книги из ГПНТБ / Геллер Б. Импульсные процессы в электрических машинах
.pdfтике. Рюденберг, например, считал, что величина гради ента растет пропорционально длине соответствующего участка. Увеличение градиента значительно меньше. Рю денберг утверждал также, что длительность градиента в обмотке не зависит от длины соответствующего участ
ка. |
В действительности, |
однако, |
длительность |
заметно |
|||||
увеличивается |
с |
увеличением длины |
участка. |
Имеются |
|||||
|
|
|
|
также |
и |
другие |
расхожде |
||
|
|
|
|
ния между теорией Рюден- |
|||||
|
|
|
|
берга |
и |
результатами |
изме |
||
|
|
|
|
рений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волновой характер |
про- |
||||
|
- .„ „ |
|
|
цесса |
в |
обмотке |
становится |
||
Рис. 2-28. Изменение во време- |
осооенно |
заметным, |
если мы |
||||||
ни |
напряжения |
в |
масляном |
||||||
канале между двумя катушка- |
рассматриваем |
распростра- |
|||||||
ми |
при импульсе. |
|
|
нение |
градиента |
вдоль об |
|||
|
|
|
|
мотки. |
|
|
|
|
|
|
Так, Е. С. Фрид [Л. 2-9] провел |
ряд измерений на об |
мотке трансформатора, состоящей из 22 катушек. Он снял осциллограммы импульсных напряжений Aw в ма сляных каналах между катушками (градиент). Одна та кая осциллограмма представлена на рис. 2-28. Из осцил лограммы видно1, что напряжение в канале (напряжение между катушками) состоит из нескольких острых пиков, причем амплитуды пиков с течением времени уменьша ются. Когда автор проследил развитие первого пика «градиента», он установил, что время от начала импуль са до появления первого пика примерно пропорциональ но длине провода от начала обмотки до исследуемой точки. Результаты его измерений представлены в табл. 2-2.
Из табл. 2-2 видно, что скорость |
распространения |
|||||||
«градиента» |
Au |
вдоль |
обмотки |
практически |
постоянна. |
|||
Длительность «градиента» Au растет по мере удале |
||||||||
ния |
от начала обмотки; |
под длительностью «градиента» |
||||||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2-2 |
||
|
Параметр |
|
|
№ канала |
|
|||
|
|
19 |
27 |
39 |
51 |
|||
|
|
|
|
|||||
Длина |
провода |
от |
начала |
594 |
845 |
1 220 |
1 592 |
|
|
|
|
|
|||||
Скорость распространения |
2,9 |
4,05 |
5,8 |
8 |
||||
205 |
209 |
210 |
200 |
|||||
.градиента" v=x/t, |
м/мкс |
60
öo,5 в Данном случае Подразумевается время между дву мя точками, соответствующими половинному значению амплитуды, в поднимающейся и спадающей частях кри
вой Au. Результаты |
измерений |
6о,5 |
по Фриду приведены |
||
ниже. |
|
|
|
|
|
№ канала |
. . . . |
1 |
7 |
19 |
51 |
S0 i 5 , мкс |
|
0,35 |
0,63 |
0,75 |
0,9 |
Осциллограммы Норриса [Л. 2-12], представленные на рис. 2-29, также отчетливо указывают на волновой ха рактер распространения «градиента» Au вдоль обмотки трансформатора, состоящего из 61 катушки.
15 9 13 1721 25 29 33 37 41 45 49 535761
1
Рис. 2-29. Изменение во времени напряже ний между отдельными катушками при импульсе.
На основании своих опытов Фрид (Л. 2-9] предполо жил, что градиент в обмотке может быть выражен в ви де бегущих волн. Из этого он сделал ряд выводов, ко торые хорошо согласуются с измерениями.
Несмотря на этот успех, существующие предположе ния и опыты Фрида не вытекают непосредственно из вол новой теории обмотки, и хотя работу Фрида можно при знать удачной, она изолирована от других теорий об мотки 1 .
В дальнейшем будет показано, что на основании тео рии обмотки, разработанной Геллером, Главкой и Веверкой, которая учитывает взаимную индуктивность между витками, можно перейти к волновой теории импульсных
1 Работа Фрида не стоит в стороне от других работ. В ней рассмотрен лишь частный случай процессов в так называемой дуаль ной обмотке, в которой имеется полное подобие электростатического и магнитного полей. К выводам Фрида можно прийти, исходя из общей теории обмотки (см. § 2-5) при Х=\ и пренебрегая влиянием концов обмотки — Прим. ред.
61
явлений, хорошо совпадающей с экспериментами. Бла< годаря этой теории импульсные явления в обмотке мож но понять гораздо глубже, причем результаты измерений Фрида и его предположения также хорошо объясняются этой теорией.
При воздействии единичного импульса на обмотку с заземленной нейтралью, пренебрегая гиперболическими членами, имеем:
еГ=1 - |
+ J J p n S i n - y - X cosmj. |
(2-172) |
|
п~\ |
|
Связь между пространственной и временной частота ми выражается зависимостью (2-102)
а*
2 ( — ) М0 (С+К«*)
Подставив в это выражение значение а = ( ш т ) / / , по лучим:
»' - M 2 |
W ' |
/ C |
W |
' |
г . |
(2-173) |
|
2N2M0KX |
(-g- |
Іг |
+ |
(пп)г |
|
После тригонометрических преобразований (2-172) может быть записано в форме
* = l - f - r £ ¥ s |
t |
a |
( ^ x |
— « ) + |
Л = І |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
+2 4 sin ( |
^ |
- |
W ) |
(2-174) |
ИЛИ |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
л=1 |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
« = 1 |
|
|
|
|
62
Первый член (2-174) представляет собой волны, рас пространяющиеся от начала внутрь обмотки со скоро стью
Ѵп — шІІпп, |
(2-175) |
второй член выражения представляет волны, распростра няющиеся с такой ж е скоростью в противоположном на правлении— от конца обмотки к началу.
Подставив (2-173) в (2-175), получим:
r « J _ |
/ Г |
1 |
I - |
(2-176) |
|
|
|
|
К •Іг + (/иг)2
Очень большие значения п дают наибольшее значение скорости:
(2-177)
MoKk
Предполагая в первом приближении, что все волны высшего порядка распространяются с одинаковой ско ростью Ѵос, можно представить максимальные напряже ния между отдельными витками в виде бегущих волн, так как для градиентов решающее значение имеют преж де всего волны высшего порядка.
Из (2-176) получаем отношение скорости волны п-го
порядка к скорости основной волны: |
|
|
|||||
~ ' Л / |
Т~ |
|
|
1 / |
|
|
.(2-178) |
В среднем ( С / # ) Р = 1 0 0 , |
11=7. |
|
|
|
|||
Результаты расчета по (2-178) для первых шести гар |
|||||||
моник приведены |
ниже |
(XI ==7, |
уІ=Ю). |
|
|
||
п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
оо |
ѵп/Ѵг |
1 |
1,09 1,15 |
1,21 |
1,24 |
1,28 |
1,36 |
Из приведенных цифр видно, что начиная с четвертой гармоники скорость бегущих волн мало изменяется. По-
03
этому распределение напряжения может быть представ
лено |
уравнением |
л ' - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
î |
|
|
|
Л ' — |
|
00 |
|
|
+ |
£ |
A sin ^ |
( * + vnt)± |
£ 4p sin |
( л _ о < в 0 + |
|
1 |
L |
00 |
я ' |
|
|
+ j 4 = - s i n ^ ( x + üoo0, |
(2-179) |
|||||||
|
|
л' |
|
|
|
|
|
|
|
где я ' означает номер гармоники, скорость |
которой мало |
||||||||
отличается |
от скорости |
ѵх (2-177). |
|
(2-179) можно за |
|||||
В нашем случае « ' = 4 . Выражение |
|||||||||
писать 'В следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = І |
|
|
|
|
|
|
|
л'—1 |
6„ sin - ^ - X ^cos - ^ - vnt |
|
|
|
|
||||
+ |
— cos - ~ |
j . (2-180) |
|||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим: |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ - |
^ |
s |
i n ^ M |
x |
- |
t ^ |
) ; |
(2-181) |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
= |
J |
4fsin ^ |
( |
x |
+ |
t,J); |
(2-182) |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л' —1 |
|
|
|
|
|
|
|
?=^bnsm-^-xyn(t); |
|
|
|
|
(2-183) |
|||
где |
yn{t) = cos-p-vnt- |
cos -j-vj. |
|
||||||
|
(2-184) |
Здесь — бегущая волна, распространяющаяся от начала внутрь обмотки без искажения; ір2 — бегущая волна, распространяющаяся от конца обмотки к началу;
§4
Ф — сумма стоячих волн, длина которых имеет такой же порядок, как и осевая длина обмотки.
Таким образом, переходный процесс в обмотке может быть представлен суммой бегущих и стоячих волн, при чем бегущие волны распространяются в обмотке в обоих направлениях без искажения. Для напряжения в момент времени t = 0 получим:
|
е (х, 0) = 1 |
- - f - f - ф, (х, 0) + ф2 {X, 0) + |
? (х, 0 ) = |
|||
^ |
1 - - |
f + 1 |
: (•*> 0) + |
Ф2 (X, 0) = 1 |
- - f - f 2Ф, (X, 0), |
|
так |
как |
|
|
|
|
(2-185) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
п'—\ |
|
|
|
|
? |
(X, 0)=5] ft. |
sin {^f)xyn |
(0) = |
0 |
|
и |
|
|
î |
|
|
|
|
|
$i(x, |
0)=ab2 (x, |
0). |
|
|
|
|
|
|
Обозначим через и0 начальное распределение напря жения вдоль обмотки, обусловленное только емкостями.
Тогда . |
|
|
|
|
|
|
|
|
е(х, |
0)=и0; |
|
|
|
|
и0 |
_ . ( І _ - ^ а 2 - М * , 0 ) ; |
|
|
||
|
|
|
и - |
(і-—') |
|
|
|
Ф, (*> 0) = |
0 ) - |
а |
. |
(2-186) |
|
Из |
уравнений |
(2-180) — (2-183) |
следует, что |
распре |
||
деление напряжения в любой момент времени |
может |
|||||
быть |
представлено |
как сумма конечного |
распределения, |
бегущих волн, распростраяющихся внутрь обмотки со скоростью Уоо, бегущих волн, распространяющихся от кон ца обмотки к началу также со скоростью ѵ«>, и, наконец, стоячих волн, в выражение для которых входят члены только с большой длиной волны.. Амплитуды бегущих
волн в момент времени t = 0 равны |
полуразности началь |
|
ного и конечного распределений |
напряжения. |
|
Соответственно этому |
|
|
е (X, t) = 1 — ^ + ф , (X - vj) |
+ |
Ф2 (X + vj) + 9 (X, t). |
|
|
(2-187) |
5 - 8 |
65 |
Из уравнения (2-184) следует, что
поэтому для малого промежутка-времени после падения импульса стоячей волной можно пренебречь. В течение этого промежутка времени напряжение определяется сум мой конечного распределения и бегущих волн, распро
страняющихся |
как от начала к концу |
обмотки, так и от |
||||
конца обмотки |
к |
началу. |
|
|
|
|
Для градиента |
в точке х из (2-187) |
получим: |
||||
_ _ _ £ ) / _ _ |
J |
|
<?Фі (х — uœt) |
дф2 (х + vœt) |
dy_ |
|
ё-~~дх |
I |
I |
ox |
+ |
дх |
~*дх ' |
|
|
|
|
|
|
(2-188) |
Так как ^(x+v^t) представляет собой бегущую вол ну, распространяющуюся ібез искажения, то можно на писать:
дф(хТ"ооО
дх
Обозначая
и принимая во внимание, что {d<ffdx)t=0 = 0 и
получаем для момента времени t = 0
• = |
j - + 2F1{x,0). |
(2-189) |
Для любого момента времени
(2-190)
Если проследить распространение максимального гра диента в обмотке, то можно заметить, что в момент вре мени '/=0 максимальный градиент имеет место в начале обмотки, затем перемещается внутрь обмотки.
45
Раньше было показано, что в первый момент времени после импульса можно пренебречь стоячей волной cp(x, t), несмотря на то что производная дц>/дх имеет свое наи большее значение при х = 0. Это объясняется тем, что q»(x, t) содержит члены, соответствующие длинным вол нам, и поэтому значение производной дср/дх незначитель но, так как влиянием этого выражения на наибольший градиент можно пренебречь, даже если л / / < 1 . Это вы ражение оказывает лишь небольшое влияние на напря женности вблизи заземленного конца обмотки.
Если обмотка не очень |
короткая, то для максималь |
||||
ного градиента |
можно с |
хорошим |
приближением при |
||
нять, учитывая |
одно отражение |
от |
конца: |
|
|
- g = - |
^ r + F1(x-üJ) |
+ |
F2(x + vj). |
(2-191) |
Разность между начальным и конечным 'распределе ниями градиента может быть разложена на бегущую вол
ну Fi(x—VaJ), |
которая распространяется со скоростью Ѵѵ, |
|||||
в глубь обмотки, и на бегущую |
волну |
Fz{x + Vaot), рас |
||||
пространяющуюся |
со скоростью |
Ѵос от |
конца |
обмотки |
||
к началу. Волна напряжения ^(x |
+ Voot), как |
и |
волна |
|||
градиента F2(x+Voo), |
движется без искажений |
от |
конца |
обмотки к началу и отражается от начала по законам отражения от короткозамкнутого конца обмотки, так как напряжение на вводе всегда остается постоянным.
Волна напряжения ^(x + Voot) отражается от |
начала |
обмотки с обратным знаком, волна градиента F2{x |
+ Voat) |
отражается с тем же знаком, так как отраженная |
волна |
напряжения изменяет как свое направление, так и знак. Обозначим через F2r отраженную от начала обмотки волну и определим распределение волн Fi, F2 и F3 из уравнения (2-186) путем подстановки в него выражения
для начального распределения
и = е |
(2-192) |
где
2 (2-193)
5* |
67 |
и для отраженной волны:
О + . т - ) - ' "
Ы * 0 ) = - 5 |
/ |
, х<0. |
(2-194) |
Рис. 2-30. Разложение начально го напряжения на бегущие волны при единичном импульсе на об мотке с заземленным концом.
Волны г|)і, іф2 и г|32г представлены на рис. 2-30. Подоб ным образом получим для волн градиентов Fi, F2 и F2r для ^=0 из уравнения (2-189):
|
|
te —ix+ |
I |
|
|
|
т |
||
Fx |
(х,0) = |
Рл (х,0) = |
|
(2-195) |
и для волны |
F2r: |
|
|
|
|
|
-, |
х < 0 . |
(2-196) |
Волны Fi, F2 и F2r |
представлены |
на рис. 2-31. |
||
Градиент в точке х может быть определен для любо |
го момента времени (до отражения максимального гра
диента от конца обмотки) как |
аналитически |
||
|
|
|
—Т (x+v^t) |
|
|
|
(2-197) |
|
К (х-ѵ^і) -г е |
-т {x+v^t) |
|
|
|
|
(2-198) |
так и графически |
согласно рис. 2-31. |
|
|
На рис. 2-32 |
представлена |
результирующая волна |
F=iFi+F2r, проникающая в обмотку; на рис. 2-33 — вол-
68
на F2, движущаяся от конца к началу обмотки. Распре деление градиента в момент времени t получено путем наложения волн F и F2, движущиеся в противоположных
9
h
\\
|
/7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2-32. Волна гра |
|||
|
|
|
|
|
диента, |
проникаю |
||
Рис. 2-31. Разложение |
на |
щая |
в |
обмотку. |
||||
|
|
|
||||||
чального градиента |
на |
бе |
|
|
|
|||
гущие |
волны |
при |
единич направлениях (рис. 2-34) со |
|||||
ном |
импульсе |
|
(обмотка |
СКОрОСТЬЮ |
Уоо. |
|||
с заземленным |
концом). |
|||||||
Таким образом, градиент |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
внутри |
обмотки уменьшает |
ся до 50% максимального значения в начале обмотки. Скорость распространения максимального градиента вну три обмотки, как это показано на рис. 2-34, равна г>те.
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
5- |
|
|
|
\ |
|
I |
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
Рис. 2-33. Волна |
гра |
Рис. |
2-34. |
Результирующая |
||||
диента, |
бегущая |
от |
волна |
градиента, |
прони |
|||
конца |
обмотки к |
на |
кающая в |
обмотку |
к |
мо |
||
чалу. |
|
|
|
менту |
времени t. |
|
|
|
Напряжение |
на |
участке |
между |
точками |
х |
и %+іД |
||
обмотки |
|
|
|
# |
|
|
|
|
|
U = |
] |
- W d x = z |
) |
ëdx. |
|
(2-199) |
В дальнейших расчетах заменяем экспоненциальные функции по (2-195) и (2-196) линейными функциями, что является вполне допустимым вблизи максимума гради ента.
69