Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

120

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 414 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

30 ГЛ. 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО И 2-ГО ПОРЯДКА

решение неоднородного уравнения (9) с правой частью f„ спе циального вида:

Т п ~

1 1 ,

п =

Это решение будем обозначать через

G n

и называть

фундамен

тальным.

Мы будем

искать

ограниченное

фундаментальное

ре

шение, т. е. ограниченное решение

следующих

групп

уравнений:

I .

aGn-1

+ bGn

+cGn+l

= 0

при

я < — 1 .

I I .

aG-x + bQo +

cG^l.

I I I .

aGn-x + bGn

+ cGn+l

= 0

при

л > 1 .

Начнем со случая некратных корней, qi ф Цг.

В этом случае общее решение

однородного уравнения

(3)

имеет вид

и„ =

а?» +

р<#.

Поэтому

каждое частное

решение

однородного уравнения I

записывается в форме

= a'<7? +

P'<#

при

п < 0 ,

где а'

р' — подходящим

образом

подобранные

постоянные.

Точно так же частное решение Gn,

п ^

0, однородного

уравне

ния I I I можно записать в

виде

Gn = a,"q?+ia>"q%

при

п > 0

с соответствующими постоянными а" и р".

В рассматриваемом нами случае Ц\ф

q-t,

\ц^\ф\,

\цг\ф

возможны

следующие варианты:

а)

k i l < l ,

| < 7 2 | > 1 ;

б)

\ЦХ | < 1 ,

| ? 2 | < 1 ;

в)

l < 7 i l > l ,

|<72 1<11

г)

l < 7 i l > l ,

|<72 1>1-

Построим ограниченное фундаментальное решение G„ в слу

чае а). Из условия ограниченности

G n

при п — • — о о

видно,

что

а' — 0,

из условия ограниченности

G n

при

л—>-f-oo

следует

Р " = 0.

Поэтому

Р'<#

при

л < 0 ,

о!'ц\

при

л >

§ 3. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

При п =	0 обе последние		формулы		должны давать одно и то
же значение G0 . Отсюда р1' =				а". Подберем р' из условия вы
полнения	уравнения I I :
		Р' =	— т - !		•
			aq2	+ Ь +	cq{
Знаменатель		этой дроби отличен от нуля:				<72)*=0.
aqo1 + Ь +		cqx = (aq-] + Ъ +		с<72) + c(ql -		<72)*=0.
aqo1 + Ь +		cqx = (aq-] + Ъ +		с<72) + c(ql -		</2) = с(?,
Итак,
		.aq2	1 + 6 + cqx
		Gn-			7f,	n > 0 .
		aq2	+ b + с?!		7f,	n > 0 .

Мы построили ограниченное фундаментальное решение в слу чае а) (рис. 3, а).

	О				•
			•	•	•
а)	б)	•	•
а)	б)	•
	Рис. 3.
Заметим для дальнейшего, что при условиях
т а х ( \| а \| , \| Н \| с \| ) > 5 > 0 ,
\ Ц х \ < \ - \ ,	\| 9 2 - i \| < i _ \| . ,				(Ю)

где В > 0 и 0 >0 — какие - нибудь числа, имеет место оценка

Ю я К ж ! 1 - ! ) •

о о

Для	вывода оценки (11) отметим, что в силу	первого условия (10) обя
зательно	либо \а\ > В/4, либр с > В/4, лнбо) А 6 2	— 4 а с » ^ В 2 — В 2 / 4 > В/2.

ГЛ. 1. РАЗНОСТНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

1-ГО II 2-ГО ПОРЯДКА

Очевидны также

соотношения

aq2l + b + с<7, =с(<7, -q2)

= a(q2l

q^1)

= Vb2

4ас ,

I ?i -

I >

Ы - K i I >

-т-Аттг -

(1 -

е/2) =

в 2

Г BL2

>9,

е/2

•

Из этих соотношений

следует оценка

— 1 I А I

s e

\aq2

+b + cql\^

—

и неравенство (11).

случае

б) из условия

ограниченности Gn

при

-оо

следует а' =

р' = 0, так что

Gn--

при п ^ О ,

a"q? + Р"<7"

при

п > 0.

Из условия Go = 0 вытекает а" = — р". Коэффициент а" под бираем так, чтобы удовлетворить уравнению I I :

с (<7i — <72)

Ограниченное	фундаментальное решение			(рис. 3,6) в случае б)
имеет вид	(	0	при	я < 0 ,

G	n = \	c { 4 ! - q t ) к - о	п р и	« > < > •
В случае в) по аналогии со случаем				а) ограниченное фун
даментальное	решение имеет вид

aq~l + b + cq2

Gn-- 1

{ aq^1 + b + cq2

ql при « < 0 ,

при « > 0 .

Случай г) аналогичен случаю б).

Если корни кратные, q± = q2, го при построении ограничен ного фундаментального решения вместо формулы

используется формула

§ 3. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В случае U i | < 1 для G„ получим

[

при « < 0 ,

а в случае | q { | > 1 получим

nof+ I при п ^ О ,

а^1

	О	при	л ^ О .
Итак,	мы разобрали все	варианты,	которые	могут пред
ставиться	в случае \|<7i\|=/= 1,	l ^ f ^ 1, а. Ф 0, с Ф		О, и увидели,

что ограниченное фундаментальное решение существует. Из вы

писанных формул следует, что оно			экспоненциально	убывает
при	л —* оо:	\| G „ \| < G p l 4		(12)
		\| G „ \| < G p l 4		(12)
где	G > 0 h 0 < p < 1 — некоторые		постоянные.
	При этом в качестве р может служить любое число, удов
летворяющее		неравенству
	р >	max [min (\| qx \|, - j ^ j ) .	min (\| q2 [, j^j)]	•

Мы выяснили вопрос о существовании и виде фундаменталь ного решения, т. е. решения неоднородного уравнения (9). В случае произвольной правой части {fn} частное решение и*п можно записать в виде суммы ряда

и*п — 2	Gn-kfk>	(13)
fe=—оо
если только этот ряд сходится.	Это проверяется	совершенно

так же, как аналогичный факт для разностного уравнения пер

вого	порядка в § 2. Из			оценки	(12)	следует,		что	ряд	(13) заве
домо	сходится,	если	правая		часть	{fk}	ограничена,			\| / f t \| < F .
В этом случае
««I
				П		00	"I		20
		С GF							20	(14)
		С GF								(14)
			•fe	= — oo
Для	уравнения	(9),	для	которого \|<7i\|=#= 1 и				l ^	l ^	1, решение
{и*п},	задаваемое	формулой (13).есть				единственное			ограниченное

2 С, К. Годунов, В. С Рябенький

34	ГЛ. 1. РАЗНОСТНЫЕ	УРАВНЕНИЯ 1-ГО И	2-ГО ПОРЯДКА
решение	при заданной	правой части.	В противном случае
второе	ограниченное решение получалось		бы из построенного

прибавлением некоторого ограниченного решения {«„} однород

ного уравнения

(3).

Но

из

формул

для

общего

решения

этого

уравнения видно,

что

при

l ^ i l ^

1, |^г|

Ф 1 единственным

ог

раниченным

при

— о о << п <

оо решением будет йп = 0.

В частности,

ограниченное

фундаментальное

решение

случае l ^ i l ^

\Я2\Ф

1 тоже единственно.

Заметим, что при выполнении условий (10), воспользовав

шись оценкой

(11), из (13)

легко вывести

l " « K - ^ s u p | / m | .

(15)

3. Оценка фундаментального решения через коэффициенты разностного уравнения. В п. 2 мы видели, что характер по ведения фундаментального решения G„ уравнения (9) суще ственно зависит от расположения корней qt и q% характеристи ческого уравнения

P{q) = a + bq + cq2 = 0

(4)

на комплексной плоскости. Для приложений особенно важен

случай, когда а, Ь, с вещественны,

а корни q\ и q2 один мень

ше, а другой больше единицы по модулю:

Ы < Р .

К ~ ' | < Р .

0 < р < 1 .

(16)

Здесь мы укажем удобный необходимый и достаточный

признак

такого

расположения

корней,

не

требующий их вычисления.

Т е о р е м а .

Корни

уравнения

(4)

вещественными

коэффициентами

один

больше,

другой

меньше

единицы по

модулю

том и

только

том случае,

если

выполняется

оценка

вида

\ Ь \ - \ а + с\

е >

( ] 7 )

\b\

\a\

\c\

> V '

где 8 — некоторое

число,

причем

случае

выполнения

(17)

К | <

- | .

| < 7 2 - ' | < 1 - - | .

(18)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим,

что

Р (1) • Р ( - 1 )

= (а +

с +

Ь)(а

с -

b) = | а +

с\2 -

Ь2 ==

= (\a + c\-\b\)(]a

+ c\

\b\).

Если

(17)

не

выполнено

ни

при

каком

6 >

то

числитель

дроби

(17)

равен

нулю или

отрицателен.

	§ 3. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА						35
В первом случае P(l)-P(—1)				= 0 , т. е. 1 или —1 является
корнем	уравнения	(4), и (16) не выполнено.
Во	втором случае		Р(\)Р(—1)>0,	т. е. в точках	q =—1		и
q = 1 многочлен		P(q)	принимает	значения одного	знака. По
этому многочлен		P(q)	не может иметь на отрезке —1 ^ # ^				1
ровно один корень. Этих корней либо два, либо ни одного.
Если корней два, то оба они меньше единицы					по	модулю,
и (16)	не выполнено. Если на отрезке [—1, 1] корней					нет,	то

либо вещественных корней вообще нет, они комплексно-сопря

женные и равные по модулю, либо			оба	вещественных		корня
больше единицы по модулю, и (16) снова не выполнено.
Если при некотором	9 > 0	условие		(17)	выполнено,		то
Р( — 1)Р(1) < 0 , значения	P(q)	на	концах		отрезка	[—1, 1]
имеют разные знаки, так что на этом			отрезке лежит ровно				один

корень. Тогда второй корень, тоже вещественный, лежит вне

этого отрезка, так что (16)

при

некотором

р <

1 выполнено.

Уточним последний результат, а именно получим

оценку (18).

Из

(17) следует

| 6 | - | а + с | > в ( | 6 | + | а | + | с | ) >

> ± 1 & 1 + о - | а 1 + [е - ( } ) 2 ] - | с | .

Поэтому

- | ) > | a + c | + f e - ( 4 V l - | c | >

: ф +

ф _ е + ( | ) 2 } Н « + с ( 1 - 4 ) 2 .

Отсюда видно,

что

выражения

р ( , - D . - . + . f ,

_ • ) • + * ( • - 4 ) -

, . [ _ ( , _ • ) ! _ „ + « ( ,

_ • ) « _ , ( , _ • )

имеют

разные

знаки,

так

что

многочлен

Р (q)

на отрезке

— (1 — 9/2) < q <

1 — 9/2

имеет

корень

\ qx

\ <

1 — 0/2. Оче

видно,

что числа

обратные корням

уравнения

(4), удовлетворяют

уравнению

а'

+ b'q' + с' {q'f =

с коэффициентами

а' =

с,

Ъ' — Ь,

с' — а,

удовлетворяющими

тому же условию

(17):

\ Ь ' \ - \ а '

+ с'\

| 6 | - | я

+ с |

| 6 ' | + | a ' l + | c ' | ~ И + М + М

^ 0

> и

36	ГЛ. 1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ				1-ГО И 2-ГО ПОРЯДКА
Поэтому	один	из	корней	q\, q'2	удовлетворяет неравенству
\|<7'\|< 1	—9/2.	Этим корнем		может	быть только q'2=	l/q2,	что
и завершает доказательство				оценок	(18).
Для	уравнения		с вещественными		коэффициентами	при	усло

вии (17) автоматически выполнены условия (10), а значит, и

оценка (15) для ограниченного частного								решения		шл	неодно
родного разностного уравнения						(9)
				ЗАДАЧИ
1. Написать общие решения уравнений
	«„_,	— Ъип	+	Qun+i =		0,	я =	0,	± 1 , . . . ,
		5
	un-i	— -^Un	+	Un+i	= 0 ,		« =	0,	± 1 , . . . .
	9u„_, + Зи„ +			un+i =		0,	n =	0,	± 1 , . . .
2. Найти ограниченное при п -*• +						оо решение		уравнения
		« « - i — -jun				+ и п + ] = 0,
принимающее значение «о =			1.						«о, «i,	«2, . . . ,
3. Выписать тысячный член последовательности									«о, «i,	«2, . . . ,	первые
два члена которой равны единице, щ =							1, Ui =	1,	а последующие		опреде
ляются рекуррентным		соотношением
		и п + , = ип- ] + ип,					/ 1 = 1 , 2 , . . .
v 4. Найти	условие, накладываемое					на	корни характеристического				уравне
ния, необходимое и достаточное для того, чтобы								разностное		уравнение
	аип-\	+ bun	+ cun+i		= 0, га = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ,
имело хотя бы одно нетривиальное ограниченное								решение (решение			ип = 0
называется	тривиальным).
5. Найти	условия, которым должны						удовлетворять корни характеристи

ческого уравнения, необходимые и достаточные для того, чтобы все решения уравнения

	аип-\	+ bun	+ cun+i — 0,		п — 0,	± 1 , . . . ,
были ограничены.
V 6. Каковы	должны	быть	корни	характеристического			уравнения, чтобы
при / г - > + с о	все решения уравнения			au„-i	+ bun	+ cun+i	= 0 стремились

кнулю?

7.Найти какое-нибудь частное решение неоднородного разностного урав

нения

		— у «п + «n-H = fm « = 0, ± 1 , . . . ,
если правая часть имеет следующий специальный вид:
1З)	frc=l- У к а з а н и е .		Искать решение вида и	=	А.
б)	fn =	n. У к а з а н и е .	Искать решение вида и*п	=	А +	Вп.
в)	fn =	3™. У к а з а н и е .	Искать решение вида и* =		Л • 3".
г)	/п =	cog п. У к а з а н и е . Искать решение вида		и* =		A sin п + В cos /{.

ЗАДАЧИ

V8. Построить какое-нибудь

ограниченное

фундаментальное

решение урав-

. нения

U/1+1 = fn-

U n - \

Существуют ли у этого уравнения неограниченные

фундаментальные

решения?

^9. Построить какое-нибудь фундаментальное

решение

уравнения

Ип — ! 2ип + + 1 = fn.

Существует ли ограниченное фундаментальное

решение?

;

10. При каком условии

на корни

характеристического уравнения

разност

ное

уравнение

au„ _ , +

bun

сип+\

не имеет ограниченных

фундаментальных решений?

Пользуясь ограниченным фундаментальным решением, выписать фор

мулу того решения (иа,

«i, . . . , «я)

уравнения

un-i — -jUn

+ « n + i

fn,

п =

1, 2, . . . , N — 1,

которое удовлетворяет

условиям

«о =

ф,

«JV =

ty, где ф

г|) — заданные

числа.

\/12. Найти все собственные числа р и

соответствующие

собственные

функции ty — itym), m =

М, оператора

Ахх,

где

Л** — оператор, который

каждой

сеточной

функции

и={ит}

ставит

в соответствие сеточную

функцию v =

{vm}

по формулам

vm = -jf{Um+i

— 2ит

+ um-i),

0<m<M,

О т в е т :

P A = " ^ 2 - s i n 2

^ > = 8 i n T

ft-1.2

M - l .

Г Л А В А 2

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Краевые задачи рассматриваемого в этой главе вида воз никают при использовании разностных схем для численного ре шения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравне ний с частными производными.

§ 4. Постановка задачи. Признаки хорошей обусловленности

	1. Постановка задачи. Простейшая				краевая задача			состоит
в	отыскании	сеточной функции		{«„}, п =		О, 1, . . . , . N,		удов
летворяющей		разностному	уравнению
	а„м„_1 + bntin + cnun+l		=fn,	га =	1, 2,	N—	I ,	(1)
во	внутренних	точках 0 < n < N сеточного				отрезка	0 ^	п ^ N
и принимающей заданные			значения
		ы0	—Ф>	u n ~ Ф				(2)

на его краях. Краевая задача для систем разностных уравне


ний будет сформулирована				в п. 7.
Изучая уравнение			апип-\		+ bnun	+ c„un+i		=	fn>	ап	Ф О,
Сп Ф О, мы отметили, что при произвольном								задании		значений
{ип}	в каких-нибудь	двух		последовательных				точках,		например
при	произвольном	задании			щ и ии	определяется,				и притом
только одно, решение {ы„}.
	Интересно выяснить, можно ли однозначно определить ре
шение, если задаться его значениями						в двух не обязательно со
седних точках, как это сделано в краевой							задаче (1), (2). Сле
дующий пример показывает, что задача							(1), (2)		может		ока
заться неразрешимой.
	Рассмотрим краевую		задачу
	Un-i —ип	+ ип+1		=	0,	2	t I	299,			(3)

(4)

§ 4. ПРИЗНАКИ ХОРОШЕЙ

ОБУСЛОВЛЕННОСТИ

Общее решение уравнения

(3),

как

показано в § 3,

может быть

записано в

виде

пп .

пл

ип

у2

Yi cos -g - +

sin — .

Из

условия

«о =

следует, что

Y I — 0- Для

выполнения ус

ловия «зоо — 1 нужно подобрать у2

из

уравнения

«зоо =

ЗООя

Y2 sin — g - =

Но это уравнение неразрешимо, так как при любом Y2 левая

часть его равна нулю, но не единице.

Если бы вместо условия и30о =

1 мы

задали «3 0 о = 0 (остав

ляя

по-прежнему

«0 =

0),

то Yi снова пришлось

бы

взягь рав

ным

нулю,

тогда

как

Y2 В этом

случае

может быть

любым{

ЗООя

Y2 sin--g— = Y 2

-0 =

Мы

видим,

что краевая

задача

(1),

(2)

может,

вообще говоря,

вовсе не иметь решения либо решение ее может оказаться не единственным. Однако с краевыми задачами приходится часто встречаться.

Оказывается, что существуют довольно широкие классы раз ностных уравнений, для которых краевая задача (1), (2) не только всегда однозначно разрешима, но и обладает «слабой» чувствительностью к ошибкам округления при задании правых частей ф, г|) и {/„}, т. е. «хорошо обусловлена».

2. Определение хорошей обусловленности. Обычно при изу чении разностных схем для приближенного решения диффе ренциальных краевых задач рассматривают не одну задачу, а целое семейство таких задач, возникающих при все более мел ких шагах сетки. Тогда число N можно считать параметром, от которого зависит это семейство. Измельчению сетки соответ

ствует возрастание		N.
Будем говорить, что разностная краевая задача									(1),	(2) с
коэффициентами		ап,	Ьп, сп,	ограниченными			в	совокупности,
\ап\, \Ьп\,	\сп\<М,		хорошо	обусловлена,		если		при	всех до
статочно	больших N она имеет одно				и только			одно	решение
{«„} при	произвольных		правых	частях	ф,	ч\|э и	{/„}	и если		числа
и0 , «ь	uN, образующие решение,				удовлетворяют				оценке
	\| « „ \| < Л 1 т а х { \| ф \| ,			\|ф\|, т а х \| / т \| } ,						(5)
					т
где М — некоторое		число, не зависящее от				N,

Иногда к числу хорошо обусловленных относят и те задачи, для кото рых М нельзя выбрать постоянным, но можно выбрать растущим не быстрее заданной степени Л', например М = CN или М = CN2t

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 414 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ