книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

сетку на рис.

46,6.

V

Рассмотрим линейное

пространство

функций,

определен­

ных на

одномерной

сетке

(см. рис. 46,6). К нему

принадлежат,

в

частности,

сеточные

функции

t

4

ир,

р=0,

1,

р. Это

линейное

пространство будем

считать

нор-

3

мированным.

Норма

элемента

г

и =

{«о,

« ь

.. •,

И м }

может

быть

!

задана,

например,

одним

из

ра­

а)

венств

О

I

и

max | um

I,

m

(8)

I

M

6)

и II =

[h

2

)u„

Рис. 46.

В определении\

устойчивости и

m=0

сходимости

участвует

норма

1 1 ы ( й ) 1 Ь Л

решения

разностной

краевой

задачи

(1).

Мы

будем

пользоваться

только

такими

нормами || ы№ )

||у , при

выборе

кото­

рых учтен слоистый

характер

решения

u(h\

а именно

выполнено

равенство

l!"(ft)lk/„

=

max||wP||,

(9)

где р пробегает значения р =

0 , 1 , . . . ,[7"/т], т.

е. все те

значения,

при которых области определения сеточных

функций

и р

=

{«^}

принадлежат

двумерной области

определения

решения

Ф\

П р и м е р

2. Рассмотрим

разностное уравнение

„Р+1_

9 н р 4-

« P _ I

ит+1

~~ 2

и т

+ utn-l

/

,

ч

fj2

Ф \*m>

tp)>

(Ю)

Ш = 0, ± 1 ,

Р = 1 , 2 ,

[T/t]-l,

д*и

д Ч

:<р(х, t), 0<t<T,

- с о < л ; < о о .

(П)

Ox2

|| и<»|Ь

= т а х | | и ' | | .

р

Номер р пробегает все те значения

р — О, 1 , . . . , [Т/т], при кото­

рых области определения сеточных

вектор-функций принадле­

жат двумерной области определения сеточной функции u<4

При нашем условии всегда пользоваться нормами вида (9)

неравенство

l l « ( f t )

\hn<c\\fW\\Fn,

вается удобным при исследовании устойчивости.

ЗАДАЧИ

1. Указать пространство Uh

для разностной схемы

« р + | -

ир

х

= A * A r c + Аууитп

+ Ф (хт< УП< {р)<

итп | г

= °-

итп = *

Уп)>

т, п=

1,2,

М— 1;

/ И Л = 1 ,

р =

0, 1, . . . . [Г/т] -

1;

(хт, уп,

tp)

— (mh, nh, рх),

Г состоит

из тех точек

сетки,

которые

лежат на

боковой

границе параллелепипеда 0

<! я, y*£^l,

O^t^T.

2. Указать пространство Un

для разностной схемы

расщепления

"тпи р + ]

-"-йтп

+ Ф (*«!• Уп* {Р)>

Axxffnn

Ауу%тп>

« С | г - " я ш | г = ° >

« m n - = Ф

Уя).

т, п — 1,2, . . . . М-

1;

AfA=

1; р =

0,1, . . . ,

[Т/х] -

1;

Г — боковая граница параллелепипеда 0 ^

х, у ^

\,

O^t^T,

RnuP + трР,

(3)

задано.

RPh\\<K> Р = 1 - 2, . . . . [Г/т],

(5)

§ 39. ЗАПИСЬ РАЗНОСТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

335

Ь0

= аа,

bm

= (\ — 2г) ат +

г (а„_, + ат+х),

т = \, 2

М

1,

(9)

Ьм — ам-

При таком

выборе

оператора

Rh

сеточная

функция р р из

Un,

Р р = {р0 р . Р Р

Р а ­

спределится формулой

•ф! (tp+l) — 1h (tp)

• ф 2

(tp+l) ~

^2 Up) '

. ФР,

- Фм_1.

: О,

[ 7 7 т ] - 1.

Этим

мы

закончили

приведение

рассматриваемой

разностной

схемы

(7) к виду

(3). Мы собираемся использовать

запись

раз­

ностных краевых

задач в этом

виде для исследования устойчи­

вости. Но для того, чтобы неравенства (6), означающие

устойчи­

вость,

имели

смысл, должна

быть

определена

норма

||/(h>Lft.

В нашем примере

разностная

краевая

задача

(7)

записывается

в виде

(4), если положить

un+l

- ит

•ит+\

-2»т

+

< - 1

пг=

1, 2, .

М-1,

X

h2

»

Р =

0, 1, . ..,

[Т/х]- 1,

р =

0, 1, . ...

[Т/х\- 1,

т = 0, 1, .

М,

ф(*т»

tp),

m =

1, 2,

,

М — 1,

fih) =

Ь

(tP+i),

Р =

0,

1,

,

[Г/т] -

1,

^2

(tp + i),

Р =

0,

1,

,

[Т/г] -

1,

<к>(хт),

т

=

0,

1,

,

М.

Норму

[| /< Л >

определим

равенством

tin)

== max

I ф (xm,

tp)

I +

max

I op (xm)

| +

I fh) \\F| Lh

m, р

f i (tp+i) — i>\ Up)

^ 2

(<p+l) —

^ 2

(tp

-f- max

- j - max

(10)

p

p

ций рр

и и0

| р р || =

max

| m

m

— max

*1 (tp)

tP) \, • •

qp to,

4>(xM-U

Фа (tP+i) — Ф* (tp)

tp) I»

I ы° (I =

max

J u\ J = max j т|> (xm) |

ир\\<К3

f(п)|

где Кз — некоторое

число, не зависящее от h и /W, справедливы

при всех р, р — 0,

1, . . . , ро, при

которых области определения

сеточных функций

U.P принадлежат области определения ре­

шения Ф\

§ 39. ЗАПИСЬ РАЗНОСТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

337

Из

уравнения

W+1

= RhW> + тр",

р =

0,

1, . . . .

р 0

- 1 ,

следует, что

UP

= р Л ц Р - 1

+ T p P - i

=

Rh

(RhuP~2

+

T p " - 2 )

+

т р Р - 1

=

= /?п и0

+

т

( /

?

Г

,

Р

°

+

/ ?

Г

2

р

,

+

... +

Р р - 1 ) .

Р =

0,1

р

По

условию

I

/

= 0,

1,

[Г/т].

Из

этого

неравенства

и

равенства

(11)

вытекает

оценка

I и"

I </СИ

и"

|| + т/С (|| р°

||

+||

р'11+

•••

+1|рр -1 Н).

(12)

Учитывая

условия

Г

и 2°,

в силу

которых

И Р ' К ^ Ц П ^ ,

1 =

0,

1,

р о - 1 ,

\\u0\\<K2\\fW\Fh,

оценку

(12)

можно

заменить

следующей:

I иР

|| <

(ККt

+

rpKK2)

|| f<A)

\\F h <

/С (/С,

+

ЭД

|| /<й>

=

с || /<й>

||„д ,

где

число

с = К (К[ +

ТК2)

не

зависит

от h

и

Устойчивость доказана.

Воспользуемся установленным достаточным признаком устой­

чивости и покажем, что разностная схема

(7)

при г — x/h2

^

'/г

устойчива.

Rh,

Именно убедимся, что для оператора

который

мы

ввели

по формулам (9) при приведении

разностной

схемы (7)

к

кано­

ническому виду (3), выполнено неравенство

\\Rh\\

^

1, а

значит,

и неравенство || Rh\\ <||

Rh f

^

1- При г ^

'/г имеют

место

оценки

I Ь01 =

I а0

К

max

| am

| =

|| а \\,

I

ftm

I =

I

(1 -

2r) am

+

r (am _,

+ a m + 1 )

|

<

< ( 1

- 2 r

+

2r) m a x | a m | =

||a||,

tn

I bM

I =

I aM

| <

max| am

\ =

||

a

||.

m

Из

этих

оценок

вытекает,

что

|| Ь \\

—

|| Rha

|| ^

|| a

||, т. е. || Rh

||г^

^

1. Итак, при г ^

'/г достаточный

признак устойчивости

выпол­

нен. Можно показать, что если постоянная г =

x/h2

>

'/г, то до­

статочный признак устойчивости не выполнен. Возникает вопрос,

не

теряется ли устойчивость и в общем случае,

когда

неравенства