книги из ГПНТБ / Березин С.Я. Системы автоматического управления движением судов по курсу

Основная трудность при расчете корректирующих устройств для систем стабилизации в рассматриваемом случае заключается в построении кривых изменения | у системы в зависимости от сиг­ нала корректирующего устройства.

Для построения кривых изменения коэффициента уменьшения рыскания в зависимости от корректирующего сигнала можно ре­ комендовать следующую методику.

Степень уменьшения рыскания судна по курсу при коррекции системы с помощью последовательного устройства и при наличии внутренней жесткой обратной связи, охватывающей следящую

Преобразуя выражение (III.85), получим

Построение модуля степени уменьшения ошибки следует про­ изводить графически для одной частоты, желательно резонансной.

Рассмотрим сначала случай, когда коррекция системы осуще­ ствляется при помощи внутренней жесткой обратной связи.*

* Случай использования апериодической обратной связи не рассматрива­ ется, хотя рассуждения остаются прежними. Предоставим возможность чита­ телю это проделать самостоятельно.

179

При этом

Чтобы определить модуль выражения (III.87) для каждого из зна­ чений параметра корректирующего устройства, необходимо сна­ чала построить на комплексной плоскости вектор V(Л(/соо) Для ре­

зонансной частоты (вектор ОА на рис. III.64) и характеристику к0. с + ^с. с/юо Для разных значений коэффициента обратной связи.

Рис. III.64. Построение вектора уменьшения рыскания.

°A = Y»(!%)'•

Ур (У®о) [К. с + Тс. е/соо] = ОЛ ОБ = 0D.

Там же штриховыми линиями показана характеристика, построен­ ная для разных значений k0. с. Для того чтобы получить искомое значение уменьшения рыскания, необходимо получившиеся век­ торы инверсировать и сложить с единицей. На рисунке показано

180

построение одного из векторов степени уменьшения рыскания для некоторого значения k0. с %■

Повторяя подобные построения для всех значений k0.с, не­ трудно получить зависимость | £у (/соо) | =f{k0. с) ■

Если за счет только k0. с эффекта уменьшения рыскания достиг­ нуть не удается, то необходимо выбрать наименьший допустимый k0.с и произвести аналогич­

ные вычисления для после­ довательного устройства.

Модуль степени умень­ шения рыскания при введе­ нии последовательного кор­ ректирующего устройства по первой производной оп­ ределяется выражением

5У 0 ® о) 1 = 1 +

тору OD (рис. III.65). На

том же рисунке построим характеристики l+Ci/coo для разных зна­ чений с1.

Деля вектор ОЕ на вектор OD и складывая его с единицей,, нетрудно получить вектор степени уменьшения рыскания

O M = \ + O F = l y(j щ).

Повторяя вычисления для ряда значений си нетрудно получитьзависимость модуля степени уменьшения рыскания от параметра Ci последовательного корректирующего устройства.

18*

Для определения резонансной частоты соо, при которой сле­ дует строить кривую степени уменьшения ошибки, удобно восполь­ зоваться обратной передаточной функцией ошибки системы

где

Амплитудно-частотная характеристика для судна [4], найден­ ная как обратное значение модулей векторов |Хе (/со) |, имеет вид, приведенный на рис. 111.67.

Если амплитудно-частотная характеристика не имеет резонанс­ ного пика, то вместо резонансной частоты следует брать частоту, пропускаемую системой, при которой амплитуда на выходе си­ стемы составляет не меньше 25% начального значения при со = 0, или рабочую частоту.

Таким образом, синтез корректирующих устройств систем уп­ равления судов на курсе по степени уменьшения рыскания сле­ дует производить в такой последовательности:

1) определить величину резонансной частоты или полосу про­ пускания частот для заданного объекта регулирования;

2) выбрать тип наиболее рационального корректирующего ус­ тройства;

1 8 2

3) построить зависимость степени уменьшения рыскания

|Ы;<во) I от величины сигнала выбранного корректирующего сиг­ нала для одной резонансной частоты;

4) определить величину необходимого корректирующего сиг­ нала по кривой | ly (/coo) | =f (ci) исходя из заданной степени уменьшения рыскания;

5)выбрать тип и параметры корректирующего устройства ис­ ходя из найденной величины корректирующего сигнала, требова­ ний к работе системы и простоты реализации устройства;

6)проверить линейность характеристики усилителя регулятора при максимальных значениях основного и корректирующего сиг­ налов; при насыщении усилителя произвести его перерасчет или изменить задание на его разработку;

7)произвести контрольную проверку устойчивости рассчиты­ ваемой системы и ее качества при типовом (скачкообразном)

внешнем воздействии; 8) произвести исследование системы на ЭАВМ совместно с ре­

альными элементами.

§ 13. Расчет оптимальных по быстродействию систем

автоматического управления движением судов по курсу

При расхождении судов в море в условиях плохой видимости, при маневрировании в узкостях, во льдах и при рас­ хождении с препятствиями (льдинами, плавающими предметами и мелями) появляется необходимость оптимального по быстро­ действию управления движением судов по курсу. Поэтому при проектировании систем управления движением судов по курсу в ряде случаев возникает потребность в выборе оптимального по быстродействию закона управления судном.

Синтез строго оптимального управления представляет собой весьма трудную задачу, которая обусловлена трудностью расчета и реализации оптимальных поверхностей переключения. Для того чтобы переходный процесс был закончен в минимальное время, ве­ личина управляющего воздействия должна поддерживаться на максимальном уровне в течение всего переходного процесса. Та­ кое управление свидетельствует о том, что система будет вести себя как релейная. Поэтому основной задачей управляющего ус­ тройства, формирующего оптимальное управление, должно быть изменение знака управляющего воздействия в моменты времени, отвечающие условиям оптимальности.

Существуют две постановки задачи управления по быстродей­ ствию [15]:

1. Стабилизация динамического состояния автоматической си­ стемы. Здесь управляющее воздействие компенсирует отклонения, вызываемые возмущениями, действующими на систему.

183

2. Изменение динамического состояния системы. Управление в этом случае должно быть таким, чтобы обеспечить переход си­ стемы из одного динамического состояния в другое за минималь­ ное время с возможно меньшим перерегулированием. В этом случае влияние возмущений считается пренебрежимо малым.

В настоящем параграфе синтез оптимального управления рас­ сматривается только во второй постановке.

Имеется несколько подходов к решению этой задачи: метод динамического программирования Белмана, теорема об п интер­ валах (метод Фельдбаума) и принцип максимума Понтрягина

115,41].

Особенность первых двух методов заключается в том, что оп­ тимальное управление является функцией времени, и задача сво­ дится к определению моментов переключения релейного регуля­ тора. Реализация оптимального управления в данном случае тре­ бует наличия в контуре управления вычислительного устройства.

При использовании для синтеза оптимального управления прин­

в виде функций фазовых координат системы, что позволяет реа­ лизовать его в системе автоматического управления движением судна по курсу при помощи регулятора с обратной связью. Этот метод в последнее время получил наиболее широкое распростра­ нение в Советском Союзе и за рубежом и будет использован в этой книге.

Рассмотрим задачу оптимального быстродействия в общей фор­

i = l , 2, 3, . . . , п.

Необходимо найти такие управляющие воздействия ии и2, ..., ит, которые переводили бы объект из заданного начального состоя­ ния xto, Х2 0 , ■■ Хпо в заданное конечное состояние хц, х2и . . ., хп\ за минимальное время при ограничениях на управление:

I Их | "'СИх тах,

(II 1.89)

Ит | Ищ max-

Функционал, который надо минимизировать, имеет вид

т

I = \ dt.

'о

В рассматриваемой задаче объекты управления могут быть как линейные, так и нелинейные с постоянными и переменными параметрами. Число регулируемых величин п и число регулирую­ щих органов m могут быть любыми.

1 8 4

Для определения необходимых условий нужно составить не­

ные переменные, являющиеся решениями вспомогательной системы дифференциальных уравнений, имеющих вид

Л. С. Понтрягин и его ученики доказали, что оптимальное уп­ равление Mi*, м2*, ..., мт * максимизирует функцию Н по м. Выте­ кающие отсюда условия являются лишь необходимыми. Всякое оптимальное управление максимизирует функцию Н, но не всякое управление, максимизирующее функцию Н, является оптималь­ ным. Для линейных объектов условия являются необходимыми и

достаточными.

Исходя из принципа максимума, можно найти управления, среди которых будут находиться оптимальные. Действительно, мы

нахождения управлений, среди которых будут находиться опти­ мальные, в принципе разрешима. Однако при решении имеются серьезные практические трудности. Главная из них состоит в том, что приходится решать систему 2я дифференциальных уравнений [см. (III.91), (111.92)] при необычных условиях. Здесь мы имеем дело с задачей Коши, когда кроме уравнений заданы начальные значения для всех переменных. Методы решения такой задачи известны, хотя решается она не всегда просто. В рассмат­ риваемом случае задача существенно усложняется тем, что* для переменных xt заданы я начальных и конечных условий. А для функции фг не заданы ни начальные, ни конечные значения. Пря­ мые пути решения подобных задач, даже для линейных объектов, пока неизвестны. Имеются лишь итерационные методы, весьма сложные и громоздкие. Для решения подобных задач, как пра­ вило, приходится использовать современные средства вычислитель­ ной техники.

Для линейных задач низкого порядка удается получить реше­ ние методом фазового пространства.

Наиболее удачное решение задачи получается при уравнении движения объекта второго порядка, так как в этом случае иссле­ дование можно проводить на фазовой плоскости. Поэтому если мы должны рассчитать систему управления движением судна по

185

курсу в случае, когда судно описывается уравнением выше второго порядка, то сначала нужно так упростить уравнение, чтобы при близких динамических свойствах объект можно было описать уравнением второго порядка. Например, если судно описывается в общем виде передаточной функцией

Р (1 + Т'гР + Т’гР2)

то следует подобрать такую передаточную функцию с близкими частотными свойствами в области рабочих частот, которая бы имела вид

^экв___

^р(Р) =

Р (1 + Т э к в р )

Другими словами, необходимо, чтобы амплитудно-фазовые ха­ рактеристики этих передаточных функций в области рабочих ча­ стот совпадали (см. пример к данному параграфу).

Следующий шаг синтеза состоит в том, чтобы уравнение дви­ жения системы свести к виду

X! = fi = X2‘,

По принципу максимума Понтрягина управление будет опти­ мальным по быстродействию в том случае, когда функция Гамиль­ тона достигает максимума [15, 38].

Функция Гамильтона в общем виде, как отмечалось выше,

н = 2 Н -

i = l

Для системы (111.93) функция Гамильтона принимает вид

Дальше необходимо решить сопряженную систему уравнений относительно фг, найти число перемен знака функции фг и по­ строить линию переключения, на которой управление меняет свой знак.

Для реализации оптимального управления линию переключе­ ния целесообразно построить на фазовой плоскости. С целью уп­

1 8 6

рощения закона управления линию переключения аппроксимируют наиболее простой кривой, и управление получается квазиопти-

мальным.

В заключение расчета должна быть составлена структурная схема системы и произведена проверка реализации оптимального управления на ЭАВМ.

Для пояснения методики расчета оптимальной по быстродейст­ вию системы управления движением судна по курсу рассмотрим пример.

Пример. Произвести синтез оптимального по быстродействию закона управ­ ления движением судна по курсу, если передаточная функция судна по управ­ ляющему воздействию равна

с обратной АФХ заданного объекта кривая I, соответствующая передаточной функции W2экв(р). Поэтому синтез оптимального управления будем вести для объекта, приближенно описываемого передаточной функцией

Преобразуем (III.94) в нормальную систему дифференциальных уравнений

*i = *2;

187

Функция Гамильтона равна

Для нахождения частного решения системы (III.97) необходимы ее гранич­ ные условия, которые не заданы и определены быть не могут. Однако по об­ щему решению (II 1.98) можно определить число перемен знака функции фг, что и требуется для решения задачи. Общее решение сопряженной системы диф­ ференциальных уравнений представляет собой семейство кривых. В зависимости от соотношений произвольных постоянных кривые фг( 0 могут иметь вид I—111

(рис. III.69), т. е. функция ф2, а следовательно, и оптимальное управление 0 могут менять знак не более одного раза за время переходного процесса.

Найдем уравнения фазовых траекторий системы (III.95). Для этого разделим второе уравнение этой системы на первое и, исключив таким образом из урав­

Положив 0 = — 1, непосредственным интегрированием получим

X,

( dxл = *! — *10 =

X,

=.Г x,dx« = — 6,65*2 + 0,665 In | 1 + 10*2 I + 6,65*20 —

- 0,015 — 0,15*2

*30

188