книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

380

ГЛ. 13. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ

ЗАДАЧ

Пусть теперь

оператор Rh, v = Rhu,

задан

разностными соотношениями

fco

&о

S

B ftm°m+ft=

2

Л й Л + т -

< m < M ~

V

ft——k0

ft=—ft,

2ft,

2ft„

(18)

2k„

2ft0

2 V, = 2 «л-.

2 P,^_, = 2 «iV-*'

1=0

(=0

i=0

/=0

причем

задача

ft»

\

(19)

2

BkmVm+k =

<pm, ft0

<

m <

M — £„,

ft=-ft0

I

2ft0

2ft0

j

хорошо

обусловлена.

Предполагается, что

Акт = Л*

, B k

m =

S f t

где

Ak(x)

и Bfe (А:)—квадратные

матрицы,

определенные на отрезке 0 ^

х ^

^

1, удовлетворяющие на этом

отрезке условиям гладкости (14) § 4;

аиЬ,,аи

Р< — прямоугольные

числовые

матрицы,

не зависящие от М. В таком

случае

применима

теорема

и спектр

семейства

операторов [Rh] состоит из всех тех

Я, для которых разностная краевая

задача

2

(кВкщ — Akm)

"m+ft =

Фт. ka

< m<Af — kD, j

k = ~ h

(20)

2fe„

2ft„

I

2 P i - ad u i = * i .

2 № - a ») « м - » = * 2 I

1=0

i=0

I

не является хорошо обусловленной. Для выяснения того, является

ли за­

дача (20)

хорошо

обусловленной,

при каждом Я можно воспользоваться

кри­

терием п. 7 § 4.

fm =

(l -

г) ит + rum+u m = 0,1

М, )

им =

0,

Mh=l,

\

делить не по формуле || и [| = max | ит

|, а по формуле ||«|| =

(А У\

и2У^.

т

\

т

)

»m =

(1 — г+

yh)um

+

rum+i, m =

0, 1,

М — 1, 1

t>M =

0,

М А - 1

,

)

не зависит от

значения

числа

v

и совпадает со

спектром, построенным

в этом параграфе для случая у =

0.

§ 44. ЯДРА СПЕКТРОВ СЕМЕЙСТВ ОПЕРАТОРОВ.

381

3. Вычислить спектр семейства операторов {Rn},

v = Rnu,

заданного

равенствами

v m

=

(1 — г) ит

+ г (um~x

+ tim+i),

т— 1,2

М — 1,

1

еш0

+

& и , = 0 ,

М м =

0, M A = 1 , л =

const,

|

где

а и 6 — заданные

числа.

Рассмотреть случаи | а | > | 6 |

и | а | < | 6 | .

§ 44. Ядра спектров семейств операторов

Пусть Rh отображает линейное нормированное пространство

Un

некото­

рой размерности N,N =

N(h),

в себя. Будем

писать вместо Rh и Uh

соответ­

ственно RN

и

UN, чтобы в

обозначениях

была

явно

указана размерность.

Предполагается, что N ~>- оо при h -*• 0.

Здесь мы обсудим вопрос

о том, насколько

спектр

семейства

операторов

{RN}

зависит от выбора

последовательности

норм \ \ ' \ \ N

в пространствах UN

норм степеней операторов RN

(теорема 1 из § 42) относительно

выбора норм.

Относительно

семейства

операторов

{RN}

будем

предполагать, что соб­

ственные числа всех операторов RN

ограничены в совокупности, т. е. лежат

в некотором круге

| Я К с =

const.

(1)

Очевидно, что для выполнения условия (1) достаточно, чтобы существо­

вала хотя бы одна последовательность

норм

Н'Нд,

такая, чтобы выполня­

лись неравенства

|[ RN \\N < с' — const.

Отсюда видно, что ограничение (1)

естественно: оно

выполняется для

семейств операторов {Яд,}

перехода со

Пусть

заданы: какая-либо последовательность

норм

I I 4 1 ^ число

a s

е [0, 1] и целое

k ^

0.

Обозначим

через

A(a,k,N)

множество

точек

Я, для

которых

неравенство

|| RNu

— Ли ||< aNN~k

\\и\\

имеет

решение

w e f / д , -

Значок N при написании норм мы опускаем. Обозначим через As(a,

k)

теоре­

тико-множественное замыкание объединения

всех

множеств

Л (a,

k, N)

при

Л ' > 5. Обозначим через А{а, k) пересечение множеств As{a,

k),

отвечающих

всем s > 0.

О п р е д е л е н и е .

Ядром

А(а)

показателя

a s [ 0 , 1 ]

семейства

операто­

ров {RN}

назовем

пересечение

множеств

А(а, k),

отвечающих

всем

целым

Т е о р е м а

1.

Ядро

А(а),

а е [ 0 , 1 ] ,

целиком

принадлежит

спектру

се­

мейства операторов {RN}

и

замкнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем,

что

если

точка

Ло не

принадлежит

спектру семейства

операторов

{RN}>

то она не

принадлежит

и

ядру. Дейст­

вительно, найдутся е >

0 и N0

такие, что при всех N > Л/0

для любого

« e [ / f f

выполнено

неравенство || RNu — Я 0 и | | ^ е ||и||. Но тогда

для всех

Я из круга

| Я — Я 0 | < е / 2

выполнено

также

неравенство

|| Rуи

— Я« | | ^ -|- ||и||.

Ввиду

этого при Л/ >

Л/0 ни одномножество

A(a,k,N)

не содержит точек

в

круге

|Я — Я О | < Е / 2 .

Отсюда

следует

справедливость

первого

утверждения

тео­

ремы. Для доказательства замкнутости ядра

Л(а) заметим,

что

Л8 (а, k)

замкнуты

по построению,

а

множества

А(а, k)

и

А(а)—как

пересечения

замкнутых

множеств.

П р и м е р .

Вычислим

ядро Л(а),

о е [0, 1], для семейства

операторов

{RN}> если оператор RN + l> v = RN+]U>

задан равенствами

v n

= (1 — г) ип

+ г и п + 1 ,

п = 0, \, . . . , N — \, )

)

<2>

а норма — равенством

| | « | [ = | | ( « 0 , и{,

uN)

|| = max | ип |.

Покажем, что Л (а)

состоит из точки Я =

0 и из замкнутого

круга радиу­

са аг- с центром в точке

1 — г:

| Х - ( 1 - г ) | < а г .

(3)

Яо = 1 — г + —у- e i a .

Неравенство

|) RNu —• Я0 н ||< aNN~k

\\и\\

при

любом

фиксированном

k и

всех достаточно больших

N имеет

решение

(a/bfeian,

« =

0, 1,

N -

1,

о

,

« =

yv.

Следовательно,

при всех

достаточно

больших JV множества A(a,k,M)

содер­

жат точку Яо, а значит, ее содержит

и Л (а). Итак, внутренние точки круга (3)

принадлежат ядру

Л (а),

а ввиду

замкнутости

ядра ему принадлежит

и гра­

ница круга (3).

ф 0 не принадлежит кругу (3), т. е.

Если точка

Я0

Я0

=

1 - г +

Ц~ e i a ,

а > 0 ,

6 =

1 - 26 ,

6>0,

b

можно установить, что при любом Я из круга

|Я — Я о | < т ш

| Яо |, ~j~ZT

при всех

достаточно

больших

N и всех

и е

UN

выполнено

неравенство

|| RNu — Ям \\>aN

\\и\[.

Отсюда

следует,

что точки

этого

круга

не

принадле­

жат A(a,k,N),

если

N

достаточно

велико, а следовательно, и не

принадле­

жат ни замыканию их объединений

As(a,k),

ни ядру А(а).

Заметим, что ядро Л(0) показателя

а — 0

в рассмотренном

примере со­

стоит из двух точек Я =

0 и Я = 1

— г ,

а ядро Л(1) совпадает со всем спект­

ром семейства операторов {RN},

который был вычислен в § 43.

На этом закончим рассмотрение примера и вернемся к общим построе­

ниям.

абсолютным

ядром.

О п р е д е л е н и е .

Ядро Л(0) назовем

Т е о р е м а

2. Абсолютное

ядро

семейства

операторов

{RN}

не

зависит

от выбора

последовательности

норм

ll*llj V -

факта,

что при а =

0 множество

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

из того

A(a,k,N)

совпадает

при каждом N

с множеством

собственных

значений

опе­

ратора

RN,

которое не зависит от нормы в пространстве

UN.

Т е о р е м а

3. При

условии

(1)

последовательность

норм

\\-\\N

всегда

можно

выбрать

так,

чтобы

спектр

семейства

операторов

{RN}

совпадал

со

своим

абсолютным

ядром.

чтобы их можно

было доопределить внутри области до некоторого решения

соответствующей

системы. В случае

аналитических функций — это классиче­

ское условие Сохоцкого — Племеля,

которое возникает при переходе в ин­

тегральной формуле Коши

—

2

AkUn+k — fn,

(1)

где п — (tii, Пг

п8), к — (ku

кг,

ks)—мультииндексы,

Ак — квад­

ратные матрицы, fn

— заданная

и

ип

— искомая вектор-функции, К — конеч­

ное множество (шаблон). Будем

предполагать, что система (1)

удовлетворяет

следующему алгебраическому условию: характеристическая матрица

386

ДОПОЛНЕНИЕ

lu

=

2

Mun+k

= fn,

п(= D0,

(6)

где D0

— произвольная сеточная

область

определения правой части fn.

Тогда

область определения решения ип

есть

множество

D, которое пробегает

точка

п +

k, если п и k пробегают

независимо

D0 п К соответственно. Сопоставим

каждому

Г Е Й подмножество

Кг

множества

x x x x x x x x x

К, состоящее из всех

тех

k е

К,

для

которых

X X X X X X X

г — 6 g § D 0 .

Границей

Г

назовем

совокупность

всех

тех

точек

г е

D,

для

которых

Кг

непусто.

Например, для простейшего разностного

аналога

уравнения

Пуассона

Lu == и„ , _ + и„ , 1 | т » . и . +

+

" „

„ _ I — 4и„ „

=

h2F„ „ ,

X X X X X X X

\ni\<N,

\n2\<N;

Nh=l,

x x x x x x x x x

множество D0 состоит из тех точек

(ti\h,

пф,), ко-

Рис.

52.

Множество К — из

пяти

векторов (1,

0),

(0, 1),

(—1, 0),

(0,

—1), (0,

0).

Множество

D —сово­

купность всех целочисленных точек квадрата

:SC JV, |/г2 | =£J N, кроме

четы­

рех

угловых

=

I «2 1 =

N.

Граница

Г

состоит

из

двух

слоев

точек,

отмеченных на рис. 52 крестиками.

4. Разностные аналоги интегральных формул Коши

и типа

Коши.

Л е м м а .

Пусть

Вп—произвольная

матрица-функция,

для которой

имеет

смысл

умножение

справа

на

квадратную

матрицу

порядка

т,

определенная

на

всей

целочисленной

сетке.

Справедливо

следующее

тождество:

2

в - п 2

Ak"n+k

=

в е й ,

к <= К

-

22 (

2

В-п+кАк\ия-

2

/

2

В-г+кАЛиг

(7)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Вектор-функцию

ип,

п е

D,

можно

записать в

виде

"»=• 2

dnun-

Левая и правая части тождества (7) линейно

зависят

от

п. Поэтому

для

доказательства достаточно проверить справедливость тождества

(7)

для век­

тор-функции

f

f

f

0,

если

п ф t,

vn — vn = Ъпип = 1

МЕТОД ВНУТРЕННИХ

ГРАНИЧНЫХ

УСЛОВИЙ

387

при каждом фиксированном t е= D:

2

в~п

2

AbVn+k

=

2

2

5-п ЛАИ„+& =

fee/C

k <^ К п е Do

-

2

f 2

2

/

2

B_f+KAk)vr,

n<^D\k(=K_

I

г e Г \kesKr

J

где

j

k

(

1, если

t — £ S Z)0 ,

6^,K =

4

_

I

0, если

t —

Da.

Т е о р е м а

2.

Пусть

{un},

n e= D,—

произвольное

решение

уравнения

(6),

a Gn

— произвольное

фундаментальное

решение.

Тогда

справедлива

формула

2 / 2

/ v i

W

H

*

\

« ' +

v i

(

ип,

если Я

Е

О ,

(8)

/

2

0»-m/m=

0,

если

_

е

й

г е Г ^ е К

г

raefl.

«

Д с г к а з а т е л ь с т в о .

Помножим обе

части

равенства

(6)

слева

на

матрицу G(_„ и просуммируем по

всем

п е D0 . Воспользовавшись

тожде­

ством

(7), а затем равенством (4'), получим формулу

(8).

С л е д с т в и е .

Каждое

решение

{ип}

уравнения

(6)

полностью

опреде­

ляется

своими

значениями

на Г

и восстанавливается

по

этим

значениям

по

формуле

(8).

Т е о р е м а

3.

Пусть

{vr}

— произвольная

вектор-функция

размерности

ш,

определенная

на

Г,

и

пусть

Gn — произвольное

фундаментальное

решение.

Тогда

формула

"«=

2

/

2 G n - T + k A k

\ v r +

2

Gn-mfm,

n<=D,

(9)

задает

некоторое

решение

уравнения

(6).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Применим

оператор

L

к

вектор-функции {«„},

определенной формулой (9):

1

и

п

^

2

[

2

№n-r+k)Ak]vf+

2

(LGi»-m)/m,

» е D 0 .

(10)

Вычислим правую часть. В силу

(4) имеем

Е,

если

n =

r — k,

LGn-r+k

=

\ п

если

_^

и

k.

у 0,

пф

г

—

Но в силу определения множества

Кг

точка

я =

г — k не принадлежит Do,

так что первое

слагаемое

в правой

части формулы (10) есть нулевой вектор.

Второе слагаемое есть, очевидно, fn,

так что L и„ =

fn,

и теорема

доказана.

Равенство (8) аналогично интегральной формуле Коши для аналитиче­

ских функций ф(г) в ограниченной области d с границей у.

2я(

J

ф Ш d ? = = f ф ( 2 ) - е с л и

z"Z_d'

(П )

£ — z

I

0,

если

ze=d(Jv.

и г - Р и г = 0.

(14)

Подчеркнем, что оператор граничного проектирования

зависит

от

выбора

фундаментального решения

Gn.

следствия из теоремы

2 каждое

реше­

7. Общая краевая

задача. В силу

ние уравнения (6) восстанавливается по

его

значениям

на

границе

Г.

Это

дает основание определить общую линейную краевую

задачу

для

уравнения

(6) как краевую задачу вида

Lu

=

2i

AkUn+k

=

fn,

n<= D0,

•)

k^K

\

(15)

lur

= ф,

ф e

Ф,

J

где / — какой-нибудь

линейный

оператор,

отображающий

пространство

Ur

третью

краевые задачи для уравнения Пуассона,

например,

легко записать

в виде

(15).

Название «общая краевая задача» несколько условно: могут встретиться

разностные краевые задачи, имеющие иной, чем

(15), вид.

Например, та­

ковы естественные разностные схемы для дифференциальных

краевых задач,

циальных

краевых

условий.

про­

стоты fn

0. Между разностной краевой задачей

Lu — 0,

/ а г

= ф

(16)

и между

задачей

иГ

— Р и г =

0,

/ и г = ф

(17)

существует

тесная

связь. Именно, граничные значения

иг

=

{иг},

г е Г ,

ка­

ждого решения {«„}, л е й ,

задачи

(16)

удовлетворяют

в

силу

теоремы

2

уравнениям

(17).

Обратно,

каждое решение иг={иг},

г е Г ,

задачи (17)

в

определить всюду в D до решения задачи

(16). Основная

идея метода

внут­

ренних граничных условий состоит в переходе

от

исходной

разностной

крае­

вой

задачи

(16)

к

системе уравнений

(17)

на

границе Г. Продвижения, ко­

торые при этом удается получить, основаны на

двух

обстоятельствах. Первое

из

них — малое

по

сравнению

с

задачей

(16)

число неизвестных,

участвую­

щих

в

задаче (17).

Второе — специальный

вид

системы

(17),

в

структуру

которой

органически

включен

оператор

граничного

проектирования.

9. Устойчивость внутренних граничных условий. Можно опасаться, что

внутренние

граничные

условия

и г

— Риг

=

0

«почти вырождены»,

и поэтому

задача

(17)

плохо

обусловлена

независимо

от

вида оператора I, так что пе­

реход

от задачи

(16)

к

задаче

(17)

связан

с

потерей вычислительной

устой­

чивости.

Будем

считать,

что

пространство

Ф

вложено

в

пространство

Uv,

введем

в

пространстве

UY

(а

значит,

и

в

пространстве

Ф с £ / Г )

норму

||-|| и