Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4128 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

270ГЛ. 9. РАСЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ

2.Определение обобщенного решения. Переходим к опреде лению понятия обобщенного решения. Запишем дифферен

циальное уравнение из задачи (1) в дивергентной форме:

		ди	+ дх	(4)=	0.				(4)
		ди

Проинтегрируем обе части уравнения (4) по произвольной
области D,	лежащей в полуплоскости				t ^		0.	Получим
						и dx		dt.
Таким образом, каждое дифференцируемое решение урав
нения (4)	удовлетворяет		интегральному			соотношению
		и dx		J" dt =	0,				(5)
где Г — произвольный контур,				лежащий		в	полуплоскости		^ > 0 .
Равенство	(5)	выражает	некоторый закон сохранения:						поток
/	и	\
вектора (^2/2] ч е Р е з Л К ) б о й замкнутый					контур			равен нулю.

Покажем, что, и обратно, если гладкая функция удовлет воряет при любом контуре Г интегральному закону сохранения (5), то в каждой точке (х0, to), U>0, выполнено равенство (4). Предположим противное, и пусть для определенности в неко торой точке (х0, t0) будет

			ди	, д	I	и2 \	> 0 .
			dt	~дх	\	Т) х=х$.	> 0 .
			dt	~дх	\	Т) х=х$.
Тогда	в силу		непрерывности		можно найти столь малый					круг D
с границей		Г	и с центром		в	точке	(xo,to),	всюду	в	котором
Щ +	>	0. Получим
	о - $ « * - т г * - Ш 4 + - & ( 4							dx dt	>	0.
	о - $ « * - т г * - Ш 4 + - & ( 4
Возникшее			противоречие		0 > 0 доказывает,			что из	(5) в слу
чае гладкой			функции	u(x,t)		следует (4), так что (4) и (5)
равносильны.			Но в случае		разрывной		функции и(х,		t)	диффе

ренциальное уравнение (1) или (4) на линии разрыва теряет смысл, а интегральное условие (5) смысла не теряет. Поэтому будем называть обобщенным решением уравнения (4) всякую

§ 29. ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ

271

кусочно-дифференцируемую функцию, удовлетворяющую при

произвольном

выборе

контура Г

в полуплоскости

t ^

О усло

вию

(5).

3. Условие на линии разрыва решения. Пусть внутри об

ласти, где отыскивается решение, имеется

линия

xs=x(t),

на

которой

обобщенное

решение

u(x,t)

терпит

разрыв

первого

рода.

Пусть

при приближении к этой линии слева

или справа получаем на ней соответ

ственно

и (х,

,(*,

О,

U (х,

—

W n p a B ( х ,

t).

Оказывается,

что

значения илеъ(х,

t),

"прав

скорость

движения

точки

разрыва

х =

dx/dt

не

могут

Рис. 32.

быть

произвольны: они

связаны

меж

ду

собой

некоторым

соотношением.

Пусть

является

линией

разрыва

(рис.

32).

Интеграл

и2

udx

по

контуру

ABCDA,

как

по

любому

ABCDA

другому контуру, обращается в нуль. Когда отрезки ВС и DA стягиваются к точкам Е и F соответственно, интегралы по ним обращаются в нуль и получается равенство

или

1 ( и 4 г - [ т - ] ) * - *

где [z] = 2 п р а в — 2 л е в	— скачок	величины		z на	линии	разрыва,
a U — произвольный	участок	этой	линии	V =	EF.
Ввиду произвольности участка			U в каждой точке			линии L
должна обращаться	в нуль подынтегральная				функция:

Отсюда

272 ГЛ. 9. РАСЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ

так что	на	линии разрыва	выполнено	условие
		dx	"лев ~Ь «прав		(6)
		~Ш~=	2	'	(6)
Если	бы	мы записали уравнение		щ + иих =	0 в другой ди
вергентной		форме:

то пришли бы аналогичным путем к другому интегральному соотношению:

		^-dx-^-dt		= 0y	(8)
и к другому условию на линии				разрыва:
	^ х	"лев ~Ь ц лев ц прав "Ь м прав			^
	dt	3	"лев ~Т" "прав
Наклон (9) линии		разрыва	(или скорость х ударной		волны)
не совпадает	с наклоном (6), отвечающим первой дивергентной
записи (4).	Отсюда	видно, что		понятие обобщенного	решения

зависит от того, какой именно интегральный закон сохранения отражается заданным дифференциальным уравнением (1). В задачах математической физики интегральные законы сохра нения имеют вполне определенный физический смысл.

На гладких функциях и все пять форм записи

	ди	,		ди		п
	-ЪТ	+	и-дх-		=	0'
ди	,	д				••0.
	т	дх	\	2	)	••0.
	т	дх	\	2	)
dt\ 2 )	^	дх	\	3	1	и '
и dx			и2
и dx			g-" а7 =			0,
г
у - dx — ~				dt =		0
г

равносильны между собой.

В дальнейшем, рассматривая задачу Коши (1), мы будем иметь в виду выполнение интегрального закона сохранения (5) и вытекающего из него условия (6) на разрыве.

§ 29. ОБОБЩЕННОЕ		РЕШЕНИЕ		273
4. Распад произвольного разрыва. Пусть заданы				разрывные
начальные данные		х <
2	при	х <	О,
1	при	х >	0.
Построенное по этим начальным данным решение				изображено
на рис. 33.

Рис.	33.
Тангенс угла наклона линии	dx	2 + 1	= у	3	яв-
Тангенс угла наклона линии	разрыва -fi—	2	= у		яв-

ляется средним арифметическим из тангенсов углов наклона характеристик по обе стороны от нее.

dt F

Q	*	О	X
	а)		б)
	Рис.

Зададим теперь в начальных условиях другой разрыв: 1 при х<0, 2 при х > 0.

Из рис. 34 видно, что возможны два способа построения реше ния. В первом способе мы получаем непрерывное решение, а во втором — разрывное при / > 0. Следует предпочесть непрерыв ное решение. В пользу этого говорит следующее рассуждение.

274		ГЛ. 9. РАСЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ
Если	несколько изменить начальные данные, задав						их формулой
			1	при	х^.0,
		и=	2	при		х^г,
		1-{-2х/е		при	0 < л : < ; е ,
то решение и		определится		однозначно.		Оно изображено		на
рис.	35. При	стремлении	е к нулю		это	решение	переходит	в

Рис. 35.

непрерывное решение, изображенное на рис. 34, а. Запрет реше ния, изображенного на рис. 34,6, по причине его неустойчиво сти относительно возмущения начальных данных аналогичен запрету ударных волн разрежения при математическом описа нии течения идеального газа.

5. Другое определение обобщенного решения. Для опреде ления понятия обобщенного решения задачи (1) можно рас смотреть вспомогательную задачу

		ди	, ^	ди	д2и		j		QQ)
		dt		дх	^ дх2	'	i		QQ)
			и(х,	0) =	ty(x).		j
Здесь дифференциальное			уравнение уже				не гиперболического,
а параболического типа. Его решения							сохраняют		гладкость,
если \р{х)— гладкая функция. А					если	и(х, 0) =		ty{x)	разрывно,
то	разрыв	сглаживается. Параметр ц >				0 играет		роль вязкости
в	газовой	динамике. При	ц—*0 решение				задачи	(10)	стремится

к пределу, который можно принять за обобщенное решение за дачи (1). Можно показать, что для задачи (1) последнее опре деление обобщенного решения равносильно определению с по

мощью закона сохранения		(5).
§ 30. Построение разностных схем
Перейдем теперь к вопросу о			построении разностных		схем
для задачи
ди	,	ди	„	)
—	+ и -г— =		0,
dt		дх	'	\	^

и (х, 0) = \f> (х). j

§ 30. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

275

Будем

предполагать

для

определенности,

что

г|з(л;)>0.

Тогда

и (х, t)

> 0.

Первое,

что

кажется естественным, — это рассмот

реть разностную

схему

ит

р "от

" т - 1

:0,

Р =

1 , . . . ,

± 1, ..

(2)

Замораживая коэффициент ирт

в точке m — m0 , мы видим, что

для возникающего

уравнения с

постоянными

коэффициентами

при переходе на слой t = (p-\-\)x

выполняется принцип

мак

симума, если шаг т = т р

выбран

из условия

max

иРт

Поэтому можно ожидать устойчивости. Если

решение

задачи

(1) гладкое, то

аппроксимация

задачи

(1)

задачей (2)

не

вы

зывает сомнения. Действительно, в этом случае эксперимен тальные расчеты заранее известных гладких решений подтвер ждают сходимость.

Однако если задача (1) имеет разрывное решение, то схо димости к обобщенному решению, заданному, скажем, интег ральным законом сохранения

\| и dx — •—- dt = 0,	(3)
г

ни в каком разумном смысле ожидать нет оснований. Ведь в

используемую	разностную схему (2) не заложена	информация
о том, какой	именно закон сохранения — (8) из §	29, (3), или
какой-нибудь	другой — положен нами в основу	определения
обобщенного	решения.

Поэтому при построении разностной схемы надо использо вать либо интегральный закон сохранения, соответствующий

искомому обобщенному решению, скажем закон		(3), либо урав
нение с искусственной вязкостью	(10) § 29:
щ + иих =	\шхх,	(4)

осуществляющее при р,-»0 отбор интересующего нас обобщен ного решения.

276 ГЛ. 9. РАСЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ

1. Схема с искусственной вязкостью. Отметим сразу же, что

разностная

схема

с искусственно

введенной

малой

вязкостью

i / p + I

— п р

„

п р — и "

п р

9мр

А - п р

ит

ит .

ит

ит-1

ит-\

—z u m ^

ит+1

" «

•

имеет решение «< f t )

{«m },

сходящееся при я - * О и

достаточно

малом т =

т(я, ц)

искомому

обобщенному

решению

задачи

(1) вне сколь угодно малых окрестностей

линий

разрыва

обоб

щенного решения равномерно. При этом

ц, =

ц(я) должно

при

h—*Q достаточно

медленно

стремиться к

нулю. Различные

раз

ностные схемы,

использующие

искусственную

вязкость,

успеш

но применяются при газодинамических расчетах. Их недостат ком является размазывание разрывов.

Остановимся подробно на построении разностных схем на основе интегрального закона сохранения (3).

Можно наметить два подхода. При первом используется не только сам интегральный закон сохранения (3), но также и вытекающее из него условие на разрыве

dx	"лев ~Ь Иправ
_ =	_	.	(5)

При втором разрывы не выделяются и расчет ведется по еди нообразным формулам во всех расчетных точках.

2. Метод характеристик. Наиболее четко идея выделения разрыва при расчете обобщенного решения реализуется в ме тоде характеристик, который можно считать одним из вариан тов метода конечных разностей. Развитие возникающих в про цессе расчета, т. е. при увеличении времени t, разрывов счи тается по особым формулам, использующим соотношение (5) на разрыве. Вне разрывов задания дифференциального уравне ния во всех встречавшихся нам формах равносильны между со бой. Поэтому при построении расчетных формул в точках об

ластей гладкости можно исходить из		записи закона сохранения
в дифференциальной форме,	т. е. из	дифференциального урав
нения
+ w__= 0.
ди ,	ди	п

Принципиальная схема одного из вариантов метода характе ристик применительно к нашему примеру состоит в следующем. Отметим на оси Ох точки хт — mh. Будем считать для опре деленности, что начальное условие и(х, 0) = г|)(*) задается глад кой функцией ty(x). Из каждой точки (хт, 0) выпустим харак теристику уравнения ut -f- иих = 0.

§ 30. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

277

Предположим,

чтобы

не осложнять

изложение, что при за

данной

функции

\р(х)

можно выбрать

столь

малое

т, что на

любом

отрезке

времени

длины т каждая характеристика

пере

секается

не более

чем с одной из соседних

характеристик.

Возьмем

такие т и проведем прямые / = tp

= рх.

Рассмот

рим

точки

пересечения

характеристик,

выходящих

из

точек

(хт,

0), с прямой

t — x

и перенесем

в эти точки значения ре

шения и (хт,

0) = ф (хт)

по характеристикам.

Если

на участке

0 ^ t ^ т никакие

две характеристики не

пересеклись,

то делаем

шаг: продолжаем

харак

теристики до пересечения с пря-

мой t=2x

и переносим по харак-

*~*р*

теристикам

значения

решения в

точки

пересечения.

Если

пересе

V'.

чения

характеристик

за

время

т < t ^

2т опять

не было, то де

лаем

шаг и так до

тех

пор, пока

на

некотором

участке

tp <t < tp+i

две

харак

теристики,

например

выходящие

из точек

(хт,0)

и (xm + i,0),nepe-

Рис.36,

секутся

(рис. 36). Тогда

середину

отрезка

Qm+'iQm*'

будем

считать

точкой,

из которой вы

ходит

зарождающийся

разрыв. Точки

Qpm+l

и Qm+'i

заменяем

одной

точкой Q, приписывая

ей два

значения

решения,

и л е в и

"прав, принимая за эти величины значения

«лев = U (Qm)

И «„р а в = « (Qm+1).

Из точки Q выпускаем линию разрыва

до пересечения с пря

мой t — t p + 2 .

Угловой

коэффициент разрыва

определяем

из ус

ловия на разрыве

,"лев "Т" Мправ

		t g a	=	5		•
Из точки пересечения			разрыва		с прямой		t — tp+2	проводим
характеристики		назад до пересечения с прямой / = tp+b							про
ведя их с угловыми коэффициентами						ыл е в и «прав с предыдущего
слоя. В	точках	пересечения		этих		характеристик		с	прямой
t = tp+\	с помощью интерполяции				по х находим значения и и
принимаем их за левое			и правое		значения		решения в точке
разрыва,	лежащей на прямой			tp+2.		Это позволяет		определить

новый наклон разрыва как среднее арифметическое найденных

значений слева	и справа и продожить		разрыв еще на шаг т
по времени.
Достоинство	метода	характеристик	в том, что он позволяет
следить за разрывами		и аккуратно их рассчитывать. Однако

278 ГЛ. 9. РАСЧЕТ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ

в процессе счета возникают все новые разрывы, в частности, малосущественные разрывы могут пересекаться, так что с те чением времени картина усложняется. Логика расчета услож няется, требования к машинной памяти и расход машинного времени возрастают.

В	этом недостаток метода характеристик, в котором раз
рывы	выделены и считаются нестандартным образом.
3.	Дивергентные разностные схемы. Разностные схемы, не ис

пользующие искусственно введенную вязкость и не использую щие условия на разрыве, как было выяснено, должны опи раться на интегральные законы сохранения.

(т,р+1)

				Рис.	37.
Проведем		на плоскости		Oxt	сетку	прямых		t = рх, х =	mh,
р — 0, 1,	. . . ;	т — 0,	± 1 ,	. . . Отметим		на	сторонах возникаю
щих прямоугольников			их	середины (рис.			37)	и отнесем	их к
сетке Dh	(оси координат на рисунке не					показаны).

Искомой функцией [и\ будем считать сеточную функцию, определенную в точках сетки Dh путем усреднения решения u{x,t) по той стороне сеточного прямоугольничка, которому принадлежит рассматриваемая точка сетки:


	M A U * m . s " 5 , =			T	J	u(x,tp)dx,
	[u]h и * т +	1 /	= U"mA =		- 7 J	« (Хт+Ч„ t)	dt.
Приближенное		решение		uih)	задачи	определено	на	той	же
сетке Dh.	Значения	u(h)	в точках		(хт, tp), лежащих		на	горизон
тальных	сторонах	прямоугольничков,				будем обозначать			uvm,

а в точках (Хт+Чг> tp+ч,) вертикальных сторон — через £/г а+у,. Величину и*>т можно считать продолженной на всю сторону

t — tp, xm<x<xm+i прямоугольничка, которому принадлежит точка (хт, tp). Аналогично будем считать, что £/£+•/» определена

§ 30. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

279

на всем вертикальном промежутке

X —

Хт+>/2,

/ р < / < / р + 1 .

Таким

образом,

и № )

будет функцией,

определенной на

прямых

х~

mh,

t — px. Связь между величиной ирт

и Upm+\, р~0,

1, . . . ;

т = 0,

установим,

исходя

из

интегрального

закона

сохранения

и dx

•

Рассмотрим в качестве контура Г элементарный прямо

угольник сетки и положим

§ uMdx-^-p-dt==0,

(6)

или в развернутом

виде

h [и**1

- « „ ]

+ •£ Kuttif

- (иЯП

= о.

(?)

Если

будет

указано

правило

вычисления

величин

Um++'h

т — 0, + 1 ,

по уже известным

величинам

т=0,

+ 1 , . . . ,

то

формула

(7)

позво-

ляет

вычислить

величины

и^,

. . . . т. е.

продвинуться

на

один

шаг

по

времени. Однако

незави

симо

от

конкретного

спосо

ба, который мы изберем для

вычисления величины Um++*i2,

разностная

схема

вида

(7)

обладает свойством

дивер-

гентности, которое

состоит в

> х

следующем.

Проведем

Рис.

38.

полуплоскости

какой-

либо замкнутый

несамопере-

секающийся контур, целиком состоящий из сторон сеточных

многоугольников	(рис. 38). Этот контур gh	ограничит некото
рую область Gh, составленную из сеточных		прямоугольников.
Просуммируем	почленно все уравнения	(7), относящиеся к

прямоугольничкам, составляющим область Gh.

Уравнения (7) и (6) отличаются только формой записи. По

этому можно считать, что мы суммируем уравнения	(6). По
лучим
-§uWdx-^¥-dt^0.	(8)

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4128 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ