книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

Прежде

чем доказать

последнее

утверждение,

заметим,

что если изме­

нить норму

|| flll)

\\FП, положив

|| /<« \\Ph = уй

max I с р

I +

А ^

I «m I 2

+ max

A - +

max max | ф р

| ,

V m=Q

1

.

P

m

то оператор

определенный

формулами

(13), будет

удовлетворять

условию

Г, но порядок аппроксимации

будет

не h2, а только h'1'1. Мы умеем, не меняя

норм, привести

разностную краевую

задачу (12)

к каноническому

виду

(2)

смотренным в § 25, и спектральным

признаком

(5) равномерной

ограниченности (3)

норм степеней оператора Rh- Воспользуемся

для этого, например, разностной схемой

х

h

=

ф (Хт'

*Р>'

т = 0, ± 1 ,

р = 0, 1, . . . . [ Г / т ] - 1,

аппроксимирующей

задачу

Коши

•gf — -57 =

Ф(*, t),

— 0 0

< Х < 0

0 ,

0 < / < Г ,

и (х, 0) =

ip (х).

Мы

в §

25.

Перепишем рассматриваемую схему в каноническом виде (2),

определив Rh, v =

Rhu

и рР формулами

f m =

(l — r)um

+

rum+l,

r = x/h,

\

рр=<?р{^ср(хт,

/„)}.

J

Определим норму

в U'n

формулой

|| и || =

sup

I ит |. Тогда функ-

§ 41. ОЦЕНКА НОРМ СТЕПЕНЕЙ ОПЕРАТОРОВ

357

пространству

Un и

являются

собственными

функциями

опера­

тора Rh:

Rhu = (1 -

г) е{ат

+ feia * m + 1 >

=

[(1 - 1 ) + reia]

e i a m =

A (a) u,

где

Л(а) =

1 -f

+ feia

(7)

является собственным числом. Условие устойчивости

(5)

ввиду

независимости Х(а)

от т сводится к требованию \Х(а)

| ^

1, ко­

торое выполняется при всех вещественных а при г ^

1.

Как показано в § 25, условие

(5) в случае задачи

Коши для

странство

U'h

состоит из функций, определенных в точках

Pi, Pi, . . . ,

Рт

сетки (эта сетка может лежать на отрезке, на

плоскости

или в пространстве — безразлично), и что в Un вве­

функций

u,v^Un

обозначим

(и, v). Пусть, далее, оператор Rh

равномерно по h ограничен некоторой постоянной С\\

R A I K C I ,

(8)

и отображает пространство

Uh на некоторое подпространство

U'h cz Un

размерности N ^.М,

причем на подпространстве U'h опе­

ратор Rh

является

самосопряженным, т. е. (Rhu, v) = (v,

Rhu)

для любой пары

функций

U'n. Как известно из курса

линейной

алгебры,

в этом случае в подпространстве U'h

суще­

ствует ортонормальный базис

г р ,

ф«0,

(9)

Т е о р е м а

1. Для

выполнения

оценки

(3)

необходимо

и до­

статочно, чтобы выполнялось

неравенство

max| %k К

1 + с2т,

с2 = const.

(11)

k

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Н е о б х о д и м о с т ь

доказана

в п. 1.

Докажем

д о с т а т о ч н о с т ь .

Пусть

u^U'n.

Разложим

вектор

#л ы =

и<= U'h по базису

(9):

v =

2

a*i|><ft).

Тогда

в

силу

(10)

м

fc=i

/ м

у/,

/ м

у/,

< т а х | я Г ' |

2

a|

= max | if11

• || о ||. (12)

A

\k=l

I

к

Принимая во внимание,

что благодаря (8)

H»ll = ll**«ll<cill"ll.

а также

условие (11),

из

оценки (12)

выведем

(3):

| ^ | | < с , т а х | ^ Г ' | < с , ( 1

+

С2Х)Р-1

<с,(1

+ с2 т)г /* <

Cle°>T=K.

k

Ниже

мы

установим

некоторые

признаки

самосопряженно­

v] =

±-^u{Pk)v(Pk)

(13)

U'h

определено равенством

(и,

v) =

[u,

о].

(14)

Пусть, далее, оператор Rh,

b =

Rha,

задан формулами

Ь(Рк)

=

Цакаа(Р8),

a*s ™ а1к.

(16)

Пусть, например, оператор

Axx-\-Avv

действует

на сеточные

функции пространства U'h,

определенные не на

квадрате, а в