Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4126 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

250	ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Для завершения построения схемы надо задать дополнительные гранич ные условия на левой и правой боковых границах. Заметив, что при любых а и р из системы дифференциальных уравнений следуют равенства

aw)

av)

дх

x=0

(у

\°>w)

(Su)

= 0,

дх

x=l

зададим дополнительные разностные краевые условия, положив

« + 1

+ а < + ' ) - К + а < )

( p f + a o f ) - « + a t > 0

p )

При условии г

т/Л ^

1 показать, что:

а)

Если

1, § =

—1, то

спектральный признак

устойчивости выпол

нен.

—1,

б)

Если

то

независимо

от

выбора числа

спектральный

при

знак устойчивости

не выполнен.

в)

Найти

условия,

которым

должны

удовлетворять

а и р , чтобы вы

полнялся спектральный признак устойчивости, учитывающий влияние гра ничных условий.

§27. Представление решений некоторых модельных задач

ввиде конечных рядов Фурье

Приведем примеры модельных задач, решения которых удается представить в виде конечных рядов Фурье. Такие пред ставления имеют большую ценность, так как позволяют понять

свойства		рассматриваемых					модельных задач, а тем самым и
того класса задач, который они моделируют.
Сначала необходимо объяснить, что такое ряды Фурье для
сеточных		функций.
1. Ряды Фурье для сеточных функций. Рассмотрим									множе
ство	всех	вещественных				функций v — {vm},		определенных	в	точ
ках	хт =	mh,	т =	0,	1,	. . . ,	М; Mh — 1, обращающихся		в	нуль
при	т =	0 и	т =	М.	Совокупность этих			функций с обычными

операциями сложения и умножения их на вещественные числа образует линейное пространство. Размерность этого простран ства есть М — 1, поскольку система функций

		0,	если	тфк,
		1,	если	m — k,
k — \, 2,	М— 1,	очевидно,	образует базис.		Действительно,
каждую	функцию v =	{v0, vh	vM),	vQ = vM =	0, можно един-

§ 27. КОНЕЧНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

251


ственным		образом	представить в виде линейной комбинации
,	о г(1) г(2)		7(М - 1)
функции		I f , \р ,	яр

v = V l ^ + ...

Введем в рассматриваемом пространстве скалярное умножение, положив

(v, w) = h 2

vmwm.

( I )

Покажем,

что система

функций

ap> =

i / 2 " s i n - ~ ,

А =

ЛГ — 1,

(2)

образует

ортонормальный

базис в рассматриваемом

простран

стве, т. е. что

f 0,

кфг,

W W H l ,

А = г ,

А, г = 1 , 2,

М - 1.

(3)

Для доказательства

заметим, что

1пт

1 V

L ' —

~ l - w \

1 1 - е" " .

1 1 - е

" я

. /я

т = 0

]

если

/ четно

и 0 < / < 2М,

если

/ нечетно.

Отсюда при k ф г получаем

Af-l

фО) = 2А 2 J s i n - i r s i n - r

= 2A

2 ^ s

i n " 7 i r s i n n v r

т = 0

М - 1

— г)лт

Af—1

(£ + г) я т

„

/ V

V I

= А ^ c o s ^ — ^

A 2JC O S

= 0

т = 0

т—0

а при k =

ф<«

ф(*)) =

л J ] c o s O - A

^ c o s - ^ ^

= A M - A - 0 = l .

т = 0

252 ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Любая	сеточная	функция		v — (vQ, vh			vM)	разлагается
по ортонормальному		базису	(2) в			сумму
или	и =	с1гр<1>+		. . . +		с м ^ м ~ 1 \
или
				Af—1		ш ^ knm,
	« - . - /		г	Ц	^	ш ^ knm,			(4)
где				*=1
где						At
	ck = (v, ф<») =			/ 2	Л	wm sin knnt
						M
						m=0
Ясно, что благодаря		ортонормальности базиса					(2)	имеем
	(о,	v) = с] +		с2 - f		. . . + с* . , .			(5)
Сумма (4) и есть разложение				сеточной функции v =					{ y m } в ко
нечный ряд Фурье, а равенство					(5) — точный		аналог		равенства
Парсеваля	в обычной теории рядов					Фурье.

Совершенно аналогично			можно	рассмотреть конечные ряды
Фурье для	функций	на сеточном		квадрате.	Рассмотрим сетку
xm	= mh, yn	= nh,	0 ^ т / г ^ 1 ,		0 ^ л / г ^ 1 ,

причем h = 1/М, М — натуральное. Совокупность вещественных функций v = {vmn}, определенных в точках сетки и обращаю щихся в нуль в точках, лежащих на границе квадрата, обра зует линейное пространство. Введем в нем скалярное умножение

(v,

w) = h2

vmnwmn.

n—0 m—0

рассматриваемом

линейном

пространстве

размерности

(М—I)2

система

функций

,(k,i)

п .

Inn

k =

. . . , М

гр<

^ s m ^ - s m - ^ ,

l s

s ,

М - \ ,

образует

ортонормальный

базис

О,

если

1гфг

либо

1фэ,

{ I , если

k =

и l =

Это

следует

из (3), если

заметить* что

/м

-	2	. knm . mm / n V 1 • Inn .	sm	—
		1 3 , 1 1	Af
		И sin-rrM-Sin-•пгтM - / у 2 >, sin-M77-sin-		\\|>C>) (г\|з«\ f*)).
		== (ij><*>,

§ 27. КОНЕЧНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ	253

Любая функция v = {vmn}, обращающаяся в нуль на границе квадрата, разлагается в конечный двумерный ряд Фурье

М-1
Vmn = 2 2J CktSm—— sm-jj\|-,	(6)

где

Справедливо равенство Парсеваля

м-i

(v, о) = ft.S/=ic\v

(7)

Во всех примерах разностных краевых задач, решения ко торых мы запишем с помощью конечных рядов Фурье, исполь зуется выражение

A ^ t ) m = - ^ - ( y m + 1

— 2ym

fm-i).

от=

. . . ,

М— 1.

(8)

Заметим,

что

/гят

Л** sin - д р

Г .

kn (tn + 1)

r, .

- .

kn (m — 1)

/г2

" "

O I "

&я

, \ .

torn

„

= ~ P ~ \ C 0 S 1 T _

1 ) S l

п v Г =

^ A * s ш - л r •

m = = l

2 '

•••• M —

где

= - -

^ s

i n

w .

Другими словами, базис (2) СОСТОИТ из

собственных

функ

ций оператора

Ахх,

переводящего

функции v =

{vm}

из простран

ства функций, обращающихся в нуль при

т — О и т =

М,

функции того же пространства по формулам

t»m =-JjT (Om+l — 2 и т + У т _ . , ) ,

Ш =

. . .,

M — 1.

Собственной функции \|) ( f t

) = V^2 sin - ^ p

соответствует собствен

ное

значение

- - ^ s i n 2

^ ,

k =

l, 2, . . . .

(9)

2. Представление решений разностных схем для уравнения теплопроводности на отрезке. В качестве первого примера, где удается представить решение в виде конечного ряда Фурье,

254 ГЛ. 8 ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

рассмотрим

простейшую разностную

схему

,P+I

1т\\

= 0,

Af — 1,

(10)

Р = 0 , 1,

[ Г / т ] -

ир

= 0

-,0

_ •ф (т/г)

для задачи теплопроводности на отрезке

Щ-ихх

= 0,

0 < f < 7 \

0 < * < 1 ,

«(0, /) =

и(1, 0 =

0 < ^ <

Г,

(И)

и(х,

0) =

о|з (JC),

0 < * <

Задачу

(10)

перепишем

так:

и р + 1

ир+хА

«" =

( £ +

T A J « ° ,

(12)

«л, =

Ф ( т /

г ) -

Здесь

Е — тождественное отображение: Еы^ — ы р , а £ +

т Л л х —

оператор перехода

от

и" к ы р + 1 ,

или оператор

перехода

со

слоя

на слой. Относительно сеточных

функций

аргумента т

предполагается, что при каждом фиксированном р они при

надлежат

рассмотренному

пространству,

т.

е. м р = « ^

Будем

искать решения

уравнения

(12)

виде

tf+w-ti(V^sln-^).

Подставляя

это

выражение

уравнение

и сокращая обе

части

на

грг .

пят

, получим

силу (9)

следующее

выра-

Я" У2

sin

жение

для Xk:

_4т

Xk =

1 + x\ik =

sin^ W

. . . , М

А2

Ввиду

линейности

уравнения

(12)

выражение

ир

м-\

= 2

с**,^*»

(13)

является его решением при любых произвольных постоянных ск. При р = 0 получаем

М - 1

«8.' 2 е* (К2 s i

§ 27. КОНЕЧНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

255

Выберем в качестве ск коэффициенты разложения заданной функции и°т = ip (tnh) в конечный ряд Фурье, т. е, положим

	C k	= (ф, о^>) =		h 2	op (tnh) (V2 sin		.
Тогда решение (13)				m=0

	« ' - - 2 4 i - ^ i * # ) ' ( i ^ » i » ^ r )								<
будет удовлетворять заданному начальному условиюи°т =								ip (m/г).
Формула (14)		и есть	искомое		представление	решения задачи			в
виде конечного ряда			Фурье.						т
	Коэффициенты с$		разложения функции			и$	аргумента
при	фиксированном		р	по	ортонормальному		базису	ipW	=
=	1/2 s i n - r j -

имеют вид

cf=ckXl

Поэтому, принимая во внимание равенство Парсеваля, получим

(«р+1, «р+1) = 2 |сГ , , | > - 2 |с*я|+,Р<

ft=l ft=l			M - l
			M - l
< max		I лА f 2 I		\|2	= max \| Я* \|2		(«p ,	и"),
	ft ft=i ft				Afe \|2 ( u p ,	и?)
причем строгое равенство	( ы р + \| ,		« p + 1 ) = max\|		Afe \|2 ( u p ,	и?)	дости-
гается, если в качестве и° используется				ft
гается, если в качестве и° используется				та	грм, для которой
наибольшее.
Если max \| АА \|2 ^ 1 ,	то	имеет место		неравенство
(ир+\	UP+ ' ) < ( « " , ир).							(15)
Положительно определенные			квадратичные формы вида
	(Аир,		и"),
где А — матрица квадратичной			формы, напоминают			выражения
для энергии в уравнениях	математической			физики. Поэтому				не
равенства вида
(Aup+l,		« " + 1 ) < ( Л « Р ,		и")

для решений разностных краевых задач называют обычно энерге* тическими.

256	ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Таким образом, оценка			(15)	есть	простейшее энергетическое неравенство.
В случае	выполнения энергетического неравенства выбор						норм \|\| ' \\цп и II ' IIFn
естественно связать с формой (AUV,UP),					П О Л О Ж И В , в частности, \|\| «/f t MlyA			=
= т а х ( Л и р , И Р ) ' 2 .		Подобные нормы называются					энергетическими.
Неравенство max \|			\|2 ^	1 выполнено, как			легко видеть,	в
случае,	если	k
случае,	если
При			Г	~ h2	^= 2 '
При
			г = const >			у
и при	достаточно	малых		значениях		h найдутся %н, \| А * \| > 1 .

Тогда устойчивости нет ни при каком разумном выборе норм.

Рассмотрим

разностную

схему

более

общего

вида

И " + ' ~ " "

[(1 -

a) AXXUP

OAXXUP+>]

О,

для той же дифференциальной

задачи

о теплопроводности (11).

Здесь о — параметр.

Найдем

решения вида

M m = A g l / 2 s i n - ^ - ,

k = \, 2,

M-l,

где Xk подлежат

определению.

Подставляя это выражение в разностное уравнение, полу

чим соотношение, которому

должно

удовлетворять Хи.'-

= 1 + т (1 — а) цк

+ xa%k\ik.

Отсюда

( l - c ) t . ,

fei

Я * =

»т

•

* = 1 ' 2>

~ L

По-прежнему

+ ~ш

~ш

(UP+\

uP+l)

< m a x | %k

f(uP, «P).

Энергетическое

неравенство

если

(15) имеет место,

или

т а х | А 4

| < 1

. 9

(1 — о) г

. 2

1 +

-г-

sin

2Л1

§ 27. КОНЕЧНЫЕ РЯДЫ ФУРЬВ

257

Очевидно, что при 1 ^ а ^ 7г это неравенство — и энерге тическое неравенство (15) также — выполняется, каково бы ни было г. Если о = 0, то разностная схема превращается в уже рассмотренную явную схему и, как мы видели, для выполнения энергетического неравенства (15) при всех h нужно, чтобы было

г^ У2 .

3.Представление решений разностных схем для двумерной

задачи теплопроводности. Рассмотрим теперь двумерную задачу теплопроводности

	ди	д2и .		д2и		0 < * < 1 ,		0 < г / < 1 ,
~Ы		~дхт~т~ ~дуг'				0 < * < 1 ,		0 < г / < 1 ,
~Ы		~дхт~т~ ~дуг'				0 < г - < 7 \					(16)
и(х,		у,	0) =	$(х,	у),	0 < г - < 7 \					(16)
и(х,		у,	t) \| г	= 0,			0 < * < 1 ,	0 < г / < 1 .
Здесь через		Г	обозначена			боковая поверхность			параллелепи
педа 0 <	х, г/ <		1, О <С / <			7\
Построим сетку (xm,					уп, tp) = (mh, nh, рт), причем будем						счи
тать h =	l/М, где М — натуральное. За Dn							примем	точки	сетки,
лежащие	внутри и на				границе		параллелепипеда		0 ^ х,	y	^ l ,
О < t <	Т.
Обозначим
					«р			m— 1, п
			А	„Р	"m+l, п			m— 1, п
			А	„Р	"m+l, п
			Л	р	ипг,	п+\	~~ %итп + " т , n-1

Операторы Ахх и Ауу совершенно аналогичны, только первый действует по переменному т, в то время как п и р — параметры,

авторой — по переменному п, а т и р — для него параметры, Простейшая разностная схема для задачи (16) есть

,P+I

	— Л-xxU-mn ~Ь A.yytl\		О ^ mh, я/г ^ 1,
		уу"тп>
			О < рт < Т — т,	(17)
			О < рт < Т — т,
•m/i \|р	0.
•m/i \|р
Ищем решения разностного		уравнения при условии upmn \F = 0
вида
Заметим, что	тп	Ы^тп
Заметим, что

9 С. К. Годунов, В. С. Рябенький

258	ГЛ. 8. ПРИЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Поэтому для kkl получаем выражение

или

^ ^ l - ^ f s i n ^ + s i n 2 ^ ) .

Решение

М-1
и р = 2 с М к ' 1 )	(18)

k, 1=1

удовлетворяет условиям на боковой границе при любом выборе постоянных Cki- При р = 0 это решение принимает вид

Для того чтобы выполнялось заданное начальное условие

			Umn =	^ (т/г,	яя) = 2	Cftftmn\
в	качестве		ckl надо	взять	коэффициенты		Фурье	функции
•ф (т/г, я/г),		т. е.
	cki		м
	cki		= h2	гр(т/г,	я/г) (2 s i n s i n - ^ p ) .			(19)
			т , п = 0
В	силу формулы (18) коэффициентом					при ip( f e , / >	в разложении и"
в ряд Фурье			служит	число (с&Д£/). Поэтому

(«р , «р ) = 2 к ^ 1 2 .

					ft, г
При любом			фиксированном р в силу				этого	можно	написать
( и р + \ и р + 1 ) =			2 \| ^ г + , \| Ч
			ft,i=i
			<	т а х \| Я ы \|2		2 I сыкры\2		= max \| Л ы \|2 (up , up ).
				ft, г	ft,	г	ft,	г
Равенство		достигается,		если	в качестве ip (m/г, я/г)				задана та
собственная			функция гр^" оператора				перехода £ + т ( Л ж ж + Л о т )
со слоя	t =	р% на слой		t = (р + 1)т, собственное число которой
Ль; принимает среди всех собственных							чисел кы наибольшее по
модулю	значение.
Если	т а х \| А А г \| ^ 1 ,			то имеет		место энергетическое неравен*
	ft,		i

ство

(«"+', UP+ ' ) < ( « " , ИР).

(20)

§ 27. КОНЕЧНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

259

Когда k и / пробегают значения k,l—\,

М — 1,

соб

ственные числа пробегают некоторое конечное

множество то

чек на вещественной прямой, лежащее левее точки

л = 1. Са

мая левая точка

получается при k = I — М — 1:

\ М - 1 , М-1 =

1 — 8r sin2

(М

1)п

2М

= 1

8 г с о з 2 - ^ = 1 - 8 г +

о ( ^ ) ,

Поэтому неравенство max)

| ^ 1 выполняется при —1 ^

1 —8г,

г < 'Л-

Для

неявной

разностной

схемы

,P+I

,,Р+1 _|_ А

ир+х

*-уу"-тп >

гр (mh, nh),

1тп |р

•0

решение

имеет вид

и"

CklK$mn

где

тп

l + 4 r \

sin2

+ s

• 2

1П У

ш)

а коэффициенты

сы определяются по-прежнему

формулой (19).

Здесь 0 <

%ы <

1. и энергетическое

неравенство

(20) имеет ме

сто при произвольном значении г =

t/h2.

4. Представление

решения

разностной

схемы

для

задачи о

колебаниях

струны. Рассмотрим пример трехслойной схемы

£л«(/1> =

/ < Л ) , аппроксими

рующей задачу о

колебаниях

струны

с закрепленными

концами:

utt — и х

х =

0 < л : < 1 ,

0 < ^ < r ,

и(0,

t) =

u(l,

/) =

0 <

t <

Т,

и (х,

0) =

г|)0

(х),

0 < х <

ut(x,

0) =

г|>1

(х),

0 < х <

Положим

„ Р + 1 _ о « р 4- ир~х

Т 2

(Л)

u°m=%(mh).

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4126 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ