книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие
.pdf340 |
ГЛ. 12. КОНСТРУКЦИЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕХОДА |
|
|||||||||||
для задачи |
о теплопроводности |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ди |
|
д2и |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и(х, |
0) = ap(x), |
|
|
|
(15) |
|||
|
u(0, |
0 = |
* i ( 0 , |
" ( 1 - *) = |
Ы 0 , |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0<t<T, |
|
0 < |
* < |
1. |
|
|
|
|||
Мы подробно рассматривали эту схему в § 22. |
|
|
|||||||||||
Примем |
за и" |
вектор |
ИР = |
(«Р, |
и\, |
|
|
и"м) с нормой |
||ыр || = |
||||
= т а х | ы Р |
|. Решение |
на ( р + 1)-м слое запишем |
в виде |
суммы |
|||||||||
|
|
|
|
цР+1 =x)P+l |
_|_ хрР , |
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 p + i = ( t » p + « , |
vl+K |
... . 05+») |
и |
рР = |
(р0 Р, Р Р , |
. . . . рр,) |
|||||||
в свою очередь являются |
решениями |
вспомогательных |
систем |
||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°op + , |
= "S = * i ( ' P ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ГК\\ |
- |
(1 + |
2/-) |
+ |
rvP+\ |
= |
- UP, |
|
(16) |
|||
|
|
|
m = 1, 2, . . . , М — 1, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
= |
|
— 4>a |
|
|
|
|
|
|
|
||
^1 (^p+i) — ^1 (<P ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ( l + 2 r ) p p + r p p _ , = < p P , |
m = |
l , |
2, |
M - l , |
(17) |
||||||||
p = l|>2 Cp+l) ~ 1p2^p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Первую из этих систем можно считать определением опе ратора Rk и положить
Если | | / ( А ) Р Р д определить по-прежнему равенством (10), то выполнение условия 1°
l l p p l l < t f i l l / ( / %
§ 39. ЗАПИСЬ |
РАЗНОСТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ |
341 |
вытекает из оценки |
|
|
| р ^ | | ^ max |
1|>2 Vp+i) — 1|)2 (1* Р ) |
. max <p£ |
доказанной в § 22. При этом /(, = 1. Условие 2°
11"°1КЯ2 ||/<А )
также выполнено, причем, очевидно, можно положить К2 — 1. Далее, в § 22 была доказана оценка
| u p + 1 K m a x | u P I ,
которую можно истолковать как неравенства
|
|
| | В Д К И " 1 1 , |
II Я* 1 K b |
|
|
|||
откуда |
|
| | ^ [ | < / С = 1 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Мы сейчас |
повторили схему доказательства |
устойчивости из |
||||||
§ 22, показав, |
что она совпадает с предлагаемой |
здесь. Рассмо |
||||||
тренный пример |
интересен |
еще и в том отношении, что он пока |
||||||
зывает довольно |
сложный |
способ |
конструирования вектора р р . |
|||||
|
|
|
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
1. Для системы уравнений |
акустики |
|
|
|
|
|
||
4f |
А |
= ф ( * '()' |
- ° ° < * : < 0 |
0 ' |
0<t<T, |
|
||
|
и(х, 0) = г|> (Л:), |
оо < |
X < оо, |
|
|
|||
|
|
1 0 / |
|
|
V 8У (*,. О / ' |
|
|
|
|
f ( * . o - i , 4 , , ( * ; ; ) . |
|
|
г|>, (Л:) |
|
|
||
|
* < * > - . , |
|
|
|||||
привести к каноническому виду (3) схему |
|
|
|
|
|
|||
|
|
*m-I |
|
|
|
|
|
|
|
|
2А |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
2 ' ( < + 1 |
- 2 < |
+ |
« £ _ , ) = Ф ( * т . <„). |
(•) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ (*m). |
|
342 |
ГЛ. 12. КОНСТРУКЦИЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕХОДА |
|
||||||||||||||
приняв и р = |
{ир „}. Проверить, |
что при выборе |
норм по |
формулам |
|
|||||||||||
II «<"> \\ц |
= max || « р |
||, |
|| /<й> ||, |
= |
|
max |
[ || ф |
||, |
max |
|
|| <р<р> || ], |
|||||
где |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II » Р Н2 = 2 ( К Г + |
I < Г). I I W = 2 (I +1 W I2 + I ^ |
I2 ), |
||||||||||||||
|
m |
1Р) || = 2 ( |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|| |
I Ф1 ( * т , |
*р) I |
2 |
+ I <Р (х |
, |
t |
) I |
2 |
), |
|
|||||
|
ф |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
т |
|
p |
|
|
|
||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполнены условия приведения 1°—3°. |
|
схема |
(*) |
|
устойчива, а |
при г > 1 |
||||||||||
Доказать, |
что при т ^ |
1 |
разностная |
|
||||||||||||
неустойчива. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Для оценки норм ||Rp h || |
|
|
перейти к переменным |
|
|||||||||||
|
|
'т |
ит~ шт> |
'т |
|
|
vm |
wm> |
|
|
|
|
|
|||
называемым римановыми инвариантами, и воспользоваться спектральным
признаком п. 4 § 25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Разностную |
схему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ Р + 1 _ |
2 о р -4- п р |
- 1 |
|
п р |
— 9г)° 4 - |
п ° |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
••<¥m> |
||
|
|
P= |
1 |
[Г/т] - |
1, |
|
|
|||
« т = Ф о ( л : т ) . |
|
О т ™ * ! |
|
|
= 0, ± 1 |
|
||||
аппроксимирующую задачу Коши |
|
|
|
|
|
|||||
d2v |
d2v |
• ф (X, t), |
— оо < x |
< oo, 0 < |
f < Г, |
|||||
dt2 |
dx2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
о (дс, 0).= -фо (x), |
d V |
^ ' |
°^ |
= ф | |
(x), |
— oo < |
x < oo, |
|||
привести к каноническому виду |
(3), |
положив |
|
|
|
|||||
|
|
|
^ , + , - t > p |
|
I « P U 2 = £ K I 2 + 2 |
||
|
|
,,(A) I |
: max I uH |
|
|
|
|
|
L |
= | | фо II4-II ф, I 4-max ||Ф р | |
|
а) |
Проверить, что выполнены условия Г—3°. |
||
б) |
Доказать, что при |
т/Л = г ^ 1 схема устойчива, а при т/Л = г > L |
|
неустойчива.
§ 40. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ |
343 |
§ 40. Использование частных решений при конструировании оператора перехода
В § 39 рассказывалось о приведении разностной краевой за дачи
!„«<*>=/<*> |
(1) |
к виду
ы р+1 = RnuP + трР, «° задано.
При этом оператор Rn можно выбирать по-разному. Цель приве дения к виду (2) состоит в том, чтобы по оценкам величин \Rh\ можно было судить об устойчивости. Было показано, что оценка
\Rph\<K, |
р=1, |
2, . . . . [Г/т], |
(3) |
обеспечивает устойчивость, если только оператор Rn и нормы выбраны так, что выполняются условия:
1° |
I I P p l l < t f , l l / ( A ) l b v |
где р пробегает все значения, при которых р Р определено;
2° |
Ы\\<ьКг\\РН)\\Рк. |
Впримерах, рассмотренных в § 39, оператор Rn удавалось выбрать достаточно простым и в то же время обеспечить выпол нение условий Г и 2°. Однако могут встретиться и такие при меры— один из них мы рассмотрим в этом параграфе, — когда
условие 1° является слишком жестким, так что оператор Rh с учетом этого условия нельзя взять достаточно простым.
Вэтом параграфе будет показано, что оценка (3) остается достаточной для устойчивости, если условие 1° заменить менее ограничительным условием 1*. Благодаря замене условия 1°
условием 1* оператор Rn при приведении разностной схемы к виду (2) можно выбрать тем проще, чем больше сведений имеет ся о решениях рассматриваемой разностной задачи (1). В част ности, структура оператора Rh, пригодного при приведении раз ностной схемы к виду (2), упрощается, если известны некоторые частные решения разностного уравнения, входящего в состав разностной краевой задачи (1). Соответственно упрощается до
казательство |
неравенства (3), из которого |
вытекает устойчи |
||
вость. |
|
|
|
|
Все это мы поясним позже примерами. Перейдем к форму |
||||
лированию условия 1*. |
|
|
|
|
Пусть zf.h) — какая-нибудь |
сеточная функция из Uh, |
завися |
||
щая, вообще |
говоря, от /<Ч |
При приведении |
разностной |
схемы |
344 ГЛ. 12. КОНСТРУКЦИЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕХОДА
(1) |
к каноническому |
виду |
(2) мы расслаиваем |
сеточную |
функ |
|||||
цию «С1' на функции |
« р е ип- |
Проведем такое |
же расслоение |
|||||||
функции г(Л ) на функции zp |
Е(/»И предположим, что ZP удовле |
|||||||||
творяют неравенствам вида |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 | 2 р 1 К Ш ( / Ч А , |
|
|
(4) |
|||
где К—некоторая |
постоянная, |
а р пробегает те значения |
р = |
|||||||
= |
О , 1 , . . . , р0, при которых |
ZP определено. |
|
удовлетворяющая |
||||||
|
У с л о в и е 1* Существует |
функция |
z(*l\ |
|
||||||
неравенствам |
(4) и такая, |
что справедливы |
оценки |
|
||||||
|
|
| р 0 _ 1 ( 2 Р + . _ ^ Г Р ) | | < ^ | | / ( ' Ч |
I I ^ . |
|
||||||
|
Если в качестве |
можно |
взять z<-h> = |
0, то выполняется не |
||||||
только условие |
1*, но и более жесткое условие 1°. |
|
||||||||
|
Т е о р е м а . |
Если |
разностная задача |
(1) записывается |
в ка |
|||||
ноническом |
виде (2) с соблюдением условий |
1* и 2°, го из |
оцен |
|||||||
ки |
(3) вытекает |
неравенство |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
\\up\\<c\\f^\\Fh, |
|
|
(5) |
|||
означающее |
устойчивость. |
Постоянная |
с может быть выбрана |
|||||||
по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = К(2К2 + 2К+ TKi) + K.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем функцию w(h) = u{h) — z{h), для которой из уравнения
up+l = Rhup |
+ грР |
вытекает равенство |
|
wP+l = RnwP-{-xpp, |
(6) |
где |
|
рР = рР _ - L ( Z P + I - RhZP). |
|
В силу условия Г имеем |
|
II Р " 1 К |
I b v |
Пользуясь равенством (6) и неравенством (3), без труда находим, как мы много раз делали,
" Р | | < / С | | ш ° | | + Г ^ т а х | | р Р | К / С | | ^ | | + TKKi II / ( Й ) hn- |
V) |
II щг |
|
Далее,
\<2{K2 + K)\\f^\\Fn. |
(8) |
§ 40. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ |
345 |
Это |
следует из |
неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|| И ,0| | = |
| | м 0 _ г 0 | | < | , ы |
0 | | + |
| | 2 0 | | ) |
|
|
|||||
|
|
|
1 1 " ° 1 1 < / Ш ( Л ) |
Ibv |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
| | г ° | | < Ш ( / г ) |
\ \ Р к , |
|
|
|
|
|
|
|||
второе из которых |
совпадает |
с условием |
2°, а третье — с нера |
||||||||||
венством (4) |
при р = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Подставив |
оценку |
(8) для || w° || в |
(7), находим |
|
||||||||
|
|
II wp |
| | < [ 2 |
(К2 |
+ К)К+ |
|
TKKi]II |
/ ( А ) |
\\P h . |
|
|||
Остается только |
заметить, |
что |
|
|
|
|
|
|
|||||
|| UP |
11 = 11 W P + Z P |
| | < | | Ш Р | | + | | 2 Р || < |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
< { [ 2 t f |
(К2 |
+ К) + |
TKKt] |
+ |
K}\\fih) |
\\Pk |
< |
|||||
|
|
|
< |
[К (2К2 |
+ 2К + |
ТК\) |
+ К] II |
IIFA = с f| /<л> ||^. |
|||||
|
Благодаря |
замене |
условия |
1° условием |
1* при |
исследовании |
|||||||
устойчивости можно распределить трудности между построением такого оператора Rh, нормы степеней которого не слишком труд но оценить, и доказательством существования функции z<4 По
требовав с самого начала, чтобы |
условие |
1* выполнялось при |
||||
zC*) = 0, т. е. чтобы было выполнено |
условие |
1°, мы |
накладываем |
|||
тем самым жесткие ограничения на выбор оператора Rh. |
Может |
|||||
оказаться, что любой |
оператор |
Rh, |
который |
нам |
удается |
подо |
брать с выполнением |
условия |
Г, |
имеет сложный |
вид, так что |
||
оценка нормы его степеней слишком трудна. С другой стороны,
выбрав оператор |
Rh предельно простым, скажем |
единичным, и |
|||
не увязав его с разностной задачей, мы перенесем |
всю трудность |
||||
на |
проверку |
выполнения условия |
1*, т. е. на получение оценок |
||
для |
функции |
z(h\ |
которую в этом |
случае наиболее естественно |
|
выбрать совпадающей с «<Ч Введение такого оператора Rn и та
кой, функции |
z№ нисколько не продвинуло бы нас в |
исследова |
|||||
нии |
устойчивости. |
|
|
|
|
||
В качестве оператора /?Л надо стараться брать как можно бо |
|||||||
лее простой оператор. Однако Rh |
должен настолько полно учиты |
||||||
вать |
свойства разностной задачи |
Lnu№ = |
чтобы |
выполнение |
|||
условия |
1 *, |
т. е. существование |
функции |
z<-h\ было |
достаточно |
||
очевидным. |
Часто удается воспользоваться свободой в выббре |
||||||
Rn, |
которая |
возникает благодаря тому, что вместо |
условия |
1° |
|||
должно |
выполняться лишь менее ограничительное |
условие |
1*, |
||||
для облегчения доказательства устойчивости. В качестве функ ции z(n> при этом используются функции, которые строятся из
§ 40. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ |
349 |
которое мы будем использовать в форме
Ы Р + 1 = (1 - г) UP + mf + ТфР.
Разностную схему (12) мы уже рассматривали в § 23, где об суждались вопросы аппроксимации. Норма в пространстве Fh там была введена следующим образом: если
ат |
в |
точках |
(mh, |
0), |
т = |
0, |
1, |
M, |
|
|
Ьр |
в |
точках |
(1, |
рх), |
Р = |
0, |
1, |
[Tlx], |
|
|
с" |
в |
точках |
(0, |
рх), |
р — 0, |
1, |
[Г/т] - |
1, |
||
фР |
в |
точках |
(mh, |
рх), |
т = |
\, |
2, |
М - 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
0, |
1, |
[Г/т] - |
1, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|/<*> | L |
= А т а х | с р | + |
/ г т а х |
|
+ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
+ (Л |
5 la |
|
+ m a x I bp I + |
|
|
|
p |
m |
|
|
|
|
|2 |
m a x |
|
|
+ m a x m a x |
ф ^ |
|||
|
m=o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как было показано в § 23, аппроксимация в этом случае |
||||||||||
имеет порядок №. Покажем, что при |
выборе |
нормы |
|| ы(Л> ||у |
по |
||||||
формуле |
|
|
|
|
м |
\ч, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
||«<л> Центах Ш |
и ^ |
+ |
|
h ^ l K |
|
|||
при |
1 наряду с аппроксимацией имеет место и устойчивость. |
|||||||||
Мы |
проверим |
устойчивость, |
приведя |
разностную |
схему |
(12) |
||||
к каноническому |
виду |
(2). Положим |
для |
этого |
|
|
||||
|
|
|
Ы Р = ( « Р , |
UP,..., |
UPM) |
|
|
|
||
с нормой |
|
|
|
|
|
|
у/. |
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
м |
|
|
|
|
|
|
. |
1 1 " Р И = т К | 8 + Л 2 К | 8 |
. |
|
|
||||
Оператор Rn определим следующими формулами: