книги из ГПНТБ / Березин С.Я. Системы автоматического управления движением судов по курсу

Исходя из этого, исследование устойчивости систем автомати­ ческого управления движением судов по курсу целесообразно раз­ бить на два этапа — исследование устойчивости следящей системы управления рулем и исследование устойчивости всей системы.

Исследование устойчивости следящих систем управления рулем.

Следящие системы управления рулем являются нелинейными. Эти системы могут быть релейными и непрерывного действия. В пер­ вых имеется нелинейность типа реле, а во вторых, как правило, нелинейность типа насыщения, так как мощность исполнительных двигателей в таких системах ограничена.

Кроме этих нелинейностей следящие системы управления рулем имеют нелинейность, обусловленную моментом сопротивле­ ния на баллере руля, и нелинейность типа люфта в механических передачах.

Рис. 11.1. Структурная схема следящей системы с учетом нели­ нейности.

ЛЭ] и ЛЭ2 — линейные элементы; НЭ — нелинейный элемент.

При исследовании следящих систем управления рулем, кроме общеизвестных нелинейностей вида насыщения и люфта, необхо­ димо учитывать также нелинейность от момента сопротивления на баллере руля, что повышает точность решения поставленных задач.

Точное исследование нелинейных систем автоматического упра­ вления является трудной задачей. Существующие точные методы (метод точечного преобразования, метод Ляпунова) пригодны только для решения некоторых простейших задач [38]. Поэтому для исследования следящих систем управления рулем целесооб­ разно воспользоваться методом гармонического баланса, предло­ женным Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым и развитым Л. С. Гольдфарбом [18] и Е. П. Поповым [26].

Метод гармонического баланса дает незначительную погреш­ ность при исследовании систем автоматического управления дви­ жением судов по курсу благодаря тому, что объект регулирова­ ния (судно) представляет собой хороший низкочастотный фильтр

[26].

Согласно методу гармонической линеаризации [18, 26] следя­ щая система управления рулем состоит из стационарных линейных и безынерционных нелинейных звеньев.

Структурная схема следящей системы управления рулем с уче­ том нелинейности приведена на рис. II. 1. Для исследования сле­ дящих систем управления рулем воспользуемся работами [18, 26]

49

и рассмотрим несколько другой вариант метода Крылова и Бого­ любова, который удобнее для практических исследований автору­

левых.

Предположим, что управляющее воздействие ср(0 отсутствует, а система находится на границе устойчивости и в ней на входе нелинейного элемента возникли незатухающие колебания неко­ торой частоты со и амплитуды а. Тогда уравнения первого прибли­ жения, согласно [18, 26], запишутся следующим образом:

Откуда уравнение свободных колебаний системы будет иметь вид

Обозначим второе слагаемое в левой части уравнения (II.2) через W3K3{a, /со) и назовем его эквивалентной комплексной пере­ даточной функцией нелинейной следящей системы. Обратную ве­ личину обозначим через УЭКв(а, /со) и назовем обратной эквива­ лентной комплексной передаточной функцией системы:

плитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы УЭкв(а, /со). Семейство таких характеристик, построенных для различных зна­ чений а, изображено на рис. II.2. Каждому значению а будет со­ ответствовать определенная эквивалентная обратная амплитудно­

рис. II.2). Из линейной теории известно, что кривая I, охватываю­ щая точку (—/; /О), соответствует затухающим колебаниям пере­ ходного процесса, а кривая II — расходящимся колебаниям. По­ этому, если при увеличении амплитуды (Да>0) эквивалентная обратная амплитудно-фазовая характеристика будет охватывать точку (—1; /О), а при уменьшении амплитуды (Аа<0) не будет ее охватывать, то переходный процесс в системе будет таким, что колебания с амплитудой, большей, чем ап, затухают, а колебания с амплитудой, меньшей, чем а„, расходятся. Следовательно, пере­ ходный процесс с обеих сторон сходится к исследуемому периоди­ ческому процессу с амплитудой ап. Это означает устойчивость про­ цесса, т. е. в системе имеют место автоколебания.

50

Если лее при увеличении амплитуды (Да>0) характеристика (кривая II) не охватывает точку (—1\ jO), а при Аа < а — охва­ тывает (кривая /), то переходный процесс в обе стороны расхо­ дится, т. е. исследуемое периодическое решение неустойчиво (си­ стема устойчива в малом и неустойчива в большом).

Значения а и со, соответствующие предельному циклу, можно найти при модуле обратной амплитудно-фазовой характеристики, равном единице, и при ее фазе ф=180°, т. е. определяются точкой

(-1-JO).

Таким образом, по расположению эквивалентной обратной амплитудно-фазовой характеристики на комплексной плоскости можно судить об устойчивости автоколебаний системы.*

где yHi(a), Упг(а), Унз(а)— обратные передаточные функции нели­ нейных элементов соответственно от нелинейности вида насыще­ ния, от момента сопротивления на баллере руля, от люфта в меха­ нической передаче.

В следящей системе управления рулем в функцию УЛ1(Р) вхо­ дит коэффициент усиления чувствительного элемента и передаточ­ ные функции усилителей:

* Условие устойчивости является лишь необходимым, но не достаточным.

51

Аналогично для обратной передаточной функции исполнитель­ ного устройства

где k2— коэффициент усиления по скорости исполнительного дви­ гателя; k2(p) — многочлен от р со свободным членом.

Рассмотрим основные нелинейности, присущие следящим си­ стемам управления рулем.

Н е л и н е й н о с т ь в и д а н а с ы щ е н и я . В усилительных уст­ ройствах следящего рулевого привода имеет место нелинейность такого вида. Наиболее часто эта нелинейность проявляется в око­ нечном усилителе (электромашинном или гидравлическом), в ко­ тором насыщение наступает, как правило, при значительных от­ клонениях регулируемой величины. Предварительные усилители конструируются обычно с большим запасом по напряжению, и на­ сыщение их наступает гораздо позднее.

Эквивалентная передаточная функция нелинейности вида на­

теля.

При а<В q(a)—ky — линейная характеристика.

Для удобства дальнейших исследований перейдем от выраже­ ния (II.1) к уравнению

На рис. П.З приведена зависимость

= f(A) = Y nl(A).

Я (а)

Пользуясь этим рисунком, можно определить значение Y-al(A) при заданных значениях ky и В для выбранной амплитуды гармониче­ ских колебаний на входе нелинейного элемента с нелинейностью вида насыщения.

Из рис. П.З нетрудно установить, что абсолютная величина

q (а) = — ^ — всегда меньше ky и только при У„1(А) = 1 ky=\q(a)\.

*HI (Л)

Поэтому, если обозначить через k0 коэффициент усиления следя­ щей системы при отсутствии насыщения k0 = k0iky и через ko(а) — при наличии насыщения, то \ko(a) \<iko при всех значениях ампли­ туд, если рассматриваемая нелинейность имеет место.

52

Таким образом, наличие в основном контуре следящей системы управления рулем нелинейностей вида насыщения будет эквива­ лентно уменьшению коэффициента усиления системы и влияние их на устойчивость будет благоприятно. Качество системы при этом будет ухудшаться. Поэтому при исследовании следящей си­ стемы управления рулем необходимо учитывать возможное ухуд­ шение качества регулирования. Так, например, если известно при­ мерное значение амплитуды на нелинейном элементе, то, поль­ зуясь кривой на рис. II.3, можно определить для данной нелиней­ ности пределы уменьшения коэффициента усиления системы.

Для того чтобы установить амплитуду и частоту колебаний на входе нелинейного элемента, необходимо воспользоваться ампли­ тудно-частотной характеристикой системы управления движением судна по курсу и результатами натурных испытаний авторулевых. По амплитудно-частотной характеристике определяется рабочая частота системы, а по результатам натурных испытаний — значе­ ние амплитуды рыскания. Используя опыт эксплуатации автору­ левого «Самшит», можно считать, что в режиме стабилизации при наиболее неблагоприятных условиях величина рыскания колеб­ лется в пределах от 2,5 до 5,5° курса.

При следящем управлении курсом амплитуда управляющего воздействия должна быть задана.

Если предположить, что в системе автоматического управления

движением судна по курсу под влиянием управляющего или воз­ мущающего воздействия установились колебания с некоторой частотой ыо и амплитудой аоюах на входе системы,* то условное уравнение движения следящей системы управления рулем примет вид

1+ У Л 1 ( / « > ) У Н1 ( д ) р = ф (II.8>

Изображенная на рис. П.З зависимость kyYHi(A) =f(A) явля­ ется прямой линией, проведенной под углом ф к оси абсцисс. Поэтому для рассматриваемой нелинейности не представляет труда выразить Уш(а) через а, т. е.

* Полагаем, что в системе свободные колебания отсутствуют (нормальный режим следящей системы).

53-

Подставляя это выражение в уравнение (П.9), получим

Обратные передаточные функции УЛ1(/со) и Ул2(/со) обычно известны из статического расчета следящей системы управления рулем.

Из выражения (11.11) можно записать

ных рулей, применяемых в настоящее время на судах, зависимость

И

54

где а — амплитуда гармонического сигнала.

Проведя гармоническую линеаризацию характеристики момента сопротивления на исполнительном рулевом двигателе и исполь­ зуя [9], получим

Если угол перекладки руля меньше d, то

Qi (а) = 0.

55

Для удобства определения значений q(a) и 91(a) построим их графики в функции от амплитуды. Разобьем q(a) на два слагае­

мых

56

На рис. II.7 приведена зависимость Я* (а) = л — (кривая /),

tga

q(a) +jqi(a), построенная по кривым рис. II.7. Здесь же показано построение вектора OB — q(a)+jql(a) для а = 30°, ^ = 2, а = 20°,

М0= 10 кГм:

0д = я* (а) + /<?1 (о) tga

ОС = ?* (a) + f a (а);

CB = ?(a) = i^ L ;

я а

OB = q (а) -\-jq1 (а) = q* (а) + q~а) + fa (а).

В частных случаях, когда МС= М0 или d = 0, определение не­

линейной функции значительно упрощается.

При Мс=Мо

<7i(a)=0 и q(a) = ^ - .

па

57

Путем несложных преобразований можно установить, что на­ личие момента сопротивления на исполнительном двигателе дей­ ствует благоприятно на устойчивость следящей системы управле­ ния рулем. Покажем это на примере электрической следящей сис­ темы управления рулем.

Уравнение движения привода при учете Мс равно

Для электрической следящей системы управления рулем из вы­

58