

поршневое

в

неоднородном согласно

( V I . 13)

будет

оо

/' (ft) =

/ (ft) (1 - b) + — ъ - = г

Г Ш

. dk.

(VI.18)

После подстановки /'(& ) из

( V I . 17) в

подынтегральное

выра ­

жение

( V I . 18),

выполнения

интегрирования

и

соответствующих

алгебраических преобразований,

получим следующее приближенное

непоршневого вытеснения

нефти водой:

3

5

9

f\(k)

=

r(k)(l-b)+

-J—{(Ak

* + B

k

2 - C f t

*

+

iy k

- — \

Г

f

у6~

—

2

J ,

( V U 9

Dk

* J - U

( o o )

-

\Ék

— Fky6

+

Gk

+

2

где f(k)—плотность

распределения

проницаемости

без

учета

«промывки»

пласта

определяется

«точным»

в ы р а ж е н и е м ' ( V I . 10).

Величина

b—определяется

по

уравнению

(VI . 12)

3

5

9

и

г

і

, Т

, Т

+ Bk

+ Ck

+ Dk

;

(VI.20)

dk=

Ak

2

2

2

2

l

VT

h (к) — интеграл

производной

первой

составляющей

обобщен-

ной_функции распределения проницаемости,

разделенной

н а ) / к,

zx

(к)

определяется

в ы р а ж е н и е м

(VI . 14);

_Vö

•Fk

2 +Gk

2

(VI.21)

h{k)

— интеграл

производной

второй

составляющей

обобщен­

ной функции

распределения

проницаемости,

разделенной

н а ) / к.

С о с т а в л я ю щ а я

z2(k)

определяется

в ы р а ж е н и е м

( V I . 15):

г\

(к)

=

dzi (к)

_

dzj (k)

dk

dk

г о ( о о )

=const — значение

интеграла

( V I . 2 1 )

при

подстановке

верхнего предела

значения

безразмерной

проницаемости

ftmaxl А,

В,

С, D — постоянные коэффициенты в интеграле

г,

(k)

h(k)=[^=-dk,

J

Vk

равные

A = ^-aR

+ ±

a?R + ±a3R

+

±-о*/?;

^

В = —

a?R2

+ — a3R3

+ — сс4 Я4 ;

5

5

5

(VI.22)

C = —

a3R3-\-

9

—a*R*;

9

1

D- — a4 /?4 .

11

E,

F, G-—постоянные

коэффициенты в интеграле

J

і / ъ

VT

равные:

Е =

o ß V

1_

2

ô+l

ѵв

- I -

(VI.23)

—

r

1

2

G = o ß 6 / ? 6

a, iß, y, ô, /? — параметры

обобщенного

закона распределения про­

нения

нефти водой, в краткой

форме

можно

записать:

Г®

= НЦ(1-Ь)

+

-A—

Ih

(ft) +

U (ft)],

(VI.24)

zV

ft

где

Ii

(к)

и / 2 ( A ) — в ы ч и с л я ю т с я

по

ф о р м у л а м

( V I . 20)

и ( V I . 2 1 ) .

Выведем обобщенную функцию распределения проницаемости,

преобразованную для учета непоршневого вытеснения

нефти

во­

дой:

J

Ф (ft) =

,f i(ft)

dk.

(VI.25)

о

И з

(Ѵ І . 25)

следует,

что

д л я

получения

Ф(к)

необходимо

про­

интегрировать

уравнение

( V I . 19).

F (к),

Сначала

проинтегрируем

функцию

п р е д с т а в л я ю щ у ю

со­

бой

сумму

производных

первой

и второй

составляющей

обобщен­

ной функции распределения:

(1 — b) f / ' (ft) dk

= (1 — b)

]

[z\{k)+z2'k)\dk.

(VI.26)

О

femin

После

подстановки

(к)

и

z*

(к)

в

( V I . 26),

интегрирования

и некоторых преобразований

получаем:

(1 —

Ь)\Г

(ft) dk

= (1 — b) [ -

( 4 f t - 1

+

B~k~*

+ C i f t - 5 ) +

ѳ

+

( £ X P 6 -

+ 0 ^ 6 + 2

) ] ,

(VI.27)

где*

A l

= R(a

+

** +

A

- + A -

В 1

= = / ? » ( а * + а» + - ^ - ) ;

(VI.28)

Q

= / ? »

(a» +

а4 );

*Л

— .

f

^

ß

V

;

=

oß6

6 -

1

;

( V I . 29)

Остальные обозначения

прежние .

Проинтегрируем

следующее

выражение

[см. ( V I . 18) и

( V I . 19)]:

Г

ь

«тах

r

_

с

(k)

2

•J 2 т / т

.)

/

г

1

+

T e _

4 _

T Ä _

5 ) ~ l 2 Z 2 ( Ä : r a ,

x ) A

(VI.30)

0

р 8 + а М

yô+l

YÔ + 2

«промывки» пласта:

_

_

k

+ Lk~*

Ф (k)

= £

fi {k)dk

=

(KfT1

+ Mk~*

+ Nk~*)

+

femin

+

(0V& -

Pky&+1

+

$ Г + 2 +

R /

F ) ,

(VI.31)

где постоянные коэффициенты К,

L , M,

N,

О, P,

Q, R

определя ­

ются по ф о р м у л а м :

(1 — &) Л '

b-À\;

L

=

f — (1 — b) В'

Ь—В

м

=

(l-b)C'

+

N

=

[

(

\

- b )

D

'

-

±

• D

b

E];

f (

l

І

(VI.32)

(1 —

b)

E'

P

=

- 6 ) f

b-

2vô

( 1 - 6 )

G'

2 ( V ô + 2)

J

R

=

bz2 (ÂTm a x ).

В уравнениях (VI . 32) коэффициенты

А,

В,

С,

D,

E, F, G опре­

деляются

по

формулам

( V I . 22)

и

( V I . 23),

а

А',

В',

С,

D',

E'

F'r

G'

— по формулам ( V I . 28)

и

( V I . 29).

Следуя Ю. П. Борисову

[21], вычислим

вспомогательную

функ­

цию

F\(k),

необходимую

для

расчетов

коэффициента

охвата

и неф­

теотдачи:

FAk)

-

j

[l-0(k)]dk.

(VI.33>

После

подстановки Ф(к)

из

( V I . 31)

и

( V I . 33)

и

интегрирова­

ния,

получим

F1(k)

= k

— \(k

\nk

— Lk-*

+

—

k~3

+

~

k~A

+

I V

3

4

y

Y ô + l

yô + 2

^ y ô + 3

3

/

V

;

Теперь вычислим вспомогательную функцию, необходимую для.

расчетов доли нефти в потоке

жидкости:

j kf[

(k)

dk

9ж

(VI.35>

С

kf[(k)dk

В

результате

подстановки

/ / ( & )

из

в ы р а ж е н и я

(VI - 19)

н

( V I . 35),

интегрирования

и

последующих

преобразований

полу­

чим