книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

200

ГЛ.

7. ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

пространство

Uh- в пространство Fh,

задается

явными

форму­

лами. Но часто оказываются полезными разностные схемы, в

которых оператор

L n

описывается тем или иным более сложным

образом. В дальнейшем

мы еще встретимся

с задачами,

где та­

У

кие

схемы

возникают

естественным

образом.

(О, I)

Изложенные

приемы

построения

разностных схем

остаются примени­

мыми и в случае задач с перемен­

ными

коэффициентами,

в

случае

нелинейных

задач,

в

случае

сеток

с переменным шагом. Например, в

случае

неравномерной

сетки,

изоб­

О

(/, о)

раженной на рис. 14, для замены

производных, входящих в дифферен­

Рис.

14.

циальное

уравнение

ихх

-j- yyv

—

= ц(х, у), разностными отношения­

ми с целью построения разностной

схемы

можно воспользовать­

ся

формулами

д2и

и (хт

+ ъ Уп) — и (хт,

уп)

и(хт

yn)

— и

(xm

- i .

Уп)

Ьхт

+

дх2

(хп- Уп)

2;

-г~ -g-(Axm

A x m _ j )

u x x x

+

0

[(Axm

+

Ал: т

и (xm,

yn

+ i) — и (xm,

yn)

u(xm,

yn)

— и

(xm,

У n-i)

д2и

hljn

+

ду2

•Уп)

hyn

+ Аг/я-i

2

+ j(Ayn-

Ayn-i ) +

0

((Ayn

отбросив в них остаточные

члены.

Указанные формулы проверяются с помощью разложений

Тейлора (2). Методом неопределенных коэффициентов

можно

убедиться

в

единственности этих

формул: с точностью до не­

существенного произвола есть только один набор коэффициен­

тов а_ь а0, аи

при котором для любой достаточно гладкой

функ­

ции и(х, t) имеет место формула

£al^'Jsl-=

fl_,

и (Хп_ь

У я ) +

а0и

(хт> уп) +

+ а1и(хт+и

у п

)

+ 0 [ m a x ( A x m _ „

Ахт)]

с ^остаточным

членом

первого

порядка

малости

относительно

m a x [ A x m _ b

Ахт].

§ 22. ПОСТРОЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩИХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

20]

Формулы

вида

д2и

(хт,

1/п)

,

. ,

.

. ,

а х г

= а - 1 ц ( л г т _ , , уп) + а 0 и ( х т , уп) +

+ а1и(хт+и

уп) + О ([max(Axm _,, Дхт )]2 )

с

остаточным

членом

второго

порядка

малости

при A x m _ i Ф

ф

Ахт

не

существует.

Для более точной замены производной разностным отноше­

нием

здесь

необходимо

привлечь более

трех точек

сетки.

3. Схемы с пересчетом, или схемы предиктор-корректор. При

жит

в основе конструкции схем Рунге — Кутта для обыкновен­

ных

дифференциальных уравнений, — идея пересчета. Пересчет

Рунге — Кутта численного

решения задачи Коши для обыкно­

венного дифференциального

уравнения

•% = f(t,y),

у(0) = $, 0 < * < 7 .

(18)

h % y p - f ( t P ,

Ур),

(19)

а затем осуществляем

корректирующий "пересчет

по схеме

Ур+i

— УР

, ,

„

.

-х

= М*Р+'/..

Ур+ЧгЬ

(20)

Вспомогательная величина

ур+ч2, найденная по

схеме первого

фициент

интегральной кривой в

середине отрезка [tp, tp+1] и по­

лучить

yp+i

по формуле

(20)

с большей точностью,

чем

это

было бы по схеме Эйлера

(19).

Мы

уже отмечали в § 19, что все соображения

остаются

в силе,

если у , у р , ур+уг

будут

конечномерными

векторами,

а /

вектор-функцией. Но можно пойти и дальше, а

именно

считать

у, ур, уР+ч2

элементами функционального пространства,

а /

опе­

ратором

в этом пространстве.

201

ГЛ. 7.

ПРИЕМЫ

ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

пользуясь сеткой х,п

=

mh, tn

= пх, построить аппроксимирующую ее явную

разностную

схему.

Выписать

формулы для вычисления и"1' по этой схеме.

6. Доказать, что при ограниченной сеточной

функции и р

= {н^} сущест­

вует и единственна

ограниченная

сеточная функция " р + ' =

{"т+ '}' опреде­

ляемая

разностной схемой

ит

ит

"m+l

ит-\

п

п

_, ,

т

2h

- = 0,

т = 0, ± 1, . . .

7. Доказать, что схема с пересчетом

для задачи (25), в которой значения

решения {йР п + 1 / '2 } на

промежуточном слое определяются по неявной схеме

порядка

аппроксимации О (т +

Л2)

дР+'/г _ „Р

дР+'/г _

пдР+'/г

l

дР + '/г

"т

"т

и т + 1

Л

т

^

м т - 1

=

0,

т = 0,

± 1 ,

т/2

/г2

а решение

определяется по схеме

,,Р+1 _

„Р

Г.Р+Уг

_

одР+'/г

I „Р+V:

"т

ит

"m + l

/ и т 2

Т

« m

_

— °'

= Ф (*/п)>

« = 0, ± 1,

обладает аппроксимацией порядка

О (т2

+ /г2) на гладком решении и.

_

Г щ — их =

ср(х, t),

L U

~ \

и(х,

0) =Ц>(*)

(

}

при

построении

разностной схемы

воспользуемся разностным

уравнением

ит

ит

ит+\

ит-\

/

,

\

/г>\

21

2h

= 4>(mh,n%),

(2)

п =

1, 2,

. . . ; т =

0, ±

1,

. . . ;

х =

rh.

Чтобы вычислить решение уравнения (2), надо задать не

только и°т,

u°m = $(mh),

т =

0,

± 1 ,

(3)

но

также

и1т, т = 0,

± 1 , . . .

Тогда

из

разностного

уравне­

ния

(2) при

п=\,

2, . . .

можно последовательно вычислить

и1,

§ 23.

ПРИМЕРЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ

ГРАНИЧНЫХ

УСЛОВИЙ

205

т =

0,

± 1 , . . . ,

затем

и*т, т = 0,

± 1 , . . . ,

и

так далее.) Значе­

ния и\п

должны быть заданы

близкими

к

— *

и (mh,

т) =

и (mh,

0) +

т щ (mh, 0) +

О (т2 ).

Поскольку

ut = ux-\-Au,

Aus=ut

— ux

=

cp(x,t),

и (х, 0) =

-ф (х),

то

и (mh,

т) =

и (mh) + т [их

+ Л«]л = т п 1

+

О (х2)

=

=

гр (m/г) +

т

(m/г) + ф (т/г,

0)] +

О (т2 ).

Таким

образом,

отбрасывая

член

О (г2 ), можно

положить

ихт

= ф (m/г) +

т [ф' (m/г) +

Ф (т/г,

0)].

(4)

Ясно,

что разностная

схема

ит

ит

ит+\

ит-\

,

,

ч

Т х

2h

= <?(mh,

пх),

=

гр (mh),

&

и1 = гр (m/г) + т [ф' (m/г) +

ф (т/г, 0)]

аппроксимирует

дифференциальную

краевую

задачу (1)

с по­

рядком /г2. Нетривиальность этой схемы состоит

в том, что раз­

ностное уравнение (2) имеет второй порядок

по t, в то время

как

дифференциальное

(1) — первый.

Поэтому

потребовалось

граничных условий не очевидно.

П р и м е р

2.

Рассмотрим

дифференциальную краевую за­

дачу

ut

— ux

=

(f(x,t),

0 <

л: <

1,

0<t<T,

Lu=\

\

и(0,х)

=

%(х),

0<х<1,

(6)

и

(у,

X)

=

0 <t

<

Т.

'

(г\

) = г М 0 .

u(t,

1) =

на

каждой из прямых

х +

г1 =

const. Действительно, вдоль та­

кой

прямой

du

.

dx

г

,\

-^- = ut~\-ux-^=ut

— ux = (f

(х, t),

20R

ГЛ.

7. ПРИЕМЫ

ПОСТРОЕНИЯ

РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

так что u(x,t)

является

интегралом

вдоль прямой

x-\-t

= const

от (f(x, (). Значение постоянной

интегрирования

определяется

по величине и в заданной

точке.

Па рис. 15 изображен

прямоугольник

0 ^ л ; ^ 1 ,

О ^ / ^ ' Г ,

в котором мы собираемся искать решение, и нанесено

семейство

параллельных

прямых х + t = const. Каждая

из

этих

прямых

пересекается в одной точке либо с

отрезком

0 ^

х ^

1 оси Ох, либо с

отрезком

0 ^

/ г=^ 7" прямой

х =

\,

где

задано

u(x,i).

Таким

образом,

задача

(6)

имеет

единственное

ре­

шение.

-^^Приступим

к

конструированию

разностной

схемы

для

вычисления

решения

задачи

(6).

Зададим

h

так,

чтобы

Mh =

1,

и

положим

т =

rh,

где

М — целое

число,

г =

=

const.

В

качестве

сетки

Dh ис­

Рис.

15.

пользуем

точки

(ягя, ят),

m =

Точкам Dh,

=

0,1,

М; я =

0,1,

[77т].

не лежащим на верхней и боковых

границах

пря­

моугольника D, поставим

в соответствие

уравнение

,.я+1

г+1

"т-1

%

и

• 2 < +

<

2h

т + 1

h2

т-1

=

Ф",

(7)

где

x—mh,

(8)

t—nx

Получение этого уравнения было подробно описано

в § 22.

Значения и°т и ипж зададим

равенствами

и"

•ф0(ягя), яг =

0,

1

М— 1,

(9)

им =

* i (r t T )>

'0,

1

JV,

ЛГ = [Г/т],

дифференциальной задачи.

Но равенств (9) недостаточно, что­

бы определить

решение и п т

всюду на Dh. Не удается

опреде­

лить значения

на левой

границе прямоугольника.

Поэтому

а 1 — «п

:ф(0, ят), л = 0, 1

N - l . (10)

то || 6/(й> \\F = О (h) и аппроксимация окажется

имеющей

лишь

первый порядок относительно h. Из выражения

для б/( / ( )

видно,

т

h

что первый порядок определяется невязкой -^utt

+ -juxx

=

О (h),

возникающей при подстановке [и]н в дополнительное

искусствен­

но сконструированное нами граничное условие на левой

боко­

вой границе.

Остаточный член в используемой сейчас норме || • \\р

оце­

II g{h)

hh

= h m a x I c

I +

n m a

x

+

+

U J | f l » F

+max|i"| + max

bn+l _ bn

+ max Am

m=0

Для

этой схемы, как легко видеть,

|6PMk

< A (rh2 + А2),

г = т/А.

При

этом постоянная

А оценивается через

производные

и(х,

t) до третьего порядка

включительно.

Учет

гладкости

в

этой

норме осуществляется

членами

с п + 1 -

сп

hn+\ _

ъп

X

X

с обыкновенными дифференциальными уравнениями и

знаем,

что разумны только такие нормы, в которых разностная

схема

ЗАДАЧИ

209

Устойчивость рассматриваемой схемы с использованной нор­

мой, в которой имеется аппроксимация второго

порядка, будет

доказана в § 40.

Пример 2 очень поучителен. Он показывает,

что для про­

ЗАДАЧИ

"

у ! »

Д л я

задачи

Коши

д2и

д2и

=

ф (х, t),

— о о < х < о о ,

0 < / < 7 \

dt2

дх2

и (х, 0) =

*|>i(*),

—

оо < х < оо,

ди

(х, 0)

=

w ,

—

оо < X < оо,

dt

исследовать

аппроксимацию, которой

обладает на достаточно

гладком ре­

шении

и (х, t) разностная

схема

h2

| (от/г, пх),

Lhu (h) .

если (г|з2 )т =

(mh). За норму || f"1'|lfft принять максимум модулей всех

Показать, что аппроксимация

имеет первый

порядок

относительно /г; т = rh,

г = const.

Как

следует задать значения (^ч)т, используя заданные функции ф(х, t),

г|н(х) и

tyz(x), чтобы порядок

аппроксимации

оказался

вторым?