книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

I Y W

Ky.(sT) I

Ne~ncsl,

I У Т Г

Ä w

( ^ | < J V r S " r ,

I

V

_

I

/

_

(zT)

|</VecT.

(17)

W ly.(zT )\<^N e^,

zT

Поэтому

I

z у ZT

1 ^

(zT) V jT

K y (sT)

+ _

2

s V zT

Iy (zT) V

K y n (sT)

+

sT

| < /V

(I

| +

I

s

I). ‘

В силу

предположений

F z(z)

наших

относительно

инте­

грал (16) сходится равномерно на 1

Т

оо

для любого

фиксированного

s

при

Re s

с

0,

так что

мы можем

перейти

к

пределу

при

Т

—<•

оо

под

знаком

интеграла.

Поскольку Re s )> с =

Re z, неравенстваc-j-

(17) показывают,

что

V st

К у (st) dt =

s'lr*

гоо

F (г) г‘',+^

dz.

(18)

о

ІЯ

с—stoo

2

^ / (<)

(18),

5- — Z

Чтобы определить правую часть

вычислим интеграл

*

F (z) z1/l+(X

dz,

(19)

s3 — z3

проходимымiY , Y

вiYположительном, Y iY с

направленииiY , Y

прямоуголь­

ником. Углы этого прямоугольникаs.

расположены в точках

с —

—

+

и

+

где

— действитель­

ное число, большееiY ,ReY

ПоiYтеореме), (Yо вычетахiY , YвыражениеiY)

(19)

равно

—insV"'l'F (s).

Кроме того, интеграл по трем

(с —

сторонамF

—

—

+

и

(Y

+

iY , c

+

iY)

стремится к нулюF при У

-> <х> в силу

свойств

(z). Объединяя полученные результаты, мы на­

ходим, что правая часть (18) равна

(s

Доказательство

).

закончено.

З а д а ч а

6.2.1. Пусть / (х)

— непрерывная

функция

на

О <

X < оо,

имеющая непрерывную первую производную и ком­

пактный носитель на 0 х

оо.

Определим ее /-преобразование

порядка |і формулой

Используя связь между /(А (xs) н

(Xs), вывести формулу обраще­

ния для этого преобразования.

<комплекснымС t <С

числом,

удовлетворяющим неравенству

Re р > 0.

Пусть

h

(

— непрерывная функция на 0

оо,

заданная

формулой

Определим функционалы р £ к, к = 0,

1, 2, . . ., на глад­

ких функциях ф (г)

равенствами

R e p > 0

р£д(ф )Д

0sup

I еаЧѴ-'/=S$.q> (t) |,

<i<co

Если мы положим функцию уф (2) равной

при Re р

нормой {ра,к}Т=о-

0 является особым, поскольку

Отметим, что случай р =

полунорма р2,

к

имеет вид,

отличный от р£

к

(Re р ]> 0).

Re

При

любом

фиксированном

s,

таком, что s

=j=

0 и

s а

мы имеем

Y

si

(si)

£= <^Ѵ, а- Действительно,

из аналитичности

Y z

Ä’ii (z)

при

z Ф

0

вытекает гладкость

функции

Y st К у

(st)

на

20 <(

t

<[

оо6.

2Кроме того,

из фор­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

{срѵ}^=і — последо­

вательностьО t

Коши в

о,

и хпусть

Q

обозначает произ­

вольное

-компактное1

подмножество

интервала

I

=

{£:

в /, а Й

оо}. Пусть

также

— фиксированная

точка

обозначает

оператор

интегрирования:

I

^ . . . dx.

Тогда для любой гладкой на I

функции £ (/)

Оператор

D - ' D t

(t) =

£(*)

— £ (т).

задается

выражением

S y . cp, (t) =

t - v - 'h D t iv - ^ D t - v - 'l- - фѵ(г);

(1)

и

(2)

=

фѵ (t) —

( - ^ )'І+Ѵгфѵ (г) + и (t)

D -. т-іх- ,/г(рѵ(t), ((3)

где

I

(2p)-1 t'kr It-VxW — №],

R e p > 00,

^^

l'!tx[\nxI

— lnij,

P = .

ра, о-

Так как

U

(О

Ф

0, то из формулы (3)

мы получаем

равномернуюDсходимость последовательности

D xx-v~'k

срѵ (г)

Dприt

V

оо.

Формула (2)

показывает теперь,

что последо­

вательность

t

а поэтому и последовательность

D 2фѵ ((0і)і

сходятся

равномерно

на

каждом

компактном

множестве. Далее, из равенства (5) п. 6.1

следует, что

фѵ

также равномерно сходится на каждом компакт­

ном

множестве

Q.

рассуждения,

заменив

фѵ

на

££фу,

а

Повторим

эти

1

что при любом не­

5[лфѵ — на <5^,+ фѵ. Мыкполучим тогда,

отрицательном целом

последовательностьI, состоящая из

функций

D kq>v (t),

равномерно

сходится на

всех £2. Су­

ществует,

следовательно, такая гладкая на

функция ф (t),

для которой при любых

к

и

t D*

фѵ (it)

-»■

D

t

при v -* оо.

Kф ( )

ЖуМожно-.а’

дать

другую

формулировку

предположенияк

о том,

что

{фѵ}

является последовательностью

Коши

в

для

любого0

неотрицательного

целого числа

и

произвольного е

найдется такое действительное число

N k,

что при всех ѵ,

ц >

N k

будет

p£fc (фѵ — фч) <

е.

Поэтому,

перейдя к

пределу

при ц -» оо,

мы получаем

для

всех

V

N k. Ра,ft (фѵ — ф) <

8

при

-ѵ ->

с»

0

для

Другими

словами,

Pa,ft (фѵ — ф) ->

всех

к.

С к,

{фѵ}

Из

сходимостик.

последовательности

вытекает

существование Стакой

постоянной

не зависящей от ѵ,

ЧТО

pa,ft (фѵ) <

Поэтому в силу формулы (4)

pa.ft (ф) <

Ра,ft (фѵ) +

pa,ft (ф — фѵ) <

С к

+ 8.УСхі. а

Таким

образом,

ф

принадлежит

пространству

и

является

пределом

в

последовательности

{фѵ}.

Доказательство

закончено.

I ,

что

—

Полученные

результаты

показывают,

пространство основных функций на

поскольку выпол­

нены все

три условия

п.

2.4.

странства

обобщенных

функций.

Ниже мы перечислим некоторые свойства пространств

I. Очевидно,

(Г)

является

подпространством

25(I)

а сходимость

в 25

влечет сходимость в

УС^а-

Следова­

тельно, сужение любой обобщенной функции

/ (=

на

25

(Г)

принадлежит

25' (/).

в

Кроме того,

сущест­

При этом 25 (I)

не плотно

вуют два различныха Ь,(Г)элементаСКу.>ь

пространства^ v .a ,

СКх^а,

суже­

ния

которых

на

25

то

совпадают

(см.

задачу

6.3.1).

II .

Если

<

£№\>.,а-d

причем

топология

пространства

сильнее

топологии,

индуцированной

на

ЛГ|х,ь пространством

а,Это

свойство

вытекает из

леммы

1.6.3

и

неравенств

р

к

(ф) ^

рі>д- (ф)>

^V.i»

к =

0,

1,

2, . . .

Поэтому

сужение

любого

элемента

/ GE

а

на

принадлежит

не плотно в

Можно

Однако пространство

показать,

кроме того,

что

существуют два

различных

элемента

пространства

Жхх<а,

сужения которых

на

Жу.,ь

6.3.2).

совпадают (см. задачу

и

а

8

Ж\х,а

I I I .

При

любом

выборе

р

пространство

являетсяЖу.,а

плотным

8подпространством(і).

(/).

В самом деле,

25 (/) CZ % а

а

% С О .

35 00

плотно

в

8 {I),

поэтому

в

и

плотно

Кроме

того,

при

доказательстве

8леммы(Г).

6.3.1 мы установили, что из сходимости8' Г)

любой

последовательности в ^\і,а вытекает ее сходимость в

Поэтому

в

силу

следствия

1.8.2а

(

является

а

Ж у ,

а

при всех

допустимых значениях

подпространством

и

р.

рассматриваемом

нами

сейчас

случае теоре­

IV . В

/ ЕЕ Жу^0

ма 1.8.1 формулируется следующим образом: для любого

г

С

элемента

найдутся неотрицательное целое чи­

сло

|</.Ф>1!<С max ра,;с (ер)

такие, что

и положительная постоянная

при

всех

ф Е:

0</і<г

могутSy

зависеть от /,

Здесь

С и г

по не от ф.

Ж у ^ а

Ж у , а ',

V .

Дифференциальный оператор

задает непрерыв­

ное линейное отображение

в

непрерывность

вытекает

Ра,к (5цф) =

Ра, к+ 1 (ф),

из формулы

ф Е ®1

<ß'yf, ф> =

</, -ѴР>-

(5)

Поскольку S_y = Sy (см.

равенство (5) п.

6.1), то

вается

как

обобщенный

оператор

(т.

е.

сопряженный

к

обычному).

а

t

а

V I.

Пусть

— произвольноеt) e~allдействительноеfy

число,

/ (Z) — такая локально

интегрируемая

на 0 <

< Е оо

функция,

что

выражение

/ (

(<)

абсолютно

инте­

грируемо

на

0 <

t

< оо

(функция

fy

t

определена в

( )

о *

(6)

</, Ф> = $ / (О ф (<) dt, ф е Жу а.

о

8 Л. Г. Земанян

225

а </.Ф >І<Ра,0 (Ф)$

-а7/(О

dtj cp ЕЕ Ж I

(7)

Если

/|х W

условиям

Р,а-

О или

0 и

р.

удовлетворяет

р =

О <[ Re р <

1,

то

Жуіа

можно отождествить

с

подпро­

менты

Ж [х)0, отличаются друг

от друга.

Поэтому если

а Д> 0,

то при р = 0 или 0 <

Re р <( 1

пространство

З а д а ч а 6.3.1. (а) Показать, что пространство 3)

(/) не плот­

но в Ж у а. У кааание. Пусть Re р >

0 и X (t) — гладкая

функция на

О < t < оо, заданная формулой

0 < «I < 1 ,

м о =

О,

2 <[ <Е оо.

(b) Показать, что существуют

два различных элемента про­

странства Ж у а,

сужения которых

на 3) (/) совпадают. Указание:

см.

пример 3.2.1.

Показать, что Ж у ь не плотно в

З а д а ч а

6.3.2. Пусть а < Ъ.

Ж у

и что существуют два различных элемента Ж у а, сужения

которых на Ж у ь совпадают. Указание:

для доказательства первой

части построить элемент

Ж у а,

тождественно равный функции

е-а<г-р+Ѵі на ИНТервале 2 <

t <

оо.

З а д а ч а 6.3.3. Пусть 0 <

Re ц <

1.

Определим функциона­

лы gh на Ж у а формулами

<*к, Ф> ^ lim Г ^ К у (t) D

(t) +

V t K ^ (t) J*<p («)■},

k = 0,

1 , 2 , . . . ,

tpe<5fjj,ia .

Ж у а.

Здесь а может принимать

любые действительные значения.

Указание. Пусть X (г) — гладкая

функция

на

0 <

t <С оо, причем

X (t) =

1 при

0 <

г < 1, и X (t) =

0 при

2 <

г <

со. Выполнить

два интегрирования по частям в выражении

ОО

5 Ѵ Г ^ ( 0 М 9 ^ +1Ф (*)Л,

8 > 0 ,

е

и использовать тот факт, что

=

5 _^ .

З а д а ч а

6.3.4. Пусть а — произвольное действительное чис­

ло. Определим функционалы hk на Ж 0 а формулами

<hk, ф> й. lim

{іКа (t) D [ г ’/ ^ ф (t)] +

t't'-Ki (і) sjfф (t)}.

t-H-o

Показать, что hk существуют и принадлежат Ж оа.

З а д а ч а

6.3.5. Пусть 0 <

Re р <

1. Доказать, что обоб­

от соответствующего обычного оператора.

Указание. Сначала заме­

тим, что в обычном смысле Sy Y < Ку (0

=

Y~i Ky(t) (см. равенство

(9) п. 6.2). Пуеть, с другой стороны, Y

t Ку (0 обозначает регуляр­

Показать, что /

действительно принадлежит Ж у а.

З а д а ч а

6.3.6. Пусть

а > 0 и, кроме того,

= 0

0 < Re ц < 1.

Показать, что

топологии,

топология Ж у а сильнее и

и л и

6.4.

JT -преобразование

преобра­

Мы будем называть обобщенную функцию /

зуемой обобщенной функцией

, если она является элементом

пространства

при некотором действительном значе­

нии

а.

Тогда

согласно свойству

II п.6.3

/ принадлежит

^ ( х ,а и для всех—

значений

Ъ^> а.

Отсюда вытекаета

суще­

ствование такого действительного числа о/ (допускается

значение

— оо), что

/ ЕЕ

при

всех

а/ и

/ é?É

% і,а при

всех

а < (

О/.

а,

Поскольку

V s t

Кц (st)

е ^ ц ,а при

любом

фиксиро­

ванном s, если только s

0 и Re s

то мы можем опре­

делить

К-преобразование порядка

р

обобщенной

функции

/ равенством

( V )

(s) =

</ (0, Ѵ й К *

(St) >, 5 е

П/,

(1)

F (s) =

При

а / <1 0 область Q/ представляет собой разрезан­

ную

полуплоскость,

полученную

выбрасыванием

всех

действительных неположительных

значений

s.

Определе­

ние

(1)

имеет смысл

как

результат применения /

(t)

ЕЕ

ЕЕ •'й’н.а

к функции

ss.i

К а

(st)

ЕЕ а•'Яці.а, где

а

может быть

любым действительнымобластьючислом,определенияудовлетворяющим нера­

венству О/ <[ а <! Re

Число

называется

абсциссой

сходимости, a Q / —

^-преобразо­

зывать

К-преобразованием порядка

р

обобщенной функции

/ также и операцию

F .

=

при s ЕЕ Q.{,

F

(s)

Как обычно, если мы пишем

то подразумеваем при

этом, что / является

^-преобра­

комплексному

числу с

положительной

действительной

частью,

и что

F (s)

задается формулой (1),

а ß , — форму­

П р и м е р

6.4.1. В качестве простого примера Ä -преобразова-

лойния обобщенной(2).

функции рассмотрим преобразование обобщенной

функции

б (t — т), где

к — неотрицательное целое число, а

[% ?£ , ,6 (і - -с)] (s) = <S*' ,ö (I -

т),

Ѵ ^ і К у (s<)> =

•= <6 (t -

т),

, / s i K y (*t)> = s2'1 V « tfp (rt),

s

—0 я,

<

a r g s < я .

щенных функций

содержит как частный случай обычное

t

такая локаль­

i f -преобразование. Например, если / ( ) —

t

e~al/jp t)

но интегрируемая функция, что выражение / ( )

(

абсолютно

интегрируемо

на

0 < ^ £ < ^ о о ,

то,

согласно

свойству V I

п. 6.3, / порождает в пространстве

Жу, а

регу­

лярный

элемент,

i f -преобразование

(1)

которого

имеет

вид

F

(s) =

оо

(t) Y

st Ку- (sl-) dt,

He

s

>

a.

^ /

то Т е о р е м а

0

Если

F

(s

при

s

6E П/,

6.4.1.

) = %і/

для любого

положительного целого числа к

Я?4 /

=

« А /

=

s-kF

(s),

s E fl/ .

6.3

и ра­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

свойства

V п.

венства (9) п. 6.2

st)y

=

(s),

S E= Q/-

RpSyf =

</ (t),

Sp V st i f p. (

Поскольку

=

</ ( O l

s2fc У st ifp (s0> =

Sp = 5_p,

то

доказательство закончено.

о,

0 < f <

7',

t|A+’/*,

7'<г<оо.

формулу (7) п. 6.2, что

Показать, используя/(о =

(sr)-

Re s > °-

для (Жр/) (і).

(V ) w =

Затем, применяя теорему 6.4.1 при к = 1 , найти другое выражение

З а д а ч а

6.4.3. Показать, что

VT t к Чі =

V m ' e - S>,