книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

100

ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ и у с т о й ч и в о с т ь

max

| ы' (х) | =

max

0< J C <1

0 < х < 1

<| и (0) II А |(1 + <ГЛ ) + ^ + А + (! + ^ - Л ) ,

max

| и ' " (х) | =

и (0) +

АЧ

0 < * < 1

L

-

но отдельно о

подсистемах (15),

(16), (17). Эти подсистемы

(две последние состоят каждая из одного уравнения)

можно за­

писать соответственно следующими символическими

равенст­

вами:

/»и<« ==/<«,

(18)

llnuw = ff\

(19)

рун) =

дм

(20)

Для этого надо

положить

/ои(*) =

+Аип,

п=\,

2, . . . . N-

1,

одномерны и

состоят

из

чисел

с

нормой

||с|| = | а | .

Уравне­

ние (18):

/ ( 0 ) И ( « . = Д «

соответствует

задаче

(14)

на решении

и со

вторым

порядком,

уравнение

l^uth)

=

f\h)

соответствует

точно, а уравнение

lfu[h) =

= /2 f t ) —с

первым

порядком. Чтобы

повысить

порядок

аппрок­

симации,

которым

обладает разностная

схема (13), с

первого

до второго относительно h, достаточно «подправить»

только

граничное

условие

lfuih)

=

b. Заметим,

что

If

[u]h

= и (А) =

и (0) + h и' (0) + ^

и" (£).

Учтем, что и(0)=Ь

и что в силу (14)

Положив

и' (0) =

-

А и (0) + 1 =

-

АЬ +

1.

lfu^=ux

= b-hAb

+ h,

т. е.

fM = b-hAb

+

h,

/(2>„<M = f№)

(ff) = b-hAb

+ h)

(23)

задаче (14) на решении и. Таким

образом, разностная

схема

(15), (16), (23) аппроксимирует задачу (14) со вторым

поряд­

ком

относительно h.

Разбиение разностной схемы (2) на

подсистемы (21)

услов­

но и делается только для удобства

речи. Так, например, систему

(13)

можно было бы разбить на две подсистемы, отнеся

к пер­

вой

по-прежнему разностное

уравнение

(15), а ко второй — оба

н

:

* • - ( : ) •

§ 11. АППРОКСИМАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМОЙ

103

Действительно, покажем,

что производную dhu/dxk

произвольного

поряд­

ка к можно заменить разностным отношением так,

чтобы

погрешность от

такой замены для достаточно

гладкой функции и(х)

была

любого

наперед

заданного

порядка

р относительно

шага h разностной сетки. Воспользуемся

для этого

методом

неопределенных

коэффициентов.

Напишем равенство вида

и

постараемся

подобрать

не зависящие

от h неопределенные

коэффициенты

as,

s = —si, —si +

1,

s2 ,

так, чтобы

оно оказалось

справедливым. Пре­

делы

суммирования

Si ^

0

и s2

^ 0

можно

взять

произвольными,

но так,

чтобы

порядок

Si +

S 2

разностного

отношения

h~k

^

as и (х-\-sh)

удовле­

творял неравенству

sl + s2

5 s

k +

p — 1. По формуле

Тейлора

и (х +

sh) =

и (х) +

sh

du{x)

.

(sh)2

d2u{x)

+

dx

2!

dx2

(sh)k+p

d4+pu(l)

(sh)k+p-1

d^+^ujx)

(k + p-l)\

dxk+p~l

(k +

p)l

dxk+p

Подставим

это

выражение

вместо u(x-\-sh)

в

(24) и

приведем

подобные

члены. Получим

dku(x)

^ h

- k

sas+

...

dxk

+ • d x k + p - i

(A +

p --1 ) 11!

S

+

+

hp

(k + p)\

Приравнивая

коэффициенты

при

одинаковых степенях hs,

s = —k,

—k -+- 1,

p—1;

в левой и

правой

частях этого равенства,

получим

2 а« =

0,

=

0,

==0,

(25)

=

k\.

У + , а 5

=

0,

2

FLS

=

0. j

Если Si + s2 = & + p—1, то

выписанные

k + p равенств образуют линей­

1

1

. . .

!•

- s ,

+ 1

,92

( - * , ) * + " - «

( _ S l +

!)*+/>-'

зом,

существует единственный

набор коэффициентов as,

удовлетворяющий

системе (25). Если Si +

s2 ^ k +

р, то, очевидно, таких систем коэффициен­

тов as

много.

Так, например, существует единственное разностное отношение первого

порядка вида

А - 1 [а0 и (х) + ai и (х + А)],

приближающее du/dx с

первым

относительно А порядком.

Оно получается

при

носительно А, но только

одно со вторым

порядком. Решая систему (25) для

этого случая увидим, что при ai

4i, а0

= 0, a-i

=

du

и (х + А) — и (х — А)

+ О (Л2).

dx

~~

2Л

§ 11. АППРОКСИМАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМОЙ

105

Если мы хотим приблизить d2u/dx2

с порядком Л2, то k = 2, р =

2 и

надо, чтобы Si + S2 5= 3. Поэтому среди разностных отношений вида

h~2 (a_i и (х — h) + а0 и (х) +

а, и (х + А) + а2 и (х + 2h))

(26)

a_i = ai = l, a 0 = — 2, a 2 = 0,

т. е. уже неоднократно использованное нами равенство

d2u (х)

u(x + h) — 2u(x)

+ u{x — h)

п

,

- 3 ? -

=

+

0(А*).

L и^Л Un+VUn

"«) = 0-

*=

0 ' Ь N ~ l >

I

Щ = а,

называемая cxe.wou Эйлера,

аппроксимирует

задачу

£-G(x,

«) =

0,

0 < * < 1 ,

(27)

и(0) = а

с первым порядком относительно h. При известном ип

значение

Un+i

вычисляется

по

формуле

un+i

=

ип + h G(xn,

«„).

Схема

I u ^ J \

U n

+ l

h U n - ^ G ^

Un)-r-G(xn+u

й)] =

0,

где

й — ип-{-h

G(xn,un),

называется схемой

Эйлера

с

пересче­

том. Она же является

одной

из схем

Рунге — Кутта

второго

порядка аппроксимации, о которых

будет подробно

рассказано

в § 19. Если ип

уже вычислено, то по схеме

Эйлера

вычисляем

значение

u = un

+ hG{xn,

ип),

§ 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

107

\\z^-u^\\Uh^C\\^\\Ffi,

(5)

где С — некоторая постоянная, не зависящая от h.

В частности, неравенство (5) означает,

что малое

возмуще­

ние 8( Л ) правой части разностной схемы (2)

вызывает

равномер­

но относительно h малое возмущение г( / о—«с») решения.

Пусть

оператор Lh, отображающий Un в Fn, линейный. Тог­

да приведенное выше определение устойчивости

равносильно

следующему:

О п р е д е л е н и е 2. Будем

называть разностную схему

(2) с

линейным

оператором

L n устойчивой,

если

при любом /со е

Fn

уравнение

LhU^ = /со

имеет

единственное

решение

uCO е

Un,

причем

1 1 « ( Л ) 1 Ь Л < С | | / ( Л ) | | ^ ,

(6)

где С— некоторая постоянная, не зависящая от h.

Докажем

равносильность

обоих

определений

устойчивости

в случае линейного оператора L h .

схемы

Сначала установим, что из устойчивости разностной

(2) в смысле

определения 2 следует

устойчивость

в смысле оп­

ределения

1.

Пусть линейная

задача

(2) при всех

рассматривае­

мых h < ha и произвольном /СО е Fn

имеет

единственное

реше­

равенство

(2), получим

Lk(z^

-ы<Л >)=е<Л >,

откуда в

силу (6)

следует

оценка

(5) при

произвольном

еСо (= Fn,

а

значит,

и устойчивость в

смысле определения 1.

Покажем

теперь,

что устойчивость

в смысле

определения I

определения

1 при некоторых / г 0

> 0 и б > 0 и

при произволь­

ных h <

h0

и е( / г ) е

Fn, || е ( Л ) ||j?

<

б существуют

и единственны

решения

уравнений

1А2<'г>=/<Л> + б<й>,

£ftM<*> =

/<Л>.

108

ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

причем

в силу (5)

Очевидно,

что, изменив

обозначения решения и

правой

части

уравнения

LhW^h\ = е( Ч

последний

результат

можно

сформули­

ровать

так: при произвольных

h <

ho и fW е

Fh,

II

\\F

< б

задача

(2)

имеет единственное

решение u(h). Это решение

удов­

имеет единственное

решение

и выполнена

оценка

(6)

не

только для всех f<h),

удовлетворяющих

оценке

|| / ( А ) ||F

< б,

но

и вообще для всех

е Fh, т. е. имеет

место

устойчивость

в

смысле определения 2.

В

самом деле,

пусть

|| /( Л ) || р

^ б. Докажем однозначную

разрешимость и оценку (6)

в этом

случае. Положим

21|/<й> П.

2||/<А >||* .

ы<л> = — / < Л )

= — з — Ч ( >•

Для

« < Л ) получим

уравнение

Поэтому уравнение

Lhu{h)

= f{fl)

однозначно разрешимо,

причем

\\u^\\uh<C\\f^\\Fh.

В силу формул, устанавливающих связь между

цС1' и u<h), а так­

же между р> и fih\ отсюда следует однозначная

разрешимость

задачи

(2)

и справедливость

оценки

(6)

при

произвольном

рассматриваемом

е Fh-

2. Зависимость

между аппроксимацией,

устойчивостью и

сходимостью. Докажем

теперь,

что из аппроксимации

и устой­

чивости следует сходимость.

Т е о р е м а .

Пусть разностная

схема

LhuW =

f(ft)

аппрокси­

мирует

задачу

Lu =

f на решении

и с порядком

hk

и устойчива.

Тогда

решение

«<Л> разностной

задачи

LhU^h> =

сходится к

[u]h, причем

имеет место

оценка

Н [ " ] * - И № ) 1 1 У а < ( С С , ) Л *

( 7 )

§ 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

109

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим e<ft> =

6/<ft>,

= г<4

Тогда

оценка (5) примет вид

\ \ Ы п - и Ы \ \

<

С||6/0% .

h

h

Учитывая

(3), сразу

получаем доказываемое

неравенство (7).

В

качестве иллюстрирующего

примера докажем

устойчи­

вость

разностной схемы Эйлера

U n + \

"п -G(xn,

ип) =

<?п,

/ г = 0 , 1, . . . .

(8)

дО_

< М.

(10)

ди

Читателю

рекомендуется проверить, что

рааностная схема

(8) аппроксимирует задачу (3) на решении

и(х)

с первым от­

носительно h

порядком.

(Разностное уравнение

соответствует

задаче с первым порядком, а граничное условие

ип = Ф — точ­

но.) Определим нормы

|| «е.) || = m a x | U „ i ,

| | р ||

= ш а х { | г И

т а х | ф ( х т ) | }

h

п

А

т

пишем ее в форме

(2), положив

|

U n

+ l ~ U n -G(xn, ип), я = 0, 1

N-1,

I

"о,