Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4131 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

300

ГЛ. П. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Л е м м а

Пусть

функция

vih) = {vmn}

определена

на

сетке

Dn и во внутренних

точках (xm,

yn} = (mh, nh) е D°h удо

влетворяет

условию

AnVih){mn,nn)>0,

(mh,nh)<=Dl

(11)

Тогда

наибольшее

на сетке

значение

достигается

хотя

бы в одной

точке границы

Г/г.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Допустим противное. Выберем

среди

точек

сетки

Dh, в которых

достигает

своего

наибольшего

значения, какую-нибудь одну точку

(хт,уп),

имеющую

самую

большую абсциссу. По нашему предположению (хт,

уп)

—

внутренняя

точка, причем

vmn

строго

больше,

чем v m + i i

„.

В точке

(mh, nh)

будет

__ (Vm+i,

n — " т я ) + ( Р т . n+i — Vmn) + (Ощ - i, n — Vmn) + (vm,

n-\ — Vmn)

поскольку первая скобка в числителе отрицательна, а осталь ные неположительны. Противоречие с (11).

Л е м м а

Пусть функция y(ft) = {vmn} определена

на

сетке

Dh и

во

внутренних

точках

(mh,nh)^D\.

удовлетворяет

условию

V ' U ^ O ,

(mh,

nh)^D°h.

(12)

Тогда

наименьшее

на сетке

значение

достигается

хотя

бы в одной

точке

границы.

Лемма

2 доказывается

аналогично лемме 1.

Каждое

решение

Т е о р е м а

( п р и н ц и п

м а к с и м у м а ) .

разностного

уравнения

A^<ft,L.*ft> = °>

(mh,nh)^D°h,

(13)

достигает

своего

наибольшего

наименьшего

значения

в не

которых точках

границы

Тп-.

объединением

утверждений

Доказательство

получается

лемм

1 и 2.

Свойство решений разностного уравнения (13) аналогично

свойству

решений

v(x, у)

уравнения

Лапласа

vxx - f vyy

= 0

принимать наибольшее и наименьшее значения на границе об ласти, где эти решения определены.

Из принципа	максимума следует, что задача
L tt(w =	\|	Л * Ы < Л ) U . пп) =	° .	(«А. я*) е Dl
	I	" ( W U „ f t J	= 0,	(mh,nh)<=Yh,

§ 34. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ	301
имеет только нулевое решение и№ = 0, поскольку	наибольшее

и наименьшее значения этого решения принимаются в точках

границы

Г;„ где

итп

Следовательно,

определитель

системы

линейных

уравнений

(3)

отличен от нуля и разностная

краевая

задача (2) однозначно разрешима при

произвольной

правой ча

сти /(Ч

Переходим

к доказательству

оценки

(10).

Р(х,у)

В силу

формулы

(5)

для

произвольного многочлена

второй

(и даже

третьей)

степени

Р (х,

у) =

ах2

+ Ъху + су2

dx +

еу + /

выполнено

равенство

д2Р

(15)

S F

S f

так как четвертые производные от Р(х,у),

входящие

выра

жение

остаточного

члена

формулы

(5),

обращаются

нуль.

Используя

функции

фт„

г р т п

из

правой

части

системы

(3) и фиксировав R >

У 2, построим вспомогательную

функцию

P[h)(x,

y)=-j[R2-(x2+y2)]

max

| Ф и я

| +

max

| ф т я |,

(mh, nh) е D°h

(mh, nh) e= rf t

которую

будем

рассматривать

только

точках

сетки

Dn.

Это

отражено

значком

обозначении Р^Цх,

у).

В силу (15) всюду

в точках

D°n

KP{h)

Lm f t i

max

I <?rs

(mh, nh) e= D°n.

y=nh

(rh, sh) e= D\

Поэтому

разность

решения

w№> задачи

(3)

и функции

Р № )

удо

влетворяет

в точках

равенствам

(и<« -

РЩ =

Ляы№) -

ЛЙР<*> =

ф т

г е

max | ф „

| >

г, S

В силу

леммы

1 разность

— Р<А> принимает свое

наибольшее

значение на границе Г„. Но

на

границе

Гп

эта

разность

№ ™ -

max

|TP„|] +

|[(X2 -4-J/2)_

а х

(

< « > - Г й

(rh.shX.Dl

302

ГЛ. 11. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

ЗАДАЧИ

неположительна, так как в квадрате D всюду х2-\-

y2^.R2 и обе

квадратные

скобки в правой

части неположительны.

Поскольку

наибольшее значение u{h)

— P(h) неположительно, то всюду на Dh

Ф) _ рт ^

n h ) <^ о,

или

uW < pih).

Аналогично,

для функции uw

-f- Pih)

в точках D\

Ап (u<w +

РЩ <

а в точках Гл сумма и(к)

+ Р(1г)

неотрицательна. В силу леммы 2

всюду

на £>Л

„<« + р(« > о,

или

— рм < «<'').

Таким

образом, всюду

на Dh

I итп

\ <\Ртп\<:\р?

max

| ф „ | +

max

| гр„ |. .

{rh,

sh)

(rA, sh) s= T f t

Отсюда вытекает неравенство (10):

max

I a™

I =

|| и<» Ну

max

| ф „ | +

max

|i|>r s |),

где

(rA, sA) e

D°h

(rh, sh) <= Г Л

Э2 т

с = max

1, —

завершающее

доказательство

устойчивости.

случае

задачи Дирихле

для

эллиптического

уравнения

с переменными коэффициентами

ду

« | r

ip(s),'

где

ki(x,y)

k2(x, у) — положительные

прямоугольнике D

гладкге функции, разностную схему можно построить ана

логично. Используя		во	внутренних точках сетки D°h замену
„	д I. ди\		д I,	ди\	разностными отношениями
выражении	~g^yii~gx-j	и	~д^\г2~ду-)		разностными отношениями

ЗАДАЧИ

303

по приближенным

формулам-

J_ / k\ (х

Л, г/) и (х

Л, г/) — k\

(х,

у)

и (х,

у)

¥ \

(х,

у)

и (х,

у)

— kt

(х

— ft,

у)

и (х

—

ft, у)

JL\bAx

и) д

и { х ' ! / )

1 «

и<ы

бг/ [ 2 v ~ '

ду

— fe2

1 / k2(x,

у +

и (х,

у +

ft)

(*,

у)

и (х,

у)

— ft I

у — К)

fe2

(х,

у)

и (х,

у)

—

fe2

(х,

и (х,

— ft) \

/ '

получим

разностную

схему

(2)

вида

(

KiuW

+ Л % ( А )

=Ф (mh,

nh),

(mh,

nh) e= D„,

и | Г = гр (sm „),

(m/г, гг/г) s Гл .

Пользуясь формулой Тейлора, можно убедиться в том, что имеется второй порядок аппроксимации. Можно было бы до казать устойчивость построенной схемы, преодолевая некоторые дополнительные трудности, по сравнению с рассмотренными нами при разборе примера.

На практике, при решении конкретных задач, обычно огра ничиваются обоснованиями принципиального характера на мо дельных задачах, типа проведенного выше. Конкретные суждения о погрешности получаются, как правило, не из теоретических оценок, а из сравнения между собой результатов расчетов, вы полненных на сетках с различными значениями шага h.

После того, как разностная краевая задача, аппроксими рующая дифференциальную, построена, нужно еще указать не слишком трудоемкий способ ее решения. Ведь при малом h задача (2) есть система скалярных уравнений очень высокого порядка. В разобранном нами примере решение разностных уравнений — сложная и интересная задача, но мы отложим ее рассмотрение до §§ 35, 36.

ЗАДАЧИ

1. Доказать, что если во внутренних точках области Dh. функция и(Л>

удовлетворяет уравнению
A A " < W L f t . „ M - 0 *	т, п - 1 , 2, . . . .	М-\,

304	ГЛ.	11. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
то либо	M w принимает	всюду на Dk одинаковые значения, либо наибольшее

и наименьшее значения функции и<л> не достигаются ни в одной внутренней

точке сетки D h ( у с и л е н н ы й

п р и н ц и п

м а к с и м у м а ) .

2. Если

во

всех

внутренних

точках

области

D/,

выполнено

условие

Л^иСО ^

причем хотя бы в

одной

точке неравенство

строгое, то ы<л> не

достигает

своего

наибольшего

значения ни

одной

внутренней

точке.

3. Рассмотрим разностную

схему LnuSh^ =

вида

Lhu{h)

(mh,

nh),

(mh,

nh)

D°n,

• =

"ф2

(nh),

n =

. . . ,

— 1.

Эта разностная

схема

аппроксимирует

задачу

(рис.

43)

д2и

дх2

ду2

Ф (*> У)

(х,

у) е

и{х,

г / ) 1 г ( , ) =

Ф1 (s),

( Д ! / ) 6 Г < 0 ,

, ( 2

а)

Доказать, что при

любых

ср (m/г, я/г),

( s m „ ) ,

Р и

с '

гр2 (nh)

задача

Lnuw

имеет

единственное

ре

шение.

5) Доказать,

что

если ф (mh,

nh)

неотрицательно,

i)^ (smn)

гЬ2

(«Л)

неположительны, то uv " неположительно.

в) Доказать, что при любых ф, -фt и ф 2 имеет место оценка вида

max \| и т п I < с (max 1 ф т / г \| +		max	n(ft)	ipi (smn) I + max	I ip2 (nh) \| ) ,
т, п	т, п		n(ft)
	{mh, nh) i		L 1
где с — некоторая	постоянная, не	зависящая		от h. Вычислить	с.

§35. Метод установления

1.Идея метода установления. Для вычисления решений мно гих стационарных задач математической физики, описывающих равновесные состояния, рассматривают последние как результат установления развивающегося во времени процесса, расчет кото рого часто оказывается проще, чем прямой расчет равновесного состояния.

Мы проиллюстрируем применение метода установления при мером алгоритма для вычисления решения разностной задачи Дирихле

A x x U m n + hyyUmn = ф (хт, уп),

т, п = 1, 2, . . . , М — 1,

Итп | г = ^ (Smn),

	§ 35.		МЕТОД	УСТАНОВЛЕНИЯ			305
аппроксимирующей дифференциальную задачу Дирихле
-QxT +	-gyT	=	4>(x,	У),	0 < * ,	Z / < 1 ,	(2)
	« \| r	=	ip(s).				(2)
	« \| r	=	ip(s).
В случае задачи	(1),	которым		мы	будем	заниматься, удается

провести теоретический анализ различных алгоритмов установ ления с помощью конечных рядов Фурье. Отметим сразу же, что для решения разностных эллиптических задач, подобных задаче (1), разработаны гораздо более эффективные итерационные ме тоды; некоторые из них будут изложены в §§ 36, 37.

Способы точного решения задачи (1), выдерживающие обоб щения на случай переменных коэффициентов и областей с кри волинейной границей, например метод исключения Гаусса, при сколько-нибудь больших М становятся неудобными и не приме

няются.					и(х,у)
Изложим сначала наводящие соображения. Решение					и(х,у)
задачи (2) можно понимать как			не зависящую	от времени	тем
пературу	в точке	(х, у) пластинки, находящейся		в тепловом	рав
новесии.	Функции	ф(х,у) и ty(s)	означают в таком случае		соот

ветственно распределение источников тепла и температуру на границе.

Рассмотрим вспомогательную нестационарную задачу о рас

пространении

тепла

d2U

-аГ = 1 ^ +

- 0 р - - ф ( * . У)-

(3)

) .

U(x,

у,

0) =

гр0(х, у),

где ф и яр те же, что и в задаче

(2), a

tyo{x,y)

произвольно.

Поскольку

источники тепла

ц>(х,у)

и температура

на

границе

ip(s)

не зависят от времени, то естественно ожидать, что и реше

ние

U(x,y,t)

с течением

времени

будет меняться

все

медленнее,

распределение температур U(x,y,t)

в пределе при t—* оо превра

щается

в равновесное

распределение

температур

и(х,у),

описы

ваемое

задачей

(2). Поэтому

вместо

стационарной

задачи

(2)

можно

решать

нестационарную

задачу

(3)

до того

времени

пока ее решение перестанет меняться

в пределах

интересующей

нас точности. В этом и состоит идея

решения

стационарных

за

дач

методом

установления.

В соответствии с этим вместо задачи

(2)

будем

решать

за

дачу

(3), а вместо разностной

схемы

(1) для задачи (2) рассмо

трим и сопоставим три различные разностные схемы для

за

дачи

(3).

306 ГЛ. 11. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Именно,

рассмотрим

простейшую явную

разностную

схему

, P +I

= АхЛп

+ V ™

~ ч> {хп,

уп),

uitlL

|р

*{snn),

(4)

тп

Рассмотрим также простейшую неявную разностную

схему

,0+1

хх тп

уу

тп

^ \ т>

уп/>

uPmV\r=^(Smn)'

(5)

< n

MXnf

УпУ

Наконец, исследуем

схему

переменных направлений (12) § 31:

' =

[\хйтп

\yUmn

Ф К'

.,P+I

[ Л

„

+ AyyUmV

*Р (Хт> Уп)\> \

(6)

i p + l

й,пп | г =

Ф ( S mJ>

тп

|р

/О

Будем

считать,

что

%(хт, уп)

задано

так,

чтобы

на границе

выполнялось равенство

Фо1г

(7 )

Вычисление

w 0 + l

= {"m t'} п

У ж е

известному

« p

{«m„} для

схемы

(4) осуществляется

по явным

формулам.

Вычисление

up+i

= [ит+п1}

П Р И

У ж е

вычисленном

" р =

{«т „}

по схеме (5) требует решения

задачи

ир+1

+ Л

ир+1

—

ф(*т>

^ )

хх

тп

уг/ mn

p +

= ^ ( 5

т п ) -

Wтп р

Эта задача ничем не проще исходной задачи (1). Поэтому про стейшую неявную схему не имеет смысла использовать для при ближенного вычисления. Наконец, вычисление up+l = {«m+'} по уже известным ир = [иртп\ по схеме (6) осуществляется прогон ками в направлении оси Ох для вычисления решений {йтч} одно-

§ 35. М Е Т О Д У С Т А Н О В Л Е Н И Я

307

мерных задач при каждом фиксированном п, а затем прогон

ками в направлении оси Оу для вычисления	решений { и ^ ' ] Од
номерных задач при каждом фиксированном	т.

Количество арифметических действий при этом пропорцио нально числу неизвестных. Для каждой из двух оставленных нами для дальнейшего изучения разностных схем (4) и (6) рас

смотрим	разность
		ир			(8)
		тп
между	сеточной	функцией ир =	{ирпп}	и точным решением
и= {итп} задачи		(1), существование которого доказано в §			34.
Выясним условия, при которых			погрешность гртп решения		и?

нестационарной задачи стремится к нулю с ростом р, а также характер этого стремления к нулю; выберем оптимальным обра зом шаг т и сопоставим объем вычислительной работы, необхо димый для уменьшения нормы первоначальной погрешности

	в°тп =	%(Хт> Уп)
в заданное число раз.
2. Анализ явной	схемы установления. Решение {итп} задачи
(1), очевидно, удовлетворяет		уравнениям
^	=== Л.хх11тп	~Т~ A.yyllmn	ф {хт, уп),
Ищи	Итп.

Вычитая эти равенства из уравнений (4) почленно, получим для

погрешности	гртп	следующую			разностную			задачу:
		Р-Н _	р	= Л	е р	+	Л	гр ,
	°тп		тп
		еР+Ч		= 0 ,	хх тп	1	уу	тп,'	О)

				:%(Хт>			Уп)~ип
Заметим,	что	сеточная		функция			ъртп	при каждом	р, р —
= 0 , 1 , . . . , обращается			в нуль		на границе			Г. Ее можно	считать

элементом линейного		пространства	функций,	определенных	па
сетке	(xm,yn)~(mh,nh),	т, п = 0,	1 , . . . , N, и	обращающихся	в
нуль	в точках Г. Норму в этом пространстве			определим, как	в
§ 27,	равенством

Ue'|| = ( 2 | e L | 2 f .

\т, п

• I

308	ГЛ. 11.	ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
308
	В § 27 мы получили	представление для решения задачи (17)

в виде конечного ряда Фурье. Эта задача только обозначением

неизвестной функции отличается от разностной схемы (8)											для
погрешности г° = {етп).					Поэтому					(Ю)
				г"	= 2 и ) \| 1 м ' ,
	crs — коэффициенты					Г ,	S
где						разложения			начальной погрешности
е° =	{^т п } в конечный			ряд		Фурье, а числа %r s задаются				формулой
		A , , =		l -	^	( s	i n ^	+	s . n * w ) .		(11)
Числа cPs =		CrSXPs	являются				коэффициентами разложения				по
грешности		е р =	{е,р„}	в	ряд		Фурье		по ортонормальному		ба
зису "${ r 's ) .		Поэтому						lle°M2l^\|2)1/2.
		И = ( 2 к . л Д О ,									(12)
Отсюда видно,			что
				l i l ! L < { m a x U r e i r							(13)

При этом всегда можно задать е° так, чтобы равенство дости галось. Для этого нужно взять е° = ф""'s'», где (/-', s') — та пара номеров, при которой

	max	\| Krs I =	I A-rv I •
	r, s
Таким	образом, для стремления \|\| гр		\\/\\ е° \|\| к нулю при р - > о о
нужно,	чтобы выполнялось	неравенство
	m a x \ K r s \ < I.
	г,	S

Наиболее быстрое убывание погрешности получится при таком выборе т, при котором т а х | Я „ | принимает наименьшее воз-

r, S

можное значение. Из формулы (11) находим самую левую и

самую	правую точки	Ar s :
	я	«	8т		2	я
	Ллев — 1		— -Jp	COS		jjj-,
	л	.	8т	.	2	я
	Л п р а в — 1		— - ^ - S i n
(рис.	44). Увеличивая	т, начиная		от	т = 0, мы вызываем сдвиг

обеих	этих точек влево. При том значении т, при котором эти
точки	будут симметричны относительно точки К =	0,
	— Ал е в = Я„р а в ,	(14)

А,п р ав

§ 35. МЕТОД УСТАНОВЛЕНИЯ

309

дальнейшее увеличение т нецелесообразно. Действительно, при таком увеличении правая точка будет продолжать прибли жаться к нулю, но зато левая, которая станет больше ее по мо

дулю,

max|A,r s | = — Я д е в ,

будет

wb_

удаляться

от

нуля.

При том

т,

при котором А , л е в =

— 1 , и

при

больших

т погреш

ность

ер

вообще не будет

стре-

Рис. 44.

миться

нулю.

Итак,

оптимальное

т =

я2 /4 находим из

условия

(14),

При'

этом

m a x | A , r s | = l — 2 s i n 2 - ^ .

Г, S

Поэтому для

уменьшения

нормы

первоначальной погрешности

е ° =

{ 8

т л }

а Д а н н ° е

число

е раз требуется проделать

такое

число р шагов

итерационного

процесса

(4),

чтобы

( l - 2 s i n » ^ ) ' < e

- ' .

Отсюда

2М2

l n ( l - 2 s i n ^

Подсчитаем число арифметических действий, необходимых для-

уменьшения ошибки в е раз. На каждый переход		от ир к	UP+1
требуется	сМ2 арифметических действий. Поэтому	их общее	чи
сло срМ2 =	0 ( М 4 ) .

3. Схема переменных направлений. Займемся теперь иссле

дованием поведения погрешности в р = {етп} для схемы (6). Аналогично предыдущему убеждаемся, что погрешность гр

в этом случае удовлетворяет разностной краевой задаче

				-			Р
	X	=	=	А.ххётп		-f-	Л.уу8тп,
'тп	ьтп__			д -		, д	Р-Н
							(15)
	% л	\р = =	=	&тп т>\|	= =	0,
	е°	=		№. (х	,	ц ) — и

Решение задачи (15) было выписано в виде конечного ряда Фурье в § 27. Как и для задачи (9), оно имеет вид (10);

e" = 2(c«tfe)Vr,e).

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4131 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ