книги из ГПНТБ / Березин С.Я. Системы автоматического управления движением судов по курсу

плане без учета имеющихся нелинейностей. Это вполне допустимо, так как расчет носит приближенный характер, а имеющиеся нели­ нейности незначительно влияют на качество исследуемой системы. Однако при дополнительной проверке качества исследуемой си­ стемы на аналоговой ЭВМ или на модели, включающей ЭАВМ и реальные элементы, необходимо учитывать имеющиеся в системе нелинейности.

Величина выбранного коэффициента Ci для обеспечения воз­ можности регулировки должна быть увеличена на 30 %■

§ 12. Синтез корректирующ их устройств при случайных

внешних воздействиях

Выше предполагалось, что внешние воздействия являются типовыми и представляют собой заданные функции вре­ мени. Часто синтез корректирующих устройств систем автоматиче­ ского управления движением судов по курсу под влиянием таких воздействий оказывается практически вполне достаточным. Однако^ в ряде случаев воздействия, приложенные к системам, являются но заданными, а случайными функциями времени, для которых нельзя заранее установить с полной определенностью их зависимость от времени.

Решать вопрос о том, когда при синтезе корректирующих уст­ ройств для систем автоматического управления движением судов по курсу можно ограничиться рассмотрением обычных переходных процессов, вызванных заданными воздействиями, и когда этот про­ цесс необходимо рассматривать как непрекращающийся случай­ ный, следует исходя из анализа конкретных условий работы сис­ темы и предъявляемых к ней технических требований. Например, ясно, что рассмотрение процесса регулирования как случайного малоцелесообразно, если воздействия на систему хотя и имеют случайный характер и возникают в случайные моменты времени, но разделены промежутками, достаточными для того, чтобы сис­ тема успевала до появления следующего воздействия приходить- в установившееся состояние. В этом случае воздействие на каж­ дом участке можно аппроксимировать типовыми функциями.

Если же воздействия имеют характер непрерывно и хаотиче­ ски изменяющихся функций, которые нельзя аппроксимировать типовыми функциями, то процесс регулирования целесообразно рассматривать как случайный. При наличии случайных воздейст­ вий обычные понятия качества, такие, как установившаяся ошибка,,

автоматического управления при наличии случайных воздействий

149'

часто пользуются понятием с р е д н е к в а д р а т и ч н о й о ши б к и , которая определяется формулой

с2= lim _!_ f б2(t)dt,

т>оо2Т —т

где б(/)— мгновенное значение ошибки.

Э т о т критерий оценки качества справедлив для случаев, когда нежелательность ошибки возрастает с ее величиной. Однако воз­ можно, что все достаточно большие ошибки нежелательны, тогда ■следует применять другой критерий.

Вместе с тем оценка точности по среднеквадратичной ошибке производится в зависимости от среднего, а не мгновенного значе­ ния ошибки, что также не всегда является достаточным. Примене­ ние этого критерия может оказаться нерациональным и в тех случаях, когда в некоторые моменты времени допускается сравни­ тельно большая ошибка, а в некоторые моменты времени необхо­ димо, чтобы она была минимальной.

Таким образом, оценка качества систем автоматического уп­ равления движением судов по курсу по среднеквадратичной ошибке, как и все оценки, не является универсальной.

Наибольший интерес представляет синтез корректирующих устройств при случайных внешних воздействиях в режиме стабили­ зации, так как этот режим наиболее часто встречается на практике.

В режиме стабилизации внешние случайные воздействия при­ ложены к судну и задача синтеза состоит в том, чтобы в зависи­ мости от отклонения судна от курса выработать такие сигналы в следящей системе управления рулем, которые путем воздействия на рулевую машину обеспечили бы получение ошибки не выше за­ данной.

Будем считать, что спектральная плотность S/(co) (или корре­ ляционная функция) внешнего воздействия и среднеквадратичная

ошибка с заданы. Тогда задача синтеза состоит в том, чтобы выбрать такие корректирующие устройства, при которых средне­ квадратичная ошибка системы не превышала бы заданную.

При случайном стационарном возмущающем воздействии со спектральной плотностью S/(to), приложенном к объекту регулиро­ вания, и отсутствии спектральной плотности управляющего воз­ действия среднеквадратичная ошибка системы будет равна

квадратичной ошибки при изменении частоты зависит от закона изменения квадрата модуля передаточной функции замкнутой сис­ темы по возмущающему воздействию и может не иметь минимума. Поэтому для определения наиболее рациональных корректирую­

1 5 0

щих устройств, обеспечивающих минимум среднеквадратичной ошибки (а если не минимум, то достаточно малое ее значение), могут быть рекомендованы два приема.

Сущность первого приема состоит в дифференцировании выра­ жения среднеквадратичной ошибки по выбранному параметру и определении значения этого параметра при равенстве производной

ние среднеквадратичной ошибки стремится к минимальному при увеличении корректирующего сигнала до бесконечности, поэтому для практических целей отыскания корректирующих сигналов этот

■VH

Рис. II 1.37. Кривые спектральной плотности внешнею воз­ действия и квадрата модуля передаточной функции замкну­ той системы

прием не всегда применим. К тому же сложность отыскания алгеб­ раического выражения среднеквадратичной ошибки очевидна. Ис­ ходя из этого синтез корректирующих устройств при случайном возмущающем воздействии удобнее производить графоаналитиче­ ским путем, используя метод последовательных приближений.

В результате синтеза корректирующих устройств должно быть выбрано такое устройство, которое лучше всего подавляет помеху, действующую на систему, и обеспечивает хорошее качество сис­ темы. Наилучшее корректирующее устройство должно, очевидно, обеспечивать достаточно высокое подавление спектра возмущаю­ щих частот, вызывающих появление ошибки системы.

Прежде чем выбрать корректирующие устройства, необходимо сначала установить тип наиболее рациональных и простых из них, а затем, задаваясь значениями сигнала корректирующего устрой­ ства, строить семейство характеристик квадрата модуля переда­ точной функции замкнутой системы в зависимости от частоты

(рис. III.37).

Если выбрано не одно, а несколько корректирующих устройств, то семейство характеристик |Фу(/ш) |2 следует строить для различ­

151

ной комбинации величин сигналов выбранных устройств. На этом же рисунке строится кривая спектральной плотности возмущаю­ щего воздействия 5 /(со).

Среднеквадратичная ошибка системы стабилизации определя­ ется перемножением кривой и спектральной плотности и кривой |Ф/(/со)|2, нахождением площади, ограниченной полученной кри­ вой и осями координат, давлением полученного результата на л

и извлечением квадратного корня. Поэтому, имея кривые |Ф/(/со) |2

иS f (со), можно подобрать такую кривую |Ф/(/со)|2 для опреде­ ленных значений корректирующих устройств, которая при перемно­

жении с кривой Sf(со), при вычислении значения среднеквадратич­ ной ошибки, дала бы ее величину, не превышающую заданную. На рисунке кривая 1, очевидно, дает наилучшее подавление по­ мехи и наименьшее значение квадратичной ошибки.

При заданном значении среднеквадратичной ошибки сначала нужно определить ее величину при отсутствии корректирующих устройств. Если она получилась больше заданной, то, подбирая одну из кривых | Ф/ (/со |2 для определенных значений корректирую­ щего сигнала и производя последующие вычисления, можно уста­ новить требуемую величину этого сигнала, при котором средне­ квадратичная ошибка не превышает заданную.

Если при введении корректирующего устройства изменяется только числитель или знаменатель передаточной функции замкну­ той системы, то для определения величины сигнала выбранного корректирующего устройства в большинстве случаев можно огра­ ничиться построением семейства характеристик модуля числителя или знаменателя передаточной функции Ф/(усо). Процесс исследо­ вания значительно упрощается.

Рассмотрим конкретный случай выбора корректирующих уст­ ройств при случайном внешнем воздействии для систем автомати­ ческого управления движением судна по курсу в режиме стабили­

зации.

Как известно (см. § 10), в качестве корректирующих устройств в авторулевых применяются внутренние обратные связи и последо­ вательные корректирующие устройства.

При синтезе необходимо сначала попытаться достигнуть тре­ буемого качества системы только за счет выбора соответствующего коэффициента обратной связи и только в том случае, если ошибка ■будет превышать заданную, использовать последовательное кор­ ректирующее устройство.

Передаточная функция ошибки системы автоматического уп­ равления движением судна по курсу при наличии только одного корректирующего устройства в виде внутренней жесткой обратной

связи * равна

(HE55)

* Случай апериодической обратной связи не рассматриваем, так как на практике он не нашел применения.

152

Выражение (III.56) показывает, что передаточная функция ошибки будет уменьшаться (а обратная — расти) с уменьшением k0. с. Поэтому значение k0. c целесообразно выбрать возможно наимень­ шим, при котором сохраняется

затем перейти к прямой. Методика построения обратной АФХ ошибки описана выше (см. рис. 111.34).

Следующим шагом является вычисление среднеквадратичной ошибки по методике, изложенной выше.

Если значение среднеквадратичной ошибки не превышает за­

ориентировочного определения величины сигнала Ci воспользуемся этой зависимостью.

Предположим, что в соответствии с производимыми вычисле­ ниями среднеквадратичная ошибка системы в п раз превышает заданную. Значит, площадь кривой 5/(ш) |Ф/(/ш) |2 необходимо уменьшить в п раз. Поэтому приближенно можно считать, что ор­

динаты | Фу(/со) | следует уменьшать в У п раз.

Увеличивая, таким образом, модуль обратной передаточной функции ошибки при С!= 0 в У~п раз, нетрудно найти искомое

153

(рис. III.39). Затем следует вторично определить величину средне­ квадратичной ошибки и, если потребуется, произвести повторные уточняющие вычисления.

После выбора корректирующих устройств необходимо произ­ вести контрольную проверку качества системы при типовом воз­ мущающем воздействии, так как желаемая передаточная функция системы не определяется однозначно заданной ошибкой.

Синтез корректирующих устройств систем автоматического уп­ равления движением судов по курсу по минимуму среднеквадра­ тичной ошибки. В практике судовождения имеют место такие наи­ более сложные случаи, когда к судну приложено возмущающее воздействие со стороны моря и управляющее — со стороны опера­

димо производить исходя из желания получить минимальное зна­ чение среднеквадратичной ошибки. Однако на практике встре­ чаются случаи, когда характер спектральных плотностей управ­ ляющего и возмущающего воздействий таков, что минимума среднеквадратичной ошибки может и не быть.

На рис. III.40 приведены кривые спектральных плотностей S„((o), которые показывают, что при одной и той же спектральной плотности управляющего воздействия (кривая I) и различных спектральных плотностях возмущающего воздействия (кривые II и III) в системе может иметь место минимум среднеквадратичной ошибки (кривая II), а при кривой III его не будет.

Таким образом, при синтезе корректирующих устройств систем автоматического управления движением судов по курсу при слу­ чайных внешних воздействиях сначала необходимо удостовериться в возможности получения минимума среднеквадратичной ошибки. Если минимума среднеквадратичной ошибки нет, то синтез коррек­ тирующих устройств следует производить так же, как при отсут­ ствии одного из воздействий.

Синтез корректирующих устройств систем автоматического уп­ равления движением судов по курсу при случайных воздействиях по минимуму среднеквадратичной ошибки состоит из двух этапов.

154

Первый этап сводится к отысканию оптимальной (вообще слу­ чайной) передаточной функции системы, реализация которой обес­ печивает минимум величины среднеквадратичной ошибки [19, 28].

Второй этап расчета заключается в отыскании (синтезе) кор­ ректирующих устройств, которые передаточную функцию замкну­ той системы, составленную из определенного числа неизменных звеньев, видоизменяют таким образом, что она оказывается близ­ кой к оптимальной.

Определение оптимальной передаточной функции. Методика оп­ ределения оптимальной передаточной функции достаточно полно рассмотрена для следящих систем, ко входу которых приложены управляющее и возмущающее воздействия [19, 28].

В системах автоматического управления движением судов по курсу управляющее и возмущающее воздействия приложены к раз­ ным точкам, поэтому вопрос определения оптимальной передаточ­ ной функции в этом случае требует дополнительного рассмотрения.

Чтобы вычислить оптимальную передаточную функцию исходя из минимума среднеквадратичной ошибки, необходимо иметь ана­ литические выражения или графические зависимости спектральных плотностей, приведенных к одному месту.

Если управляющее и возмущающее воздействия приложены к разным точкам системы, то обычно удобнее привести все спек­ тральные плотности ко входу системы. Например, при возмущении на объекте регулирования спектральная плотность по возмущению, приведенная ко входу системы, будет равна

В большинстве случаев для морских судов k(ja>) =& = const. Если существует взаимная корреляция между управляющим и

возмущающим воздействиями, а взаимная спектральная плотность о) определена на выходе системы, то приведенная ко входу системы взаимная спектральная плотность будет иметь вид [8, 28]

При приведении спектральных плотностей ко входу системы по выражениям (III.58) и (III.59) необходимо знать передаточную функцию замкнутой системы, куда входят корректирующие устрой­ ства, которые в начале синтеза еще неизвестны. Поэтому примене­

155

ние этих выражений вызывает значительные трудности. Однако в системах автоматического управления движением судов по курсу использование корректирующих обратных связей затруднительно, и поэтому, как правило, применяются последовательные корректи­ рующие устройства, не входящие в регулятор. Следовательно, пе­ редаточная функция регулятора может считаться постоянной, и для приведения спектральных плотностей ко входу системы необ­

входу и в тех случаях, когда синтез корректирующих устройств производится способом Холла и Филлипса [19] по найденному ана­ литическому выражению спектральной плотности ошибки.

Общая спектральная плотность на входе системы автоматиче­

Формула для оптимальной передаточной функции замкнутой системы, найденная по минимуму среднеквадратичной ошибки [28],

ф(/со) — вспомогательная функция, вычисляемая из соотношения

*^Цф (Ы11— спектральная плотность, определяемая из выражения

Я (/со)— преобразующий оператор, показывающий требуемое пре­ образование входного (управляющего) сигнала.

156

Если преобразование входного сигнала не требуется (напри­ мер, в следящей системе управляющее воздействие и выходная функция являются углами), то # ( / со) = 1. При дифференцировании

входного сигнала Я (/со) = /со, при интегрировании— Я (/со)= — /0)

и т. д. Для системы автоматического управления движением судна

по курсу Я (/со) = 1.

При определении оптимальной передаточной функции основ­ ная трудность заключается в нахождении аналитических выраже­ ний или графических зависимостей функций ф(/со), (3(0 и В (/со).

Рис. II 1.41. График для построения фазовых частот­ ных характеристик.

Модель вспомогательной функции |ф(/со)| находится как ко­ рень квадратный из спектральной плотности S(co):

|ф(/со)|= ]/5(со).

Фазовая частотная характеристика ф^(со) вспомогательной функции ф (со) может быть найдена по ее амплитудной частотной характеристике Лф(со), так как функция ф(/со) представляет собой аналитическую и ограниченную функцию в нижней полуплоскости, не имеющую в ней не только полюсов, но и нулей. Как известно [28], эти условия являются необходимыми и достаточными для од­

Для определения фазовой частотной характеристики необхо­ димо построить кривую

Ly (со)= 10 lgS (со)=20 lg Ay (со)

и аппроксимировать ее отрезками прямых линий.

Кривая Ly(со) заменяется рядом полубесконечных составляю­ щих с постоянным наклоном. Фазовая характеристика для каж­ дой полубесконечной прямой может быть найдена из графика,

157

приведенного на рис. II 1.41, построенного Боде [14] для полубесконечной прямой с крутизной k = \* или по таблицам, приведенным в [28].

Приводя значения фазы и частоты к истинным наклонам от­ дельных полубесконечных прямых и истинных частот сопряжения

ФЛ®) = *<Ф И : , нетрудно получить фазовые характерис­

тики, соответствующие отдельным участкам кривой Аф((о). Фазо­ вая частотная логарифмическая характеристика функции L^(o) будет равна сумме ординат отдельных кривых cp^(co).

Если спектральная плотность S(a) может быть описана ал­ гебраическим выражением, то вспомогательная функция ф(/о)) определится аналитически, путем разложения S(w) на сопряжен­ ные множители [28].

Вспомогательную импульсную переходную функцию р(/) и функцию B(j со) находят аналитическим или графоаналитическим методом [28]. Аналитическое решение поставленной задачи иллюст­ рировано рядом примеров в [28, 38] и вряд ли вызовет какие-либо затруднения. Однако при синтезе систем автоматического управле­ ния движением судов по курсу следует ожидать, что спектральные плотности будут задаваться в виде кривых, полученных в резуль­ тате обработки экспериментальных данных, аналитическое выраже­ ние которых неизвестно. Поэтому более удобен графоаналитиче­

Для вычисления функций ы(ю) и у((о) удобнее сначала по­ строить на комплексной плоскости амплитудно-фазовую характе­ ристику

по которой непосредственно графически находят значения и(со) и у(со). Вычислить эти величины можно также по выражениям

и Н =Фттcos

Лф (ш)

(III.69)

w(“ ) = -TLr 7 sin<M®)- Лф (0))

Найденные функции и(со) и у(со) вычерчивают на отдельных рисунках и используют для определения функции р(t). Вид им-

Единичный наклон характеристик 6 = 1 соответствует наклону 20 дБ/дек.

158