книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

Поэтому средняя кинетическая энергия орбитального движения может только возрастать.

5. Исходя из решений задач 2 и 3, можно было бы искать z в виде

беря вместо й начальную угловую скорость Q„, соответствующую невозмущен­ ному движению по орбите радиуса г„ = | Р 0 | . Вывести усредненные уравнения движения.

Р е ш е н и е . Усредненные уравнения имеют вид

где F+ имеет тот же смысл, что и в лекции. Однако если в выражении для z вы­

считая постоянную А+ вещественной и положительной и полагая

Р= г е « ' [ф — ( ш — й ) < ] .

Вполученной системе вещественных уравнений найти точки покоя. Показать!

что эта система имеет «дрейфовую» форму (см. 3-ю лекцию), поэтому траектории на плоскости с полярными координатами г, <р могут быть построены как эквипотенциали. Дать качественный анализ траекторий без учета релятивистской по­

Р е ш е н и е . Легко видеть, что в силу формулы (8.72) уравнение (8.77) можно переписать в виде

(Л—Єї) (Л2 — 1) = g-

При і < 0 можно ввести величины т), І и о по формулам

1 = Ш І 1 / 3 , ? і = Ш І / 3 . 5 = Ц Г 1 / 3

и прийти к кубическому уравнению

формально совпадающему с уравнением (6.75) при Л = 0. Поэтому уравнение (8.77) может иметь комплексные корни, в том числе корень, который дает нара­ стающее колебание.

10. В лекции было получено кубическое уравнение (8.77), определяющее частоты малых колебаний электронного кольца в резонаторе. Исследовать это

Первое условие может выполняться лишь при отрицательных (Л, что нере •ально: параметр несинхронности р., определенный второй формулой (8.66), мо­ жет быть только положительным. Второе условие дает

В наших лекциях, как видно из формул (8.51) и (8.52), мы пользовались временной зависимостью e~tat. Наличие решения, пропорционального е! Т ) ^, означает, что колебания происходят с комплексной частотой

CO = Q [ 1 - 8 ( T ) + [ X)] = Q 0 ( 1 - 8 T ) ) ,

в то время как колебания пустого резонатора согласно формуле (8.65) происходят с комплексной частотой

<o = Q ( l - e | ) = Q 0 ( l - e g 1 ) . 5і = Е - Ц . где Q0 есть (см. задачу 5) гирочастота невозмущенного пучка.

чая s = — г)*, можно уравнение (8.77) переписать в виде s 2 ( s - | 2 ) - s + f x = 0, &.= - £ ? •

11. Вывести закон сохранения энергии из уравнений (8.68), составляя урав­ нение для | g |2 . Выяснить энергетический смысл величины (8.78) при веществен­ ном і , т. е. при отсутствии потерь в резонаторе.

Р е ш е н и е . Из второго уравнения (8.68) легко получить тождества

g'rzr+g~=fg'+rg, — \g\2=tg*+f*g-

Пользуясь первым уравнением (8.68), получаем соотношение

выражающее закон сохранения и превращения энергии: левая часть определяет скорость уменьшения кинетической энергии орбитального движения электронов во всем пространстве взаимодействия, правая часть показывает, что эта энергия идет на увеличение энергии поля ( первое слагаемое) и на восполнение потерь в резонаторе (второе слагаемое). Если £" = 0, то из начальных условий (8.69) получаем

1 - | 1 Т 2 = | / 1 2 - | / о | 2 ,

т. е. величина (8.78) дает приращение безразмерной энергии колебания в резо­ наторе. Поскольку \g\ есть отношение орбитальной скорости электронов к на­ чальной, величина (8.78) есть отношение убыли кинетической энергии электро­ нов к их начальной энергии, т. е. электронный к. п. д.

однородном магнитном поле. «Письма в ЖЭТФ», 1970, т. 11, № 9, стр. 429— 431.

Л е к ц и я 9

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ПУЧОК В ВОЛНОВОДЕ

Впредыдущей лекции мы рассмотрели гиромонотрон и его упро­ щенную модель — электронное кольцо в резонаторе, что позволило выявить главные свойства электронных приборов с криволиней­ ными электронными потоками.

Вданной лекции продолжим изложение теории этих приборов, причем вместо криволинейного пучка в резонаторе исследуем кри­ волинейный пучок в произвольном волноводе. Нашей целью яв­ ляется построение такой теории, которая в случае чисто прямоли­ нейного движения электронов переходила бы в теорию лампы с бе­ гущей волной типа О, а для винтового пучка позволила бы иссле­

неоднородность сверхвысокочастотного поля.

Ясно, что такую общую теорию можно довести до конца только при ряде ограничительных предположений; в частности, приходится ограничиваться линейной теорией. Другие упрощающие предполо­ жения будут сформулированы в ходе выкладок, но, тем не менее, теория остается достаточно сложной.

а. РЕЗОНАНСНОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ

Рассмотрим задачу об электронных волнах в произвольном однородном волноводе, пронизываемом криволинейным электронным пучком. Для прямолинейного пучка такая задача рассматривалась в 6-й лекции, где главное внимание уделялось силам пространствен­ ного заряда и учету конечной толщины пучка. Для криволинейного пучка приходится делать более жесткие предположения, а именно пренебрегать пространственным зарядом и для начала считать пучок тонким. Впрочем, конечную толщину пучка можно учесть, разбивая толстый пучок на совокупность тонких. Что же касается сил про­ странственного заряда, то теоретический их учет не столь важен — важно создать такие условия, при которых их отрицательное действие было бы подавлено или хотя бы проявлялось слабее, чем в приборах типов О и М. Как мы видели в предыдущей лекции, приборы с кри­ волинейными пучками открывают здесь новые возможности.

Исследуем сначала электродинамическую сторону дела — воз­ буждение волновода переменным током пучка. Согласно формулам (2.51) и (5.12) имеем

ной волны. Мы ограничиваемся вычислением поля на частоте со, пред­

где Р = Р (г, t) есть погонный заряд пучка (заряд на единицу длины оси г), a v = v (z, t) —его скорость, и

нейной теорией, в которой модуляция скорости мала и обгон не прояв­ ляется, можно пользоваться любой парой независимых переменных,

где J E — постоянный ток пучка (при отсутствии переменных полей). Тогда формулу (9.04) можно переписать следующим образом:

Введем в формулу (9.06) упрощения, обусловленные малостью сигналов — всех переменных величин и переменных полей. Если переменные поля и модуляция электронного пучка отсутствуют, то векторы г (х, у, z) и v, определяющие движение электронов, будут зависеть только от разности х = t — t0. Поскольку мы рассматриваем одностороннее движение, при котором каждый электрон проходит через любое сечение z только один раз, то т будет однозначной функ­ цией г: т = т° (z).