Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

310	ГЛ. 11.	ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
где crs	— коэффициенты	разложения начальной погрешности

в конечный ряд Фурье, но числа %rs, на которые умножается гар

моника ip( r 's ) при переходе от е р к е р + 1			, теперь	другие:
.	(1 _ 4хМ2	sin2 Jg-)(1 _	4хМ2 sin2	~
.	\	2М]\	2М,		(1 Ь >
А"~~	1	яГТТ	яП"'		(1 Ь >

( l + 4 t ^ s i n 2 i ^ ) ( l + 4 ^ s i n 2 ^ )

Как и при анализе сходимости схемы (4), выполнено нера венство (13):

		\| # < { т а х \| Л „ \| У ,
причем равенство достигается при некотором			специальном	зада
нии e° = {e°mn}.		(16) для Ks видно, что при любом т выпол
Из выражения		(16) для Ks видно, что при любом т выпол
нено	неравенство	\|Я.Г в\|< 1 и, следовательно,	имеет место	стрем
ление	II гР II к нулю. Далее, l r s = K-%s, где
	1 — 4тМг sin2 -—^z-
	=	ИГ' ^ = 1, 2,	М - 1 .
	\+4xM2sm2^-
Поэтому max 1X^1		достигается при г = s = г', где г' — тот но-

мер, при котором величина | V I максимальна. Очевидно, что функция у = (1 — х)1(1 + х) монотонна. Поэтому

,		1 — 4xAf2	s i n 2 - ^ -
,			2М
	"s • l + 4 r M 2 s i n 2 - \| i -
лежит между точками
		1 — 4тМ 2	C O S 2 - ; ^ -
.			2Л4
'''лев		1 + 4xAf	2 cos2 -^T -
		1 + 4xAf	2 cos2 -^T -
			2М

§ 35. МЕТОД УСТАНОВЛЕНИЯ

311

на вещественной

прямой. Увеличение

т вызывает

сдвиг

точек

АЛев и

Я,п р а в

влево.

Поэтому

значение

max|A s |

будет наимень-

ШИМ ПрИ ТОМ Т, П р и

КОТОРОМ

—

Л л е в = АПрав> т -

е - П

Р И т

*** ТлГ — 77" •

В этом

случае

у £i

ЭХ1VI

m a x | ^ s | = l - % + 0 ( - ^ ) .

Для

уменьшения

нормы

погрешности

|| в заданное

число

е раз

по

сравнению

с первоначальным

значением

нормы

по

грешности

|| е° ||

число шагов

р должно

быть найдено

из

условия

—

^е

откуда

	Каждый переход от и р к «	р + 1	требует сМ2	арифметических
операций. Следовательно, общее		число арифметических операций
для	уменьшения ошибки в е раз		будет 0(М3),	а для уменьше
ния	в заданное число k раз будет		0{M3\nk).
Мы видим, что при больших			М второй из	рассмотренных

нами процессов установления, использующий схему переменных направлений, приводит к уменьшению ошибки в заданное число раз ценой меньших затрат арифметических действий, чем метод установления, основанный на использовании простейшей явной разностной схемы (4): при достаточно больших значениях М (при мелкой сетке) схема переменных направлений оказывается выгоднее.

4. Выбор точности. Сделаем замечание о точности, которой следует добиваться, решая задачу ( 1 ) методом установления или другим итерационным методом, дающим последовательные при


ближения и1, и2,	ир.	Разностная	задача ( 1 ) аппроксимирует
задачу (2) на гладком		решении и(х,у)		с порядком		h2=l/M2.
Поэтому точное	решение	и^ задачи	( 1 ) отличается		от	искомой
таблицы [и]п на величину		порядка \/М2.		В связи с этим		нет смы
сла вычислять	решение	uW задачи	( 1 ) с большей		точностью.

Если считать, что нулевое приближение и0 = г|)о задано с по грешностью порядка 1, то число k должно быть выбрано по рядка М2.

Добиваться уменьшения первоначальной погрешности более

чем в 0 ( М 2 )	раз было	бы	нецелесообразной		затратой вычисли
тельной работы.
При вычислениях на			конкретной	фиксированной сетке
практически	итерируют	до тех пор,		пока	последовательные

3 12 ГЛ. 11. Э Л Л И П Т И Ч Е С К И Е З А Д А Ч И

приближения ыр , ы7>+^ ... перестанут меняться в пределах удовлетворяющей нас точности.

5. Границы применимости методов. Разностная схема (4) и анализ убывания ошибки, проведенный нами, переносятся на разностные схемы, аппроксимирующие другие краевые задачи для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в области с криволинейными границами. Важно только, чтобы

оператор Лд, аналогичный оператору — Лд s== — (Ахх	-f- Avv)	в
схеме ( 1 ) , рассматриваемый на сеточных функциях,	удовлетво

ряющих однородным граничным условиям, был самосопряжен ным и чтобы его собственные значения u,j были одного знака:

max-

В этом случае для анализа используются конечные ряды Фурье не по функциям

^••» = 2 s i n - £ s i n - S - .

а по ортонормальной системе собственных функций этого само сопряженного оператора Ah. Факт существования и полноты та кой системы собственных функций известен, а их конкретный вид нигде не используется.

Разностная схема (6) переменных направлений выдерживает обобщение на случай задачи Дирихле с переменными коэффици ентами в области с криволинейной границей. (Однако анализ Фурье становится невозможен.) В случае краевых условий вида

аи + р - ^ - прямое обобщение схемы (6) не приводит к рас падению алгоритма на одномерные прогонки.

ЗАДАЧИ

1. Написать по аналогии с рассмотренными схемами (4) и (6) явную и неявную схемы решения установлением задачи Дирихле

а) для уравнения Лапласа с переменными коэффициентами:

д	k\ (х, у)	ди	+ ду	L	= 0, 0 < л г , г / < 1 ,
дх	k\ (х, у)	дх	+ ду	L	= 0, 0 < л г , г / < 1 ,
			и \| г	=	i\|> (х, у) \| г .

б) для квазилинейного уравнения

дх

и 1г = Ф (*> У) 1г-

	§ 36. ИТЕРАЦИИ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ						313
2. Показать, что в методе переменных направлений для решения раз
ностной задачи Дирихле
	Л-хх"тге + Лууитп	=	ф (хт,	уп),		\|
	т ,	ге=	1, 2, ....		Л* — 1; Mh=l,	}
	и т п	\ г =	^(х,	у)\г		\|
итерациями можно выбрать итерационный параметр т так,						чтобы после	пер
вой же	итерации разложение	погрешности			в конечный	ряд Фурье не	со
держало	любой наперед заданной гармоники				ф( г >s ) .

§36. Итерации с переменным шагом

1.Идея Ричардсона. Механизм сходимости простейшей схе мы установления (4) § 35

,P+I

	р+1	"Ф		($тп),			(1)
	Y —	"Ф		($тп),
	U° =	ф	п	(х ,	U )
	тп	т о		V т'	& п/
состоит,, как	мы видели,		в погашении			каждой из гармоник ^ r ' s \ .
по которым	разлагается		погрешность е°тп = •Umn-Umn				НулеВОГО
приближения в конечный ряд Фурье. Если
				Г, S			(2)
				Г, S
то коэффициенты Фурье			погрешности			следующего	приближения

выражаются через ср	по формулам			(см. (10), (11)	§ 35):
„Р+1 . = (1 — т\|*„)сРв ,	где	n r s	=	4 M 2 ( s i n 2 w 4 - s i n : ш)		(3)
При фиксированном выборе		т	не	все гармоники	погашаются

одинаково быстро. Более сильно погашаются те гармоники ty(r< s \

для которых множитель погашения L			s l — x\irs	ближе к нулю,
т.е. те, для которых [ i r s «		1/т. Это	наводит на	мысль	от шага
к шагу менять параметр т, чтобы поочередно хорошо					гасились
все гармоники ф ( г ' s ) ,	и в результате за несколько шагов все гар
моники гасились бы	более	или менее	равномерно.

314	ГЛ. 11. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

В этом состоит идея Ричардсона, предложенная в 1910 году для решения самосопряженных линейных систем уравнений с матрицей, все собственные значения которой имеют одинаковый знак.

2. Чебышевский набор параметров. Итерационный процесс Ричардсона задается формулами

тп	тп 1	Р+Ч	h тп	^\	т'	"п)у
	т, п — 1, 2, . , . ,			М — 1,			(4)
	UPmV\r =	y(Smn)>	Кп]	3	3 Д а	Н 0	\|

с итерационным параметром хР+\, зависящим от номера итера ции. В статье Ричардсона указан приемлемый, но не оптималь ный набор параметров {хр}. Изложим результаты об оптималь ном наборе итерационных параметров {тР} и оценке скорости убывания нормы погрешности || гр ||. В силу формулы (3) оче

видно, что коэффициенты Фурье c^s		погрешности eh на k-u		шаге
выражаются через коэффициенты Фурье c°rs			начальной погреш
ности е° по формулам
к
с?8 = с0в П(1	- т , \| * „ ) , г, s = l , 2,		М-1.
Введем обозначение	Qk (р.), положив
	к
	Q j k W ^ S d - T / n ) .			(5)
Тогда
Г, S '	Г, S
< max \| Qk (ц„) \| 2		I с% \2 =	max \| Qk (цг$)	\ • \|\| е° \|\|2 .

Очевидно, что неравенство

||ef e ||< max\Qk (ц, в )| - ||в°|

Г , S

„0

при некоторых е° становится точным равенством. Числа цгз, за даваемые формулой (3), разбросаны по отрезку

а = Umln < ц <	ц т а х = Ь,	(6
где
а = Hmta == 8М2	sin2-~^2n2,
		(б')

b = iimaii =

8M2cos2~~8M2.

§ 36. ИТЕРАЦИИ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ	315
Мы не будем опираться на фактическое знание	чисел \irs, так

как это—случайное обстоятельство, имеющее место только для нашего примера. Будем пользоваться лишь тем, что известны

границы а и Ъ отрезка (6), на котором они лежат.						Поэтому,
задав k, поставим задачу такого определения					итерационных
параметров ть тг,		хи, чтобы среди		всех многочленов СМц)
степени k,	удовлетворяющих		условию
			Q ( 0 ) = 1 ,			(7)
многочлен	(5) на	отрезке	а ^ \х ^ b	наименее	уклонялся от
нуля:	Ql = max		I Qk (д.) \|	минимально.		(8)

Эта задача теории аппроксимации функций решена в 1892 году А. А. Марковым. Искомый многочлен Qk(\i)= fh(\i) выражается через многочлен Чебышева (см., например, В. Л. Гончаров, Тео

рия интерполирования и приближения функций, М., 1954)
Тк (х) = cosk arccosx = j[(x+ Ух?^~\)к + (x -	Vx2	- i f ] ,
наименее уклоняющийся от нуля на отрезке — 1 ^	х ^	1 среди

всех многочленов степени k, с коэффициентом единица при хк.

Именно, если сделать линейное

преобразование

х =

^ - ,

(9)

переводящее отрезок а ^

\х ^

b в отрезок

—-1 ^

х ^

1, а

точку

ц =

„

Ъ +

а .

0 в точку х0

. _

1, то

(х)

(* +

V^Zr~x)k

+(х-

Ух2

\)к

(Ю)

rk W

(х0

+ VxJ^\f

+ (х0 -

VxJ=T)h

Набор итерационных параметров п , х2, ....

Xk, при которых воз

никает многочлен

(10),

определяется

из

условия,

чтобы

нули

jxj =

1/TTJ многочлена

Th(\i)

при преобразовании

(9)

переходили

в нули Xj многочлена

Чебышева

Ти(х):

b + а — (Ъ — а) хj

(П)

я ( 2 / - 1 )

Xj —

COS

Оценим наибольшее отклонение		Ql	многочлена Qf t ((i) =
«ss Th{\x) от нуля на отрезке	\i ^	Ь.	Как известно из теории

316	ГЛ. П. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

аппроксимации функций, многочлен Чебышева Ти{х) принимает наибольшее по модулю значение на отрезке — 1 ^ х ^ 1 в k + 1 точках, к числу которых принадлежат концы этого отрезка. По этому из (10) следует, что

д	г =	т а в	( x 0 + y * 3 - i ) 4 u - y , « - i ) f c -						( 1 2 )
Далее, из (9)		получаем
								I	(13)
		~Ъ ~ Umax						I
		~Ъ ~ Umax		~	4М 2	'		j
Поэтому	при больших М
		± Yxf^l		=	1 db	2 \/~П +	О	(г,),
откуда, с учетом (13), следует
					2			=
	*	[1 + 2^ г,	+0(ц)]к		+ [\ - 2 j / " r ,		+ 0 ( r , ) l f e
	— 2 : {е^1п(1+2Т/ ': П+0				(г»)	_\|_ ek\n{\-2V^+0		(Tft)j	^
	« 2 : {e % I t / M		+	e~knlM).

Считая, что норма первоначальной ошибки е° порядка еди ницы, || 8° || « 1, в силу замечания п. 4 § 35 о разумном порядке точности, которого следует добиваться, решая задачу итерация-

ми, надо выбрать к из условия

, т. е.

2 In М + In 2 м

2 In М + In 2

* ~

- р = — .

(14)

Для

погашения

первоначальной

погрешности

в е раз

надо

выбрать

k из условия

Qu ^

е~\

т. е.

( 4

(15)

2 У г|

Выбрав

& из этого условия, можно затем

первые k шагов

итера

ции принять за первый

цикл итераций и повторять весь цикл с тем

же набором

параметров п, тг, ... , тк- ДЛЯ уменьшения

нормы

погрешности

в М 2

раз потребуется

такое

число v циклов,

чтобы

e- v ~ \/М2, v ~ 21n М. Общее число элементарных

шагов

итера

ционного процесса за v циклов

будет

fev~('+n'n2

М^2\пМ =

0(М\пМ).

§ 36. ИТЕРАЦИИ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ

317

Оно лишь в конечное число раз

•2 2 + 1 1 п + 2 Д 1 п М ) < 1 + 1 " 2

превосходит число (14) элементарных шагов итерационного про цесса, не использующего зацикливание. Таким образом, исполь


зование цикла с k та (1 + In 2)/(2 Уч)			Дает		упрощение		без су
щественного увеличения	числа	итераций.
Использовать циклы	длины k-С 1/(2		Уц)		нецелесообразно.
Например, при k — 1 процесс Ричардсона				(4) превратится в про
цесс простых итераций (1) с оптимальным				выбором т. Число ша
гов процесса для уменьшения		нормы	первоначальной				ошибки
\|\| е° \|\| в е раз будет та 2М2/л2,		как показано в п. 2 § 35. Это число
в О(М) раз превышает	число шагов, необходимых					для	этой же
цели при выборе длины k цикла в соответствии с						(15).

3. Нумерация итерационных параметров. Формулы (11) за дают оптимальный набор итерационных параметров ть тг, . . . , т& (при заданном фиксированном k). Переставим как-либо члены последовательности х\, тг, ть, расположив их в некоторой очередности xf t = (хь х 2 , . . . , ки), и будем вести итерации по фор мулам

	up+i = ир	+ тЯр+1	(AhuP -	Ф),
	и р + 1 \| г = 'Ф»	и0 задано.
	При идеальной реализации алгоритма			(16) результат		финаль
ной, k-и итерации не зависит от выбранной					очередности хк —
=	(xi, х 2 , . . . , ХЙ) . Но при реальном		расчете,		который ведется на
машине с конечным числом знаков, этот порядок крайне						важен.
От	него при больших k резко зависит чувствительность					резуль

тата к ошибкам округления, допускаемым на промежуточных


шагах	процесса,			т. е. вычислительная			устойчивость алгоритма.
Прежде		чем приводить приемлемые порядки xf e = (xi, х 2 , . . . , Xh),
заметим,		что	исходный		алгоритм		(2), отвечающий	xf e =
= (1,2,..., k),			практически		непригоден.
Разберемся			в	механизме		возникновения неустойчивости в
этом	случае. Пусть начальная					погрешность е° имеет вид е° =
— 2	с"5 ф( '''s ) ,		c°rs^	1, и расчет		ведется	точно, без ошибок	округ

ления. Тогда коэффициенты погрешности /-го приближения е' = = ~2i cг r s 'Ф( ''•s ) выражаются формулой

4 = n ( l - t A s ) C 0 s .

318	ГЛ. И. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Проследим за эволюцией c[s с ростом / при г = М — 1, s — M—1. В этом случае

Prs =

V-M-\,M-\

Umax = 6 ~

М2,

)

(17)

Д п - т ^ ) .

с М - 1 , М - 1

Рассмотрим

линейные

функции

1 — Т/Ц.,

/ = 1 , 2,

нули

которых

ц/ =

1/т/ определяются

формулами (11). Из этих фор-

мул видно, что

2/ -

•

k +

с п Р а в е Д Л Й В

при —

—

— ё — '

неравенство

\is

и поэтому

(рис. 45)

<.-^,

| 1 — Xjb

| > 1

при

у <

k +

(18)

Если £ ~

— - 7 = - ~

ЛГ,

/ ~ 1, то

и,- ~

а 4-

АР

X/ ~

— •

Л1 2 '

2 Кг»

и поэтому

1 — ху 6 |

2. — уИ2.

Таким образом, величина | ( , определенная

формулой

(17), уве

личивается сначала примерно в Л42

раз за

один

шаг, а

потом

медленнее. В силу (18) этот рост

продолжается во всяком случае до

тех

пор, пока

/ ^

(£ +

3)/6, так что

при

I ~

k/б

величина

clM_lM_]ta

О а

вместе

ней

||е'||, окажется очень

большой и тем большей, чем боль

ше

число k.

При этом

порядки

ве

личин

значений

приближения

и1

Рис.

45.

~{итп}

М 0 Г У Т

выйти

за

пределы

допустимых

для

данной

машины

уже

при умеренных

k, k <С М.

Если

гипотетически

считать,

что этого

не произошло

и что

счет продолжается

точно,

то к

шагу / =

величина

с' М-1.

м-

вновь уменьшится, так что £й

^ QI-

Но дело в том, что даже если и не произошло переполнения ячеек машинной памяти при / ~ k/б, то неизбежные малые отно сительные ошибки округления при / ~ k/б велики по абсолютной в е л и ч и н е . Они носят случайный характер, так что в их разложе-

§ 36. ИТЕРАЦИИ С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ

319

нии в конечный ряд Фурье будут присутствовать все члены, в

частности член

вида

причем

Ci,

i — величина

не малая

по абсолютной

величине.

Покажем,

что

при

дальнейших

шагах

итерации ошибка

chlty°- 1),

внесенная

на гармонику

-ф(]• "

в результате

округления

на

шаге

/ ~

k/б, не

претерпевает

существенного

погашения

недопустимо

искажает результат.

Вызванный ею

вклад с?,\^ { и

в приближение uh, полученное на

последнем,

k-м

шаге,

выра

жается

формулой

%к

-—

П (1 —

- I . i

П О -

- I . !•

1, 1

/='+1

Но

при / >

(k - f 3)/6,

очевидно,

1 Г,

6 — а

М2 .

Ц / > Т

+ С

Поэтому

1 — т,а

Д ( 1 - т , а )

~ (

- лг12

/=/+i

так

что

с 1.1

с,

и погашения

погрешности

округления не

произошло. Практическая

непригодность

нумерации

параметров

ий = (1, 2, . . . , k)

показана.

Если на /-м шаге процесса

(13)

внесена

погрешность

округ

ления

то

на k-м шаге

она разовьется в

(1 —

Т / Ц „ )

С, S)

Поэтому

целесообразно

стремиться

такому

выбору

= (щ,

щ,

xk)> при котором имеет

место

оценка

max

(1 — т7ц)

< А

(19)

а < н < I

1=1+1

при умеренном

значении

А.

Пусть

c°styir-

s> — компонента

погрешности

е°

нулевого при

ближения. К 1-му шагу

она разовьется

с0

a|)(r- s \

(1 — т р,„)

./=1

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ