Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 419 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ГЛ. 4.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Первое

второе

слагаемые

примут

соответственно

вид

9 2 - 9 1

—

f 2

Q ( A ) ] f t - ( l - / l A ) f t

-Л*„ ,

Q (

) |

-лхя

, 0

[2 +

0(A)]

— [1 -0(h)]

{ е

-rvynn

ич

и щ),

9г — 9i

—

П -

Ah +

2Лг /гг +

О (/г3 )] Ъ - b (\

- Ah)

тАх„

, п

]

9 * я / А

(1 + 0 ( A ) ] - [ 2 + 0 ( h ) ]

1 *

- r - ^ W J ^

—

= - 2 Л 2 / г

б [ / х «

0(/г)]2'с "/л .

Таким

образом, мы

получили

ип

[fcr**« +

О (/г)] + ( -

2А%еАх«

О (/г)] /г

Первое слагаемое этой формулы при h —>• 0, х п = л: = const стрехМится к Ье~Ах, т. е. к искомому решению. Значит, для того чтобы к этому решению сходилось все выражение для ип, не обходимо, чтобы второе слагаемое сходилось к нулю. Однако оно при h —*• 0 стремится не к нулю, а к бесконечности. В самом

деле,	— 2А2ЬеАХп	+ О (h)	стремится	к	конечному	и не равному
нулю	пределу	— 2А 2 Ье А х ,	а п?2х^н	стремится к		бесконечности
быстрее любой		положительной степени			\jh.

Мы показали, что разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение, может иметь решение, не схо дящееся при h -* О к решению дифференциального уравнения. Можно подумать, что причина этого в недостаточно точном вы боре Ui. Однако мы сейчас покажем, что сходимости не будет, даже если выбрать и\ точно равным решению дифференциаль ного уравнения при х\ = хо + К т. е. если положить щ = = u0e-Ah = be~Ah. Начнем с того, что упростим выражения, входящие в формулу (6):

9г»о -

«i _

[2 +

0 (h)}b-be~Ah

, п

q 2 - g i

—

[2 +

( А ) ] - [ 1

+0(h)]

qiu0 - «,

[l -

Ah +

2Л2 А2

+ 0

(A3)] b -

be~ A

- J

. 2 / 2 [ ,

[0+U(fl)l.

9 , - 9 2

[ 1 + 0 ( A ) ] - [ 2

+ 0 (A)]

I 1

Подставив

эти

выражения в

формулу (6),

получим

ип

= \Ъе~Ахп

+ О (h)\ -

[ | A2beAxn

О (А)] й2 2*»/\

(7)

§ 9. НЕУСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

Второй член правой части этого равенства снова стремится к бесконечности, тогда как первый остается ограниченным. По этому стремится к бесконечности и все решение разностного уравнения.

Причина того, что разностная схема (2) не дает сходимости при h —> 0, как мы видели, состоит в том, что она может иметь быстро возрастающие при уменьшении шага h решения, даже если начальные данные заданы вполне разумно.

Такого рода разностные схемы называются неустойчивыми. Естественно, что они непригодны для численного решения диф ференциальных уравнений.

Г Л А В А 5

СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ КАК СЛЕДСТВИЕ АППРОКСИМАЦИИ И УСТОЙЧИВОСТИ

В гл. 4 мы на примерах выяснили, что такое аппроксимация дифференциальной задачи разностной задачей и в чем состоит сходимость, благодаря которой решение дифференциальной за дачи можно приближенно вычислять по разностной схеме. Мы познакомились с явлением неустойчивости, которое может сде лать разностную схему расходящейся и непригодной для вы числений. Анализ поведения решений в этих элементарных вводных примерах, предназначенных только для предваритель ного знакомства с основными понятиями, был основан на за писи решений в виде формул. Такая запись оказалась воз можной лишь благодаря специальному подбору примеров.

В этой главе мы дадим строгие определения понятий сходи мости, аппроксимации и устойчивости. Мы покажем, что дока зательство сходимости не обязательно основывать на анализе формул для решений. Это доказательство можно разбить на проверку аппроксимации дифференциальной задачи разност ной и проверку устойчивости разностной задачи.

§10. Сходимость разностной схемы

1.Понятие о сетке и сеточной функции. Пусть на некотором отрезке D поставлена некоторая дифференциальная краевая за дача. Это значит, что задано дифференциальное уравнение (или

система), которому должно удовлетворять решение и	на от
резке D и дополнительные условия для и на одном или на	обоих

концах отрезка. Дифференциальную краевую задачу будем за писывать в виде символического равенства

где L — заданный	Lu —	f,	(1)
где L — заданный	дифференциальный оператор,		а / — заданная
правая часть. Так, например, чтобы записать в			виде (1) задачу
du	x
dx			(2)
	и (0) =	3,	(2)
	и (0) =	3,

§ 10. СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

достаточно положить

du . х ~dx + 1 + и2 '

И(0),

COS X,

Задача

d2u dx2

запишется в виде

(1 +x2)u	=	Vx,
и (0) =		2,
а» (0)	=	1
(1), если	положить

d2u

J ^ - ( l + * 2 ) « ,

i { "(0), du (0)

dx *

0 < * < 1 ,

0 < х < 1 ,

(3)

о < * < 1 ,

/х , 0 < * < 1 , 2, 1.

Д л я записи в виде	(1) задачи
	и ( 0 ) = 2 ,		(4)
	и(1) =	1
с краевыми условиями на обоих концах			отрезка 0 ^ д ; ^ 1 надо
положить
(	- g - - ( - + * 2 ) " ,		0 < х < 1 ,
Lu	и(0),
	и(0),
I	«(1),
f	^ \	2,
		1.

84 ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Краевая задача для системы				дифференциальных			уравнений
dv	-f- xvw = х2 — Зх +			1,	0 <	J C < 1,
dx
dw	.	1	(у + w) =	cos2	0 <	х ^ 1,
4 7	+	i + х2	(у + w) =	cos2	0 <	х ^ 1,	(5)
			о(0) =	1,
			w (0) =	- 3

Судет записана в форме (1), если считать и вектор-функцией

и = и положить

	do .				0 < * <		1,
	4x- +		XVW>		0 < * <		1,
	o(0),
	ro(0),
		x 2 - 3 x + l ,			0 < х < 1 ,
		cos2 Л:,			0 ^	Л : ^ 1	,
			1,
		- 3 .
Во всех	примерах	мы	рассматриваем			задачу		на	отрезке
О =^ х ^	1, а не на	каком-либо другом, только для определен
ности.					и(х)
Будем	предполагать,		что	решение	и(х)	задачи		(1)	на от
резке 0 ^	х ^ 1 существует.			Для вычисления этого				решения с

помощью метода конечных разностей, или метода сеток, надо прежде всего выбрать на отрезке D конечное число точек, со вокупность которых будем называть сеткой и обозначать через

Dh, а затем считать		искомым не решение и(х)		задачи (1), а таб
лицу [и]ы	значений	этого решения	в точках	сетки Dh.	Предпо
лагается,	что сетка	Dh зависит от	параметра h > 0,		который

может принимать сколь угодно малые положительные значения.


При стремлении «шага сетки» h к нулю						сетка должна		стано
виться все «гуще». Например, можно положить							h — 1/N,		где
/V — какое-нибудь			натуральное	число, и		принять	за сетку		Dh
совокупность		точек	Хо = 0, X\ =		h, лг2 =	2/г,	x N = \ . Иско
мая	сеточная	функция \ui\h в этом			случае	в точке хп = nh		сетки
Dh	принимает	значение и(пп),		которое		для краткости		будем

обозначать ип-

	§ 10. СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ				85
Для приближенного вычисления таблицы значений решения
[u]h в случае задачи (2)			можно	воспользоваться,	например, си
стемой уравнений
Un+i — ип		=	COS Х„	п = 0, 1	М—1,
h	+ 1 +
					(6)
			= 3,

полученной в результате замены производной du/dx в точках

сетки разностным

отношением по приближенной

формуле

и (х + h) — и (х)

Решение

u(h) = (u(0h),

uf\

системы

(6)

определено

на

той же сетке Dn,

что и искомая

сеточная

функция

[и\. Его зна

чения и(ft)I

«5v* в

точках

Xi, хг,

последовательно

вычисляются из

(6) при п =

0, 1,

N — 1. Для краткости

уравнении

(6) мы

не пишем

значок

при и(пн\

Как правило,

мы будем

так же

поступать

в аналогичных

случаях и в даль

нейшем.

В случае задачи (4)

для отыскания

сеточной

функции

приближенно совпадающей с искомой таблицей решения [и]п,

можно воспользоваться	разностной схемой
Un+i • 2ип + Un-i
h2
п •• = 1, 2,		N - l ,	(7)
и0-	• 2,	uN=l.

Эта схема возникает в результате замены в точках сетки произ

водной	d2u/dx2, входящей		в дифференциальное уравнение,			по
приближенной формуле
	d2u	и(х	+ h) —	2и(х) + и (х — h)		(8)
	dx2	~		h2

Для	вычисления	решения		задачи (7)	можно воспользо
ваться	алгоритмом	исключения — прогонки,			описанным в §	5.

Выпишем еще разностную схему, пригодную для вычисления решения задачи (5):

Н+XnVnWn = Xl


Wn+l — Wn		,1	т (Vn + wn) — cos2 xn, n = 0, 1, ... , N — 1,	(9)
h	+ l +		<
	+ l +		<

» o = I .

ГЛ. 3. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Vо

= у _ 3

Здесь Но

= уwih)J

J задано. При п =

0 из уравнений (9)

можно

найти

«( ,W =

L (

W I -

Вообще,

зная

ы№> = ^ « 1 -

А; =

п , можно

k = n

ип+\

= 0,1,

при

вычислить

— yw(h)

В рассмотренных

примерах сетка

Dh состоит

из

удаленных

друг от друга

на расстояние h точек.

Ясно, что можно было бы

расположить N -f- 1 точек сетки Dh,

h=l/N,

на

отрезке

[0, 1]

не равномерно, а так, чтобы

Хо = 0, Х\ =

х 0

ho, x2

= Xi-\-hu ...

. . . , Xn+i

— х„

h n ,

—

где

Лп ,

я =

. . . ,

—

неравные

между

собой

числа,

однако

такие,

что max/гп

—»• 0 при

h = 1/N —> 0.

Выбором

расположения

узлов

можно

сетки

добиться

того,

чтобы

искомая

таблица

[и]н решения

и ( х ) была

подробнее

при данном фиксированном

(или h = l/N)

на тех

участках,

где и ( х )

более

быстро

изменяется.

Такие

участки

иногда бывают заранее известны из физики или из предвари

тельных грубых		расчетов.		Информация о		скорости изменения
и ( х )	выявляется	также	в	ходе последовательного			вычисления
и\н), и[2Н),		и может	быть учтена при выборе				следующего
узла	сетки xn+i-
Мы ограничимся приведенными примерами для иллюстрации
понятия сетки и искомой			сеточной		функции	(или	вектор-функ
ции) — таблицы		значений		решения	[и]п- Заметим только, что в

качестве искомой таблицы [и]п значений решения не обязательно рассматривать сеточную функцию, совпадающую с решением и в точках сетки. Возможны и другие способы установления со

ответствия	между	функцией и ее таблицей.			Например,	таблицей
и ( х ) , 0 <	х < 1, можно		считать	сеточную	функцию	[ и ] п , опре-
		h	3 ,	, h
деленную	в точках	х = -^,	у п	"г	Р а в е н с т в о м

x+h/2

Wh=j { u(l)dl.

Jt-ft/2

Такой способ установления соответствия удобен в случае, когда и ( х ) не является непрерывной функцией, но известно, что интеграл от нее по любому отрезку существует. Это может быть, например, при рассмотрении обобщенных — разрывных — решений, если существует

| и2 (х) dx.


	§	10. сходимость Р А З Н О С Т Н О Й		С Х Е М Ы			87
Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, мы бу
дем считать, что и — непрерывная			функция, а под [и]п			понимать
сеточную функцию, совпадающую			с и в точках сетки.
Мы ставим вопрос о вычислении сеточной функции [и]ь по
тому, что при измельчении сетки, т. е. при				h —> 0,	она	является
все более подробной таблицей искомого				решения	и	и	дает о
нем все	более полное представление. Пользуясь интерполяцией,
можно	было бы с возрастающей при h —» 0 точностью					восстано
вить решение и всюду в области D. Ясно, что точность, с ко
торой это можно сделать при заданном фиксированном							числе
узлов сетки Dn,		зависит от дополнительно		известных		сведений

о решении типа оценок для его производных, а также от рас положения узлов сетки Dn-

Ограничимся этими беглыми замечаниями о восстановлении функции и по ее таблице [и\н. Подробное рассмотрение вопросов восстановления функции по ее таблице составляет предмет тео

рии интерполяции. Мы будем заниматься				только задачей вы
числения таблицы	[и]п.	Поэтому	условимся	считать,	что	задача
(1) решена точно,	если	найдена	сеточная	функция	[u]h.	Однако

нам не удастся вычислять ее точно. Вместо сеточной функции [и]п будем искать другую сеточную функцию uSh\ которая «схо дится» к [u]h при измельчении сетки. Для этой цели можно ис пользовать разностные уравнения.

2. Сходящиеся разностные схемы. Способами построения и исследования сходящихся разностных схем мы будем занимать ся на протяжении всей главы. Однако прежде надо придать

точный	смысл	самому требованию сходимости w<cf> —»[«]/„	кото
рое мы	будем	предъявлять к разностным схемам. Для	этого

рассмотрим линейное нормированное пространство функций,

определенных	на сетке £>„. Норма	\|\| ип \\ц	сеточной	функции
Uh ^ Uh есть	неотрицательное число,	которое	принимается за

меру отклонения функции ип от тождественного нуля. Напом

ним,	что линейное пространство R называется	нормированным,
если	каждому элементу х этого пространства	поставлено в со

ответствие неотрицательное число ||*||, причем выполнены сле дующие три аксиомы нормы:

1°	IIжII>0, *е=	R;
2°	\|\| Хх \|\| = \| X \| • \|\| х \|\|, где K G ] ? ,	а	X — произвольное число;
3°	11* + у1К1\|жН + Ш ,	где	х, y<=R.

Норма может быть определена различными способами. Мож но, например, принять за норму функции точную верхнюю грань модуля ее значений в точках сетки, положив

II«лНи,. = sup 1 uh{xn) |.

(10)

88	ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ
Если	и'н1 — пара функций, как в (9), то за норму, аналогич
ную (10), можно принять верхнюю грань модулей обеих			функ
ций на соответствующих им сетках.			к = 0,
Если	uW состоит из	функций, определенных на сетке	к = 0,
h, 2h,	1, то часто	используют норму, определенную	равен
ством
Эта норма аналогична		норме

для функций и(х) с интегрируемым на отрезке 0 ^ х ^ 1 квад ратом.

Всюду, где не оговорено противное, мы будем пользоваться нормой (10).

После того, как введено нормированное пространство Uh, приобретает смысл понятие отклонения одной функции от дру

гой.	Если	и	— две	произвольные сеточные функции	из
Un,	то мерой	их	отклонения	друг от друга считается норма	их
разности, т. е.		число

Теперь можно перейти к строгому определению сходящейся раз ностной схемы.

Пусть	для приближенного	вычисления	решения дифферен
циальной	краевой задачи (1),	т. е. для приближенного		вычисле
ния сеточной функции [u]h на основе использования				равенства
(1), составлена некоторая система уравнений, которую					будем
символически записывать, аналогично уравнению (1),				в	форме
равенства
	Lhu(m	= ?h).			(11)
Примерами могут служить		разностные	схемы (6),	(7), (9)

для дифференциальных краевых задач (2), (4), (5) соответ ственно.

Для записи	схемы	(6) в форме			(11)	можно	положить
	Un+l	+	nh	п	0,	1, . . . .	N 1,
	Un+l			п	0,	1, . . . .	N 1,
Lnuw	h

I «о.

0,1, . . . . N

		§ 10.	СХОДИМОСТЬ			РАЗНОСТНОЙ	СХЕМЫ			89
Схема (7)	запишется			в форме		(11), если	принять
	и а +	,~2%	+	и—	+ 11-(пИУ]ип,		я = 1 , 2 ,		N-	1,
			[ Vl+nht			я = 1,2,	# =	1,
		Г - ) 2 ,
			И -
Запишем	еще	в виде		(11)	схему (9), приняв
Lnu^^Lh	' v(h) >
Lnu^^Lh
				+ (яА) Оп 5У„,			0,	1,	i V -	1,
		а>«-И — w							N - l ,
e ( s ^ + _ ^ ( o l > + B f l i ) t r t e o l l >									N - l ,
e ( s ^ + _ ^ ( o l > + B f l i ) t r t e o l l >
		( п Л ) 2 - З л / г + 1,					я = 0, 1,		tf-l,
		C O S 2 r t « ,					я = 0, 1,		., N - l ,
		1,
		- 3 .

Система (11), как видим, зависит от h и должна быть вы писана для всех тех h, для которых рассматривается сетка Dh и сеточная функция [и]п. Таким образом, разностная краевая задача (11) —это не одна система, а семейство систем, завися щее от параметра п.

Будем предполагать, что при каждом рассматриваемом до статочно малом h существует решение u^i задачи (11), принад лежащее пространству 1)п~

Будем	говорить, что решение и<Л> разностной краевой		задачи
(11) при	измельчении сетки	сходится к решению и дифферен
циальной	краевой задачи (1), если
	[и] Л - и<»1	0 при /г - *0 .	(12)
Если, сверх того, выполнено		неравенство
	1 1 1 " ] А - и № Н и А < с я \		(13)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 419 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ