Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 416 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ГЛ. 2. КРАЕВАЯ

ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

не

имеет

нетривиальных

ограниченных

решений. Общий

вид решения

задачи

есть

0- un-i

— 2ип

un+i

= 0 ,

п>0,

ип = с,ц" + с2р-2,

« > 0 ,

ц ° = 1 .

Из

условия ограниченности

находим

с2

0. Поэтому

( си

если

п — 0,

"я =

== | 0 j

с л и

га>0_

Учитывая

условие

auo — «i = 0, видим,

что при а, ф 0 нетривиальных

реше

ний нет, а при а =

0 они есть.

Выясним, при каких р задача

0-Un-t

— 2«„ +

« п + 1 =0 ,

п<ЛГ,

не имеет ограниченных при и -> — оо нетривиальных решений. Общее решение

задачи 0• ип_{ — 2ип + и п

+ \ = 0. n<N,

есть

и„ = CjVj"" = c i С / г ) - г а =

Cj2r e .

Оно

ограничено

при « - » — о о .

Из граничного условия

—

0 ви

дим, что

c,2 v

с ^ - 1 (2 -

Р) == 0

и нетривиальное

решение,

С\ ф 0, существует

только при Р = 2.

Итак, рассматриваемая

краевая

задача

хорошо обусловлена

при любых

<хф

§ и р ф 2. Если а =

0 или Р =

2, задача

не является хорошо обуслов

ленной.

ЗАДАЧИ

Разностную краевую

задачу

аи„_, +

+ cun+i

f„,

0<n<N,

и 0 - а и , = ф ,

H v _ , -

P « w = i|>

будем называть

хорошо

обусловленной,

если

она имеет

одно и только одно

решение при каждом N и если

числа

«о, «ь . . . , « N ,

образующие

решение

{ип},

удовлетворяют неравенству

| ип

| <

М max (| ф |, | ф |, max | fm

\ ) .

V 1. Если оба корня q\ и q% характеристического уравнения						а + bq -f- cq2 =
— 0 по модулю меньше	(больше)	единицы, то		разностная		краевая задача
(*) не может быть хорошо обусловлена.			Для	простоты	считать		qi Ф q2.
Доказать.
2. Если хотя бы один	из корней <5Ч, q2 характеристического						уравнения
по модулю равен единице, то разностная			краевая	задача	(*)	не может быть
хорошо обусловлена. Доказать.
УЗ. Если \|(?i\|< 1. Ы > 1, но
1— а < 7 \| = 0		или	I — Р<?2 == 0,

то задача (*) не может быть хорошо обусловлена. Доказать.

4. Для хорошей обусловленности разностной краевой задачи (*) необ ходимо и достаточно, чтобы один корень характеристического уравнения по

модулю	был меньше единицы, \qt\ < 1, а второй больше единицы, \|<72\| >1,
и чтобы	1 — aq\ ф 0, 1 — р^2 Ф 0. Доказать.

§ 5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ -			ПРОГОНКА		61
5. Задача с постоянными (комплексными)			коэффициентами
аип-х + bun + сип+!	=	fn,	п —	0,±1,...,
с периодической правой частью
имеет при всех достаточно больших Ы периодическое решение (иЛ, м					,,=« „
удовлетворяющее оценке				I ТЫ Tl-j- jy Tit
удовлетворяющее оценке
\| a „ \| < A f		max\|f m \|,
		т
где М от N не зависит, в том и только том случае, если среди корней харак
теристического уравнения а + bq +	cq2	= 0 нет равных единице по			модулю.
Доказать.

§ 5. Алгоритм решения краевой задачи — прогонка

1. Описание прогонки. Опишем теперь простой и удобный метод решения разностной краевой задачи рассмотренного нами в § 4 вида:


	anun-i	+ bniin	+ спип+х			= fn,		0<n<N,
			"о =		Ф,	uN	= ty.
Он	представляет собою			один		из	вариантов метода исключения
неизвестных и носит название метода								прогонки.
	Запишем уравнение		«о =		ф системы			(1) в виде
где	Li/, = 0 И КЧ2 — ф. Из				уравнения
		ахи0		+ Ьхщ + CxUz — fu
отвечающего в		системе		(1) номеру п = 1, исключим Ui с по
мощью равенства и0 = Ь/2их					- j - /0/2- Результат запишем				в разре
шенном относительно ut виде
введя обозначения			_^			_
		k	~~ь~Г'			^		=ьГ'
Соотношением		щ = L»/2 «2		+	^*/> можно			воспользоваться,	чтобы
исключить «i из уравнения

а2Щ + М г + с 2 « з = /г .

отвечающего номеру га = 2. Результат исключения опять запи« идем в явном относительно щ виде

ы2 — Le/,«3 + Кч,.

52 ГЛ. 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

Описанный процесс исключения			можно продолжить		для
п = 3, 4 , . . .
Подставляя		+ Кп-Чг
Un-l = LN-42Un		+ Кп-Чг
в уравнение
Q-nUn—l ~Т~ bnUn	-\-	Cnlln+ \		==fni
получим
			fn~an^n-%
U " ~ b n + a n L n _ V 2	U ^ +		bn+anLn_
Отсюда видно, что коэффициенты			получаемых в процессе ис
ключения соотношений
вычисляются по рекуррентным формулам
L П + ' / 2 ~ bn+anLn_,h			•
К п + ' Ь — ~h 4- я /					(2)
К п + ' Ь — ~h 4- я /			'
Последнее из получаемых таким образом				соотношений	имеет
вид

«дг_, = Lff-y,uN -f- KN->/2.

Так как	=	г\|з, то можно вычислить U J V _ I :
После этого		ы^-г, «JV-З и		т. д. определятся соответственно из
равенств
		Uft-2 =		LN-S/2UN-1	-f-
rl т. Д ; , пока не будет			определено ц( .		описанный сейчас вычисли
Повторим		кратко,	в чем состоит
тельный	процесс.				коэффициентов LN+4„ Кп+ч,
Сначала проводится вычисление

в порядке возрастания номеров (прямая прогонка) по рекур

рентным	формулам		(2), причем		Ly, = 0 и /<"•/» = ф заданы.
Затем		вычисление		неизвестных ип производится			также		ре-
куррентно		в порядке		убывания	номеров	(обратная	прогонка)
по формулам
U n	=	^ '	-Ь /Ся+v,, n = N — I,			N — 2, . . . ,	1	(3)
и«	=	£ я + ' / . « 1 » + 1					1.	J	w

	§ 5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ — ПРОГОНКА		53
Отметим, что для вычисления методом		прогонки	решения
«о, Mi,	uN системы (1), состоящей из	N - f I уравнений,
нужно	проделать арифметические операции	в количестве толь

ко в конечное число раз большем, чем число неизвестных. На решение произвольной линейной системы N уравнений с N не

известными методом исключения приходится обычно	затрачи
вать арифметические действия в количестве порядка N3.	Такого

сокращения числа арифметических действий при решении сис темы (1) методом прогонки удалось достигнуть, удачно исполь

зовав специфику этой

системы.

В § 7 будет показано,

что

при

решении описанным здесь

методом

прогонки

краевой

задачи

(1),

удовлетворяющей од

ному

из

указанных

§ 4

условий

хорошей

обусловленности

или

I M > U J

+ | c J +

6 > 0 ,

(4)

I M

+ I M + k l l > 6

> ° -

dn=max(\an\,

}bn\,

]cn\)>B>0,

или

' ^ +

f"!

> е > о ,

dn>B>o,

\Ьп\

\ап

\ + \ с п

k-l

D >

0, со >

выражения

- j - a„Ln _i/2 ,

на которые приходится делить, не

обращаются

в нуль, а погрешности, допускаемые в процессе вы

числений, не накапливаются и не приводят к возрастающим с ростом N ошибкам в вычисляемых значениях решения.

Эти дза	замечательных свойства	прогонки — малое	число
арифметических действий для ее реализации и слабая			чувст
вительность	к' вычислительным погрешностям — делают		про
гонку очень удобным вычислительным		алгоритмом.	.

2. Пример вычислительно неустойчивого алгоритма. Для ре шения хорошо обусловленной разностной краевой задачи (1) возможны разные алгоритмы. Мы описали алгоритм прогонки, обладающий достоинствами малого числа необходимых ариф метических действий и вычислительной устойчивости. Укажем; другой, еще более простой алгоритм, однако вычислительно не

устойчивый и		практически		непригодный	при	больших	значе
ниях N. •
Задав	Uil)	= (f, V[l) =	0,	найдем решение		= {и^},	п =
= 0, 1	N,	разностного уравнения (1). Понятно, что, вообще
говоря,	и^Ф^.	Задав	UQ' = ср, Uf} =		1, вычислим решение

54	ГЛ. 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ			УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА
ц(2)	= {и{п}.	Это решение	также	не удовлетворяет	условию	на
правой границе. Положим			теперь
	ип	= aUW + (1 -	о)	n = Q, I ,	N.	(5)

Очевидно, что при любом а выполнено условие щ — ц> и удов летворяется уравнение (1). Выберем о так, чтобы выполнялось условие

uN = oUW + (l-o)

U%=q,

т. е. положим

а=

ипо формуле (5) получим искомое решение задачи (1). Если бы вычисления велись на идеальной, лишь умозритель

но возможной, машине точно, то этот алгоритм был бы хорош. Покажем теперь, что чувствительность его к погрешностям ок ругления для хорошо обусловленной задачи (1) быстро воз растает при N-+oo. Сделаем это на примере, когда а п = \ , Ьп = —26/5, сп =s 1, fn = 0.

Условие (4) хорошей обусловленности выполнено. В этом случае точное решение разностной краевой задачи выражается формулой

g W - n gfj— N	grt g— П
U f l = = 5 " - 5 - N	Ф + 5^-5-^v	(6>

Для Un\ U{n в силу (5) § 3 получим

£Л, ) = - | Г 5 г е + | г 5 2 - ' \

^в 1 ^ 5 - + [ б - ^ ( б - ф ) ;

Заметим, что значения m a x l t / ^ l и max] £/„4 растут, как 5N.

пп

Поэтому при больших N при вычислении Unl) и" U(n про

изойдет выход чисел за допустимые границы. Но						допустим, что
этого	не произошло		и что	абсолютно	точно найдены		[Unx)}>
{U^n}	и о.	Допустим,	что	единственная	ошибка	округления е
допущена		при вычислении		1 — а. Тогда	по формуле (5)		полу
чим вместо		\ип}

{ип + Ан„}.

где Ди„ = е£/„.

ЗАДАЧИ

Погрешность {Д«„} при п ~ N будет иметь вид &ип ~ 5^ е

и при фиксированной относительной погрешности е, допущен ной при вычислении 1 — а, будет быстро возрастать, «забивая» точное решение {ип}, которое в силу формулы (6) остается ог раниченным.

Описанный алгоритм называют методом стрельбы. В других ситуациях (см. § 20) он может оказаться устойчивым и вполне эффективным.

ЗАДАЧИ

1. Как надо

видоизменить

алгоритм

прогонки,

чтобы

воспользоваться им

для

вычисления

решения (и-}, 0

М, разностного уравнения

anUn-i

+ bnun

CnUn+i

= fn,

0<n<N,

при краевых условиях вида

ы0 — <хы, = ф,

—

puN_l=ty,

если числа а и р отличны от нуля?

\ / 2. При вычислении решения задачи

апип-1

+ Ъфп

+ спип+\

fn,

0<n<N,

И 0 =

Ч>>

UN =

можно было бы вести исключение неизвестных

ип

в порядке убывания но

меров п.

Выписать рекуррентные соотношения для вычисления коэффициентов

^п+Чг' ^п+'Л получаемых при этом

прогоночных

соотношений

«„+1 = £„+'/-"» +

# „ + 1 / i ,

» =

ЛГ -

1, N - 2

3. Наложив на коэффициенты ап,

Ьп,

сп

разностного

уравнения ограни

чения ап > 0, сп > 0, —6П >

а„ + с п + б,

показать,

что прогоночные ко

эффициенты i n _ y 2 > возникающие при решении задачи

ы 0 = = а й 1 - т - ф ,

0 < а < 1 ,

a n K / t - i

+ bnun

+ c „ « n + i

fn,

0<n<N,

удовлетворяют неравенствам 0 ^ L r t _ y

< 1 .

Как этот

факт сказывается на

накоплении погрешностей при обратной

прогонке? Может ли здесь обратить

ся в нуль знаменатель прогоночных формул прямой прогонки?

4. Какой вариант прогонки избрать

для вычисления

решения

предыду

щей задачи, если а =

10, Р =

—0,5? Учесть

опасность

необходимости делить

на нуль при вычислении коэффициентов

прогоночных

соотношений

по рекур

рентным формулам.

Г Л А В А 3

ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПРОГОНКИ*)

§ 6. Свойства хорошо обусловленных краевых задач

Здесь мы докажем сформулированный в п. 5 § 4 признак хо рошей обусловленности разностной краевой задачи вида

а„и„_, + Ъпип + cnun+i	=fn,	0 <п< N,
«о = ф,	и у =	гр

и установим некоторые свойства хорошо обусловленных разно стных краевых задач с тем, чтобы воспользоваться этими свой ствами в § 7 для обоснования алгоритма прогонки.

1. Оценки решений краевой задачи с возмущенными коэф фициентами. Рассмотрим задачу вида (1):

			а„ы„_, +		bnun	+ спип+	i=fn,	p<n<q,
						ир = ф,	uq = гр,
где	р	и q ^		р + 2— какие-нибудь целые				числа. То	обстоятель
ство,		что	мы	нумеруем		компоненты решения номерами от р				до
q, а	не от		0 до Л',		непринципиально, но			окажется	удобным	в

дальнейшем. Относительно коэффициентов будем предполагать,

что	они	ограничены	в	совокупности:		\ап\,	\hn\,	\| с п	\| < М ь
М\	не зависит от N и п.
	Пусть	задача (Г) разрешима при произвольных ф,							\р и
{fn},	причем числа иР,		и р	+ и ...,	uq, образующие решение,				удов
летворяют		неравенствам
		\| u « K A f , m a x \| / m \| +			M2 max(\|q>\|,\|*\|)\|),				(2)
			т
где	Mi и	— некоторые положительные				постоянные,			М1^М2,

*) Материал гл. 3 в последующих главах не используется и при первом чтении может быть пропущен.

§ 6. СВОЙСТВА		ХОРОШО	ОБУСЛОВЛЕННЫХ КРАЕВЫХ				ЗАДАЧ	57
Рассмотрим	задачу
anun-i	+	Ьпйп +	спйп+1	=	fn,	р < п < q,	\|
		"р = Ф,		й ?	= 1\|з.		J
Если предполагать,		что возмущения				коэффициентов ап —		ап,
Ь~п — Ьп, сп — с„ не		слишком		сильные,		а именно:

| я я - а я | < 8 < й6Af,

\Ьп-Ьп\<г<	1	(4)
\Ьп-Ьп\<г<	6 A f )	(4)
I с„ — с„\| < е <	6Af,	'

то возмущенная система (3) будет обладать следующими че

тырьмя свойствами:
1° Задача	(3)		будет иметь решение				{«„} при любых правых
частях.
2° Решение {«„} будет удовлетворять оценке									вида	(2), но с
заменой Mt и М 2			соответственно		на 2Mi и 2М2:
\| й„ К			2Af, max 1^1 +		2Af2 max (i Ф I, 1 * I).						(5)
				m
3° Коэффициенты				an, bn, cn	будут		удовлетворять			оценкам
i a « I < M ,	+	- « i - ,		\ Ь я к м 1	+ -^г-,		\сп\<м1		+
4° Решения		{«„} и {«„} будут			мало отличаться				друг	от	друга,
а именно:
I йп -	u J	<	е \&М] max \| fm		\| +	6М,М2 max (\| Ф			\|, \| гр \|)].		(6)
				m
Свойство	3° очевидно. Докажем					свойство		2°, а из него			выве
дем свойство	1°. Предположим,				что система			(3) разрешима при

некоторых правых частях. Фиксировав эти правые части, обоз начим

	р, =		max \| uk	I
			ft
и получим для	р, неравенство
й < 2 Л 1 , т а х \| / т \|			+ 2 Л 1 2 т а х ( \| ф \| (		\|гр\|).	(7)
	т
Для этого перепишем (3) следующим образом:
Orfin-i + Ьпйп +	спйП+1 = / в	+	(а„ — ап )	+
+	(Ьп — Ьп)йя	+ (сп — сп)йп+1,			0<n<N,	\ (8)

ГЛ. 3. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА

ПРОГОНКИ

Из

этой

записи

и из оценок

(2)

(4)

вытекает

неравенство

|1 <

Mi (max

I fm

I +

| i j +

M2 max

(| <p |, 11|> | )

< - ^ ц

М 1

т а х | / т | +

М 2

т а х ( | ф | ,

|гр|).

Решая последнее неравенство относительно ц, получим

(7),

из

которого

следует

(5).

Из последнего неравенства следует, что однородная

система,

соответствующая

задаче (3)

и возникающая при

<р =

/„

s= 0, имеет только нулевое

решение

йп

== 0.

Поэтому

опреде

литель системы

(3)

отличен

от

нуля,

задача

(3)

однозначно

разрешима

при

произвольных

правых

частях. Свойства

1° и 2°

доказаны. Осталось

доказать свойство

4°, т. е. неравенство

(6).

Вычитая

почленно из равенств

(8)

равенства

(1),

получим

ап (й„_, —

« „ _ i )

(йп

— ип)

+ сп

(й„+1 —

ип+1)

— (ап—ап)йП-1

(Ьп

— Ь„)й„ + (сп—сп)йп+1,

0 <

п < N,

•

й0

— и0 =

ид, — % = = 0 .

Применим (2):

I йп — ип К М, т а х | (ат~ат)

йт-\ + (bm—Ьт)йт

+ (ст—ст)

« т + 1 1 .

Воспользовавшись (4)

и (5),

отсюда выводим

| йп -

ип

М ,в [3 • 2М, max | / т

| +

3 • 2М2

max (| Ф

|, | -ф |)],

т. е. неравенство (6).

Рассмотрим

теперь

задачу,

которая

получена

из

(1')

возму

щением

не

только коэффициентов,

но

правых

частей:

с „ й „ _ 1

Ьпйп

+ спйп+\

fn>

P<n<q,

"р =

ф,

"( ?

= 'Ф-

Можно показать, что

й „ - « „ К е [ б М 2 т а х | й Ц - 6 М , М 2 т а х ( |

ф |, | гр |)] +

М2тах(\ф-ф|,

| ф - 1 | 5 | ) +

ЛГ,тах|

—

(10)

Наметим только схему доказательства, которое легко про

вести по этой схеме.

Изменив

сначала только

правые части и оставив старые

коэффициенты, с помощью (2) увидим,

что каждое ип

изменит

ся

не более чем на

Mi max

I fm

I +

max

(| $ -

ф |,

| ф -

op |) .

§ 6. СВОЙСТВА ХОРОШО ОБУСЛОВЛЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Изменив затем в системе с измененными правыми частями ко эффициенты, убедимся, что в силу свойства 4° компоненты ип дополнительно изменятся на величины, не превосходящие

е [6М\ max \| f „ \| + 6М,М2			max (\| ф \|, \| ф \|)],
	т
что и приведет к оценке (10).
Выведем из описанных нами		следствий неравенства (2) еще
одно. А именно, пусть для решений			системы	(1') имеет место
при некотором X >	0, p-\-X<n<q		— X, оценка
\ип\<М]	т а х \| / и \| +	М £ т а х ( \| ф \| ,		\| ф \| ) .

тт

Тогда для решения возмущенной системы

апйП-1 + Ьпйп +	спйп+1	=	fn,	p<n<q,
" Р =	Ф,	йч	=	У,

удовлетворяющей условиям

\ап — ап\, \bn — bn\,	I сп — сп \| < е < —	<	— \| — ,	(i п
	24М]	6Af\|	v	'

верно при тех же условиях р + X < n < q — X неравенство

| й „ | < 2 М 1 т а х | / т | + (м^ + | ) т а х ( | ф | , И | ) .

(12)

Чтобы убедиться в этом, определим вспомогательную сеточную функцию {vn} как решение системы

		Й А - 1		+ bnvn	+ cnvn+l	= 0,	р	< n<q,	j
					vP = <V, v„ =		^.
При	p-\-X<n<q			— X	будет
				I o „ I < AfSmax(\| ф \|, \| I\|J				J).	(13)
Затем применим				для оценки \ йп		— vn	\ неравенство		(10), из кото
рого	следует,		с учетом		(11), что
\| йя -	vn	I <	е [6М? max \| / „ \| + 6М,Af2				max (\| Ф \|, \| ф \|)] +
				т
	+ М 1 т а х \| / т \| < 4 т а х ( \| ф И г р \| ) + (1 + М 1 ) т а х \| / т К
		т							т
					< Т т а х ( \| ф \| ,			! -ф \|) -h 2М, т а х \| / т \| .
									т

Принимая во внимание оценку (13), отсюда сразу получаем не равенство (12).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 416 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ