Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4125 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

240	ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Коши с	«непрерывными», но не постоянными	коэффициентами,
а также	для задач в ограниченных областях,	когда граничные
условия	задаются не только при t = 0, но и на боковых грани

цах. Этим приемом можно пользоваться и для исследования не линейных задач.

1. Замораживание коэффициентов во внутренних точках.

Сформулируем принцип замороженных коэффициентов, поль зуясь в качестве примера следующей разностной краевой за дачей:

ит	ит — а (х„v	, ,	< - ! - 2 < + < + 1			1
ит	ит — а (х„v	, ,	< - ! - 2 < + < + 1			•о,
	m>	lp)		h2		•о,
	Р = 0,	1,		[Th]-i,		(1)
						(1)
	т — 0,			М;	Mh =	l,
	I up+l	0,	I	UP+1 =	0	J.
						J.
B этой разностной краевой		задаче			= 0 и	/2ы£+' = 0 - не-

которые условия, задаваемые соответственно на левой и правой

границах

сеточного отрезка

т sg; М.

(х,

Выберем

произвольную

внутреннюю

точку

области

O ^ x ^ l ,

где

рассматривается

задача

(1), и

«за

морозим» коэффициенты задачи (1) в этой

точке.

Возникающее разностное уравнение с постоянными коэф

фициентами

— а(х,

uni- \

~ 2 " m +

"m+1 =

л 2

(2)

р =

1, . ..,

[Tlx]

l ;

m = 0,

± 1 ,

будем рассматривать

теперь

не

при

0 <

при

всех

целочисленных

т. Сформулируем

теперь

Для

П р и н ц и п з а м о р о ж е н н ы х

к о э ф ф и ц и е н т о в .

устойчивости

задачи

(1) необходимо,

чтобы

задача

Коши

для

разностного

уравнения

постоянными

коэффициентами

(2)

удовлетворяла

необходимому

спектральному

признаку

устой

чивости

Неймана.

В обоснование принципа замороженных коэффициентов при ведем следующее рассуждение на эвристическом уровне стро

гости.
При измельчении сетки коэффициент a(x,t)				в	окрестности
точки {х, t) за любое фиксированное число			шагов		сетки длины
h по пространству и длины т	по времени ввиду			непрерывности
функции а(х, t) меняется все	меньше	и все	меньше отличается
от значения а(х, t). Добавим	к этому,	что	расстояние от точки
(х, t) до границ х — 0 и х —	1 отрезка, измеренное				числом ща-


	§ 26. ПРИНЦИП ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ							241
гов	сетки, стремится		к бесконечности. Поэтому при мелкой
сетке возмущения,		наложенные на		решение		задачи	(1) в	мо
мент	времени t —	t,	в окрестности	точки		х = х развиваются
(за малое время) примерно так же,				как	для задачи		(2).
Понятно, что это			рассуждение носит		общий характер.			Оно

не зависит от числа пространственных переменных, числа иско мых функций и вида разностного уравнения или системы урав нений.

В § 25 мы рассматривали			задачу Коши для уравнения вида
(2) и нашли,	что для	выполнения условия		Неймана отношение
г = %/h2 шагов	сетки	должно	удовлетворять	условию

r < — U - .

2а (х, t)

Поскольку в силу принципа замороженных коэффициентов для устойчивости задачи (1) это условие должно выполняться при любых (х,1), отношение r — x/h шагов сетки должно быть под чинено условию

г <

(3)

2 max а (х, t) хЛ

Принцип замороженных коэффициентов позволяет ориёТгти^ роваться на эвристическом уровне строгости и при исследова нии устойчивости нелинейных задач. Поясним это на следую щей нелинейной задаче:

		+	и2)ихх =	0,	0<х<1,
и(х,	0) =	1р0(*)>	0 < х < 1 ,
ы(0,	0 =	^1 (0,	« ( 1 , 0	= ^ ( 0 ,	o<t<T.

Используем следующую разностную схему:

' , , Р + 1	_ „Р	„Р	— 9ир	4- ир
т	m - [ i + K ) 2 ] m + 1		If	m - = o ,
	0<т<М,	р =	0, 1,	[ 7 У т ] - 1 ,
	ы о = - ф о ( т / г ) >	0 < m < M ,


В	ней допускается изменение шага хр						от	слоя	к	слою. Эта
схема		позволяет		последовательно,		слой	за	слоем,		вычислить
ulm,	т	= 0, . . . . М,		затем	и2т, т = 0,	1, . . . ,		М, и	т.	д.
	Допустим,		что мы уже		добрались	до	слоя	t — tp,		вычислили
U P	(	m = 0,	1, . . . , М, и хотим продолжать счет.

242	ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Как выбрать следующий шаг % = т р ? Можно принять, что нам предстоит сосчитать решение линейного разностного урав нения

„Р+1

„Р

пр

— 2ирЛ-ир

ит

n l v

i ч ц т + 1

г и т Т » т - 1 _

—

а (хт, ip)

д2

с заданным переменным

коэффициентом

а (хт,

tp) = 1 + (и£)2 .

Действительно,

естественно

считать, что

значения

ирт

близки

к значениям u(xm,tp)

гладкого

решения

и(х, t)

дифференциаль

ной задачи. Коэффициент

тогда

близок

к непрерывной

функции

а(х, t) =

1 -4- и2(х, t),

которая

на

протяжении нескольких вре

менных шагов

мало

изменяется.

Применение признака Неймана к уравнению с переменным

коэффициентом a(xm,tp)

дает ограничение

(3) на

соотношение

шагов сетки, необходимое для устойчивости:

Р ^

2 max | а {х,

tp)

2 шах

[ 1 +

(ирт)2

Отсюда

следует

рекомендация

выбрать

очередной

шаг т р из

условия

г <С

п2

Тр ^ 2 m a x | l + « ) 2 f -

Численный эксперимент на машине подтверждает правильность этих эвристических рассуждений.

Если необходимое условие устойчивости, полученное путем рассмотрения задачи Коши с замороженными в произвольной точке области коэффициентами, окажется нарушенным, то устойчивости нельзя ожидать ни при каком задании граничных условий. Подчеркнем, однако, что принцип замороженных ко эффициентов не учитывает влияния граничных условий. В слу чае выполнения необходимого условия устойчивости, вытекаю щего из принципа замороженных коэффициентов, устойчивость может иметь место при одних, и не иметь места при других граничных условиях. Теперь изложим признак К. И. Бабенко и 1-1. М. Гельфанда, учитывающий влияние границ в случае за дачи на отрезке.

2.Признак Бабенко и Гельфанда. При рассмотрении задачи

(1)мы полагали, что возмущения, сообщенные решению за

дачи (1) в окрестности произвольной внутренней точки						(х, t),
при	мелкой	сетке развиваются примерно так			же, как	такие
же	возмущения,		сообщенные	решению задачи	Коши (2)	с за
мороженными		в	точке (х, 1)	коэффициентами. В обоснование
этого принципа			мы принимали	во внимание, что расстояния от

§ 26. ПРИНЦИП ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

243

внутренней

точки

(х, 1)

до

границ,

измеренные

числом

шагов

сетки, при измельчении сетки неограниченно возрастают. Но

если точка

(х, t)

лежит

на

боковой

границе

х =

или х = \ ,

то это эвристическое

рассуждение теряет убедительность. Пусть,

например, х — 0.

Тогда

расстояние

от точки

х до любой

фик

сированной

точки

х > 0

(в частности,

до правого

конца

от

резка

л г = 1 ) , измеренное

числом шагов сетки,

при h—*0 по-

прежнему неограниченно возрастает, но число шагов

до ле

вого конца

х =

0 не меняется и остается равным

нулю.

Поэтому возмущение решения задачи (1) вблизи левой гра

ницы х = 0 за

малое время должно

развиваться

подобно

воз

мущению решения задачи

(4)

Эта задача получилась из исходной задачи (1) при

замо

раживании

коэффициента а(х, t) в левом конце

отрезка

х = 0

и одновременном удалении правой границы в +оо . Задачу (4)

естественно

рассматривать

только

на

тех

функциях

и*> =

= [ыр, ир, и.р, . . . } ,

для

которых

Только

в этом случае возмущение сосредоточено

вблизи

границы х = 0, и только относительно возмущений такого

вида

задача

(1)

и задача

(4)

вблизи левой

границы

х = 0 сходны

между

собой.

Точно так же развитие возмущений решения задачи (1)

вблизи правой границы х =

1 должно быть похоже на развитие

таких же возмущений для задачи

a(l,t)

от=...,

- 2 ,

- 1 , 0, 1, . . . . М — 1 ,

[

<5)

= o )

с одной только правой границей. Эта задача возникла

из ис

ходной

задачи

(1)

при

замораживании

коэффициента

а(х, t)

в правом конце

= l и при удалении

левой

границы в — о о .

Задачу

(5)

надо

рассматривать на

сеточных

функциях

= {...,

ир_2, up_v

ир,

и\

ЫР,},

удовлетворяющих

условию

и Р - > 0 п р и

от—>—оо.

244	Гл.	8. П Р И Е М Ы			И С С Л Е Д О В А Н И Я	У С Т О Й Ч И В О С Т И
Задачи	(2),	(4)	и	(5)	проще исходной задачи (1) в том от
ношении, что при фиксированном г =						%/h2 они не зависят от h
и являются	задачами			с	постоянными	коэффициентами.
Таким образом, процедура исследования устойчивости, учи
тывающая	влияние		границ, применительно к задаче (1) со

стоит в следующем. Надо составить три вспомогательные за

дачи (2), (4) и (5). Для каждой

из этих трех задач, не зави

сящих от h, надо найти все те

числа

(собственные

числа

оператора перехода от UP К UP+1),

при

которых

существуют

ре

шения

вида

» р

— 1 р » °

и-т — л и т .

При

этом

в случае

задачи (2) ы° =

{«„},

т = 0,

± 1 ,

должно

быть

ограничено. В случае

задачи (4) w° =

f«°,

и\,

и°т, . .

. j ,

ы ^ ^ О

при /п-> +

со, а

случае

задачи

(5)

и0 = f .

и0

ы° и° и0

и0)

и°т->0 при

т - > — со.

Для

устойчивости

задачи

(1)

совокупность

собственных

чи

сел

каждой из

трех

задач

(2),

(4)

(5)

должна

лежать

единичном

круге

\Х\^

(Задача

(2)

рассматривается при

каж

дом

фиксированном

х, 0 <

х <

1.)

Продолжим рассмотрение задачи (1). Будем

считать в даль

нейшем, что а(х, г1) 2= 1, и вычислим

спектры для всех

трех

за

дач

(2), (4) и (5) при различных

краевых

условиях 1хир+х

= О

1мт+1

= 0.

Подставляя

решение

Xpum

разностное

уравнение

(2),

получаем

(Я — 1) um — г (ит+1

— 2ит

+ ит_х)

r = -£r,

или

"m+1

— ^

] Ы т

И т _ ,

(6)

Э Т О — уравнение

второго

порядка.

Подобными

уравнениями

мы занимались в гл. 1. Чтобы написать общее решение урав

нения	(6), составим характеристическое уравнение
	< 7 2 + ( 2 + A ^ - L ) ? + l = = 0 .	(7)
Если	q — корень этого уравнения, то сеточная	функция

UM — A q

§ 26. ПРИНЦИП ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

245

есть одно из решений уравнения

,,Р+ >	Р	,,Р	_ . о„Р JL ,,Р
ит	ит _	ит+1	Zum + "m-1	п
Т			h2

Если \|<7\| =			1, т. е. <7 =		е"\ то ограниченная при m —• ~+"со и при
т - > — с »		сеточная функция
					р	, р	iam
как	мы видели			в § 25, является решением				при
				Я = 1 - 4 r s i n 2 - \| ,			0 < а < 2 я .
Эти	Я =	Я(а)		заполняют отрезок			1—4r	Я ^	1 на		веществен
ной	оси.	Этот		отрезок и есть спектр задачи					(2).	Собственных
значений		Я, не		лежащих	на	этом	отрезке,	задача		(2)	не имеет,
так	как	в случае отсутствия у характеристического									уравнения
(7)	корня		q, по модулю		равного		единице,	задача		(6) не имеет

ограниченного	при т - * ± с о решения.
Если Я не	лежит на отрезке 1 — 4 / - Я ^	1, то оба	корня
характеристического уравнения (7) отличны по модулю			от еди
ницы, но их произведение равно свободному		члену квадратного
уравнения (7),	т. е. единице. Поэтому среди	корней уравнения

(7) один по модулю больше, а другой меньше единицы. Пусть

для определенности		\|<7i\|<;l,		a \| q r 2 \| > l . Тогда		общее решение
уравнения	(б), убывающее		по модулю		при т — •	+ о о ,	имеет вид
		um	=	cqf(X),	,
а общее	решение	уравнения		(6), стремящееся		к	нулю при
т—*—оо,	имеет вид
		um	=	cqf(%).
Для определения собственных значений задачи (4) надо под
ставить ит	= с qf (Я) в левое граничное условие hu =						О и найти

все те Я, при которых оно выполняется. Это и будут все соб

ственные значения задачи				(4). Если,			например,
				1хи =		ы0 =	0,
то условие		cq\ = 0 не выполняется ни при каком с Ф							О, так что
собственных значений			нет.
Если l\U\ — щ — и0			— О, то условие cq\ — cq\ = c (ql — 1) = О
ввиду	q\ ф	1 приводит	к	с — 0, так			что	собственных	значений
опять	нет.	= 2«i — «0 =						c(2q\ — 1) =
Если		= 2«i — «0 =		0,	то	условие		c(2q\ — 1) =	0 выпол
няется	при	с Ф 0, если	<7i =		7г-

246

ГЛ. 8. ПРИЁМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Из уравнения (7) находим, что в

случае

<7i =

'/г

число X

есть

1 + r U - 2 + - Ч = 1 + г 1 - 4 + 4 = 1 + •

<7i

Это и есть единственное собственное значение

задачи (4). Оно

лежит вне единичного круга, так как

X =

1 +

г/2 >

Анало

гично вычисляются

собственные

значения

задачи (5). Они по

лучаются

из

уравнения

где

huM =

О,

um==af,

q2(X),

т = М, М—\,

М — 2, ...

Рассмотрим в качестве еще одного примера

разностную

схему

„р+1 _

„ Р

"m+1 —

иг,

р =

1, . . . .

[Т/х]-

/и =

М — 1,

(8)

Ш = 1 ,

„О

_ ${хт),

m =

М,

„ Р + 1

"*Л1м

—

и >

аппроксимирующую

задачу

щ—их

0<х<1,

0<t<T,

и (х,

-ф (*),

и (1,/)

Применим для исследования ее устойчивости признак Ба-

бенко — Гельфанда.

Сопоставим

схеме

(8)

три

задачи:

задачу

без боковых

границ

„ Р +

1 _ и"

4т+1

" т

ит

/п = 0, ± 1 ,

(9)

задачу с одной только левой боковой границей

„р+1 _

„ Р

lm+\

• = 0,

m =

(10)

/г

и задачу с одной только правой

боковой

границей

„ Р + 1 _

„ Р

"m+1

" " л

:0,

m =

M — 1, М — 2,

( П )

< ' = 0, р = 0, 1, . . . .

[Т/х]-1.

§ 26. ПРИНЦИП ЗАМОРОЖЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ	247
В случае задачи (10) с одной только левой боковой	грани

цей граничного условия нет, так как его не было в исходной задаче (8).

Надо найти совокупность собственных чисел всех трех опе раторов перехода от UP К U P + 1 , соответствующих каждой из трех

Рис. 26.

вспомогательных задач (9), (10), (11), и

выяснить,

при каких

условиях все они лежат в круге

Решение

вида

Um — A

при подстановке в разностное

уравнение

и « + ,

= ( 1 - г ) 1 & + / < + , ,

r = j ,

приводит

следующему

обыкновенному

разностному

уравне

нию

первого порядка для

собственной

функции:

(k—l+r)un

— гит+1

(12)

Соответствующее характеристическое

уравнение

(X—l

r) — rq = 0

(13)

дает

связь

между X и q. Общее решение

уравнения

(12)

есть

= cqm=c[X-[r

r ) m

m =

0, ± 1 * . . .

При

\q1=

1, q =

eia, 0 < а < 2 л

Л =

(1 — r) +

re'a .

Точка к =

Х(а) пробегает

окружность

с центром в точке

1 — г

и радиусом г. Это и есть собственные значения

задачи

(9)

(рис. 26,а).

Убывающее

при

т—>-f-oo нетривиальное

решение

upm

l"u,n =

cQXpqm

задачи (10)

существует при любом

\q\<

248	ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Соответствующие		X = 1—r-\-rq	заполняют,	очевидно,	всю
внутренность круга,		ограниченного	окружностью Х = (1—г) +
-f- reia	(рис. 26,6).	задачи (11) ирт=Хрит,
Наконец, решения		задачи (11) ирт=Хрит,		убывающие	при
т-+—оо,	должны иметь вид
		upm = cXpqm,	\q\>\,

где % и q связаны равенством (13).

Из граничного			условия им — 0 следует,			что		нетривиальное
решение	(с Ф 0)		существует	только	при	X = X(q) — 0,				т. е.
при q — (r—1)/г.			Эта величина q по модулю				больше		единицы
в случае	выполнения одного			из неравенств			(г—1)/г>>1			или
( г — 1 ) / г < — 1 .		Первое неравенство			решений		не	имеет.		Реше
ние второго: г <		'/г-
Итак,	при г <		7г задача	(10) имеет собственное					значение
Х — 0 (рис. 26,в).			На рис. 27,а,б,в		изображены			объединения

собственных значений всех трех задач соответственно для слу чаев г < 72 , 72 < г < 1 и г > 1.

		Рис. 27.
Ясно, что объединение собственных значений всех трех за
дач лежит в круге	\| А , \| < ; 1 +	ст, где с не зависит от h, в том и
только том случае,	если г ^	1.

Изложенный здесь признак устойчивости нестационарных разностных задач на отрезке, учитывающий влияние граничных условий, применим и в случае краевых задач на отрезке для систем разностных уравнений. В этом случае естественные на первый взгляд схемы, удовлетворяющие признаку Неймана, ча сто оказываются неустойчивыми из-за неудачной аппроксима ции граничных условий, и важно уметь подбирать схемы, сво бодные от этого недостатка.

В гл. 13 мы еще вернемся к обсуждению спектрального при знака Бабенко — Гельфанда с некоторой более общей точки зре ния. В частности, будет строго доказано, что его выполнение необходимо для устойчивости и что при его выполнении устой чивость не может «грубо» нарушаться.

ЗАДАЧИ

249

ЗАДАЧИ

1. Выяснить условия

выполнения

спектрального признака

устойчивости

для разностной

схемы

urn+{~um

ит+\~ит-\

ит+\

%ит +

ит-\

2А

Л2

т=

М-

ит = Ф (*т)>

0 ' 1

М>

—

„ Р +

1 .

« Г - « о Р

/> =

1, ... ,

[Т/х]~1,

аппроксимирующей

дифференциальную

задачу

и{

— их =

0<х<1,

0<t<T,

и (х, 0) =

ф (х),

«(0,

0 =

и(1, 0 = 0

на гладком

решении «

со вторым

порядком относительно

О т в е т :

т/А <

2 . Для

построения

разностной

схемы, аппроксимирующей

следующую

краевую задачу для гиперболической системы дифференциальных уравнений

			dv	dm
			dt	дх	'
			dw	dv	0 < х < 1 , 0 < < < Г ,
			dw	dv
			~ЬТ~~дх~'
			v (х, 0) =		ф, (х), w(x,0) = $2(x),
			о(0,	t) =	w (1,0 =	0,
,	ч	/	v (х, 0 \
положим и (х, 0		=	V w, (х,	,0 /и запишем		ее в матричной форме:
			д		» д
			-аГ и — л -з— а = 0,

в( * , 0 ) = - + (*),

о(0, 0 - в ( 1 , 0 = 0,

где л = ^	^ \| . Выберем сетку (xm,	tn) =	(mA, гат), А =	1/Af,	М — натураль»
ное. Положим
т	21	Т Л	Р		_ 0 ,
			m =» 1,	2	М — 1,

«^+1 . „ 5 + 1 в 0 .

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4125 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ