Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

160ГЛ. 6. УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

Для получения ип+\ по схеме Рунге — Кутта при уже извест ном и„ приходится / раз вычислять значения функции G(x, и). Эти значения больше не используются.

2.Схемы Адамса. В схемах Адамса, одну из разновидностей которых мы сейчас опишем, для вычисления каждого следую

щего значения ип+\ достаточно дополнительно вычислить значе ние G (х, и) лишь в одной точке независимо от порядка аппрок симации. Кроме того, приходится проделать небольшое число вычитаний и сложений, которые требуют во много раз меньше

времени, чем каждое вычисление сколько-нибудь						сложной функ
ции G(x, и).
Обозначим
^fn	— fn fn-\>
Щп	=	V (Vf„) = Vfn	- Vfn_t	= fn -	2f„_, +	U-2,
V% =		VV?n = f n	- 3/„_, +	3/„_2	- f„_3

и положим Gn = G(xn, un). Выпишем несколько разностных уравнений, используемых в схемах Адамса для вычисления ип+и если ип, ип-и ... уже вычислены:

Un + l — ип - G „		= 0,		га = 0,	1,	А/ — 1, (7)
h
Un+l — ип	Gn	VG„ = 0,		п=\,	2	N-	1, (8)

Un+l — Un	Gn	\| V G „ - ^ V 2 G „ =	0,	п — 2, 3, . . . , N — 1, (9)
h
Un+l ~ un	Gn	± V G „ - ^ V 2 G „ -	}V3G„ = 0				(10)
h
				л = 3, 4, . . . . N — I .
Первое	из этих уравнений — разностное				уравнение		Эйлера.
При подстановке в левые части			уравнений		(7)—(10)		вместо
Мп+ь ип, ип-и		••• значений u{{n-\-\)h),		u(nh), ...		точного ре
шения и(х)	в равенствах (7) —(10)		возникают невязки				порядка

h, h2, h3 и /г4 соответственно.

Формулы Адамса получаются следующим образом. Пусть и(х)— решение уравнения

du = .

-т— и (х, и), dx

Обозначим

G(x, u{x))=^F{x).

§ 19. СХЕМЫ РУНГЕ - КУТТА И АДАМСА

161

Тогда

x„+h

и (хп +

h) — и (хп)

и' dx =

F (х)

dx.

Из теории интерполяции функций известно,

что существует один и только

один

многочлен Pu(x,F)

степени

не

выше k,

принимающий

( А + 1 ) - й

точ

ке хп, xn-i,

...,.хп-к

заданные

значения

F(x„), F(xn-i),

F(xn-k)

соответственно. Этот

многочлен

Pk(x,F)

в случае достаточно

гладкой

функ

ции

F(x)

уклоняется

от

F(x)

на

отрезке

х„

=g; х =^ хп

на величину

порядка А*+ | ,

так что

max

| Pk (x,

F (x) | = О

(hk+l).

(И)

Разностная формула

Адамса

имеет

вид

(12)

При

подстановке в левую часть

вместо

Un, ип + \,

G (xn—s,

Ип —s)

соответственно значений

и(хп), u(xn+l),

G (xn-s,

u(xn-s))

получим

невязку порядка

/г .

"	(х„ +	h) — u (хп)		-1
		h
	и(хп	+	h) — и (хп)
			h
	xn+h
+	i J		w -	u .

J		Pk(x,F)dx
_ 2	xn+h
_ 2	\	F(x)dx	+
I	\	F(x)dx	+
л ] dx		< 0 + max	I F (x) - Pk (x, F)\ = 0	(hk+l).

При k = 0 интерполяционный многочлен

P0 (x, F) = G (xn, un) = const

и формула (12) превращается в (7). При k= 1

Р, (х, F) = j \U -

On - (x - xa) Gn-{\.

6 С. К. Годунов, В. С. Рябенький

162 ГЛ. 6. УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

Далее,

xn+h

1 (X—

Xn-iY

хпУ

Pl(x,F)dx

Gn-

Gn-i

—

хп

4А2

h2 \

h'2

A M 2

Г G " - ^ F - 2 - G " - > = G « + T ? G " -

Следовательно, формула

(12) превращается

(8). Аналогично

при k =

2 и

k =

3 из (12) получаются формулы

(9) и (10) соответственно.

Для

вычисления

по схеме

(7) достаточно знать

и0 — а. Для

того чтобы начать вычисления

по схеме

(8), надо заранее

знать,

кроме и0 — а, также еще и щ . Схема

(9) требует использования

UQ,

и и2, а схема

(10) —четырех значений: UQ, U\, и2 И U 3 .

Э Т И

значения могут быть найдены по схеме Рунге—Кутта,

с по

мощью

схемы Эйлера с мелким шагом, с помощью

разложения

решения в окрестности точки

х = 0 в

степенной ряд. Нестан

дартное начало счета является одним из недостатков

схем

Адамса по сравнению со схемами

Рунге — Кутта.

Отмечав

шимся

ранее достоинством

схем Адамса

является

то, что для

вычисления ип+\ нужно, в дополнение к уже вычисленным в

процессе	отыскания	ип, ип-и .. . значениям Gs,	VGS ,	Vf t Gs ,
вычислить только одно значение функций G„ =			G(xn, ип)	и про
извести	некоторое	число вычитаний для вычисления VG„, .. .

Vf t G„.

Итак, преимущества методов Адамса перед методами Рун ге—Кутта заключаются в меньшей трудоемкости вычислений на один шаг. Основные недостатки — нестандартное начало счета, невозможность (без усложнения формул) в процессе счета из менить, начиная с какой-то точки х„, шаг h, xn+i = хп -f- h, с которым ведутся вычисления. Последнее обстоятельство суще ственно в тех случаях, когда решение и его производные на не которых участках меняются быстро, а на других изменяются медленно.

Схема Рунге — Кутта, если такого рода обстоятельства выяс няются в процессе счета, может, например, по заданной под программе автоматически уменьшить шаг или увеличить шаг на гладких участках, чтобы не производить лишней работы.

По-видимому, наиболее рационально использование обоих методов — Рунге—Кутта и Адамса — с автоматическим перехо дом с одного из них на другой в процессе счета. При этом начи нать счет надо по схеме Рунге — Кутта. В программе должен быть предусмотрен автоматический выбор шага, при котором расчет ведется с нужной точностью. При этом программа вы бора шага должна предусматривать некоторый «консерватизм» при выборе шага: диктовать изменение шага только в случае,

§ 19. СХЕМЫ РУНГЕ - КУГГА И АДАМСА

163

если требуется «довольно сильно» его изменить. Если оказы вается, что при вычислении нескольких последовательных зна чений ип по схеме Рунге— Кутта не происходит изменения шага, целесообразен автоматический переход на счет по более эко номной схеме Адамса. Как только вновь появляется необходи мость изменить шаг, программа расчета должна переходить на вычисления по схеме Рунге— Кутта и т. д.

Для контроля правильности выбора шага обычно параллель но ведут вычисления с некоторым заданным и вдвое меньшим шагом. В пределах требуемой точности решения должны совпа дать. В противном случае надо вести вычисления с более мел ким шагом. Нужно также предусмотреть пробу на возможность

увеличить шаг.						задачи и' -f- Аи =
3. Замечания об устойчивости. Для							0, ли
нейной и с постоянным коэффициентом						А, схемы Рунге—Кутта
после исключения k\, k2, ... окажутся схемами первого порядка,
		un+l	— a(h)un		=	0.
Корень	характеристического			уравнения X— a(h)=0			равен
X = а (я).
В случае ип =		и(хп)	для	ип+\	получается значение,		совпа
дающее	с точным	решением		ы(х„ +	я)	с точностью до ПР+\ где

р — порядок		аппроксимации. Поскольку
и (хп	+ К) = и (хп) e~Ah« = и (хп) (1 _ Ля + ~ - -					. . . ) ,
а			un+l=a(h)un,
то			un+l=a(h)un,
то
		X =	a(h)=e-Ah	+	0(hp+l).
Таким	образом,		\| А (я) \| <	1 +	ch.
			\| А (я) \| <	1 +	ch.
Степени Xn(h)		ведут	себя «правильно»: они растут,			если А < О

и решение дифференциального уравнения растет. Они убывают,

если А > 0 и решение е~Ах		убывает.
В случае схемы	Адамса (8)
."*+»-	»" +	Аип + 4 (ип	- «„_,) *= О	(13)
характеристическое	уравнение имеет		вид

164		ГЛ. 6. УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ						РАЗНОСТНЫЕ		СХЕМЫ
Отсюда
	Я, =		1 -		Ah	+ О	(h2),
	X2	=	0(h).
Таким образом, решение ип = Х*\ ведет себя при измельчении
h, как и(х„)		— e~Anh,				а «паразитическое»			решение \ 2 ,		вызван
ное выбором		разностного уравнения второго порядка, стремится
к нулю, так		как \Х2\ =				0(h),	и на	устойчивость не влияет.
Читателю полезно сравнить схему (13) со схемой второго
порядка	(2)	из §		17:
Для нее					И д + ' 7 л " " ~ ' + А и * = ° -
Для нее
Я1 =	1 _ Л/г			+	^ -	+ 0	(/г3),	Аа = -	1 -	Ah +	0(h2).

«Паразитический» корень Х2 при положительном А по модулю больше корня hi, что и приводило к большой постоянной в оценке устойчивости для этой схемы и к практической непригодности ее при больших А, установленной в § 17.

4. Обобщение на системы уравнений. Все описанные схемы численного решения задачи Коши для дифференциального урав нения первого порядка (1) автоматически переносятся на си стемы уравнений первого порядка. Для этого в записи (1)

	%r-G(x,	« , - 0 . 1
	и(0) =		а I
надо понимать под и(х) = й(х)		и	G (х, и)		=	G (х, и)	вектор-
функции и	под а = а заданный	вектор. Тогда				схемы	Рунге —
Кутта (3),	(4) и схемы Адамса	(7) — (10)			сохранят		смысл и
останутся	применимыми.
Например, система уравнений
	(х + v2 +	sin w) =		0,	\
		о(0) =		а„	j
		w (0) = a2			J

		§ 19. СХЕМЫ			РУНГЕ -		КУТТА И			АДАМСА	165
запишется в		форме
			-г-—			G (х,	и) =		О,
			dx
если положить						и (0) =			а,
если положить
							v(x)
				и{х)—\ \w(x)				. /.,
		т.,		ч		/* + у	2 +	s	i n u y	'
		G	(Л:,	а)	=		— лгада
						V	— лгада
						а,
					а	= ' .«2
Формула	для	й „ + 1 в схеме				Эйлера
			й п	+ х ~ й п + hG(xn,					йп)
подробно	запишется так:
		V n + l = V n +			h ( X n + v 2 n + s i n W n ) >
Все рассуждения			о	порядке			аппроксимации,				изложенные

выше мелким шрифтом, тоже сохраняются. При этом в формуле

(6) под	производной вектора			G{GU.. .,Gk)	по вектору
,	.	dG
u(ui,...,	ии),	—Q^ , надо понимать матрицу
		)G,		dGi
		дих		duk
		dGk		dGk
		dui	" '	duk

Произвольная система дифференциальных уравнений, раз решенных относительно старших производных, сводится к си стеме уравнений первого порядка

166	ГЛ. 6. УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

путем замены искомых функций. Как это делается, ясно из сле дующего примера. Система

d2v	+	sin (xv'		+ v2	+ w) =			0,
dx2	+	sin (xv'		+ v2	+ w) =			0,
i g . _\|_	yX2	_\|_ „2 +		(Vf)2	_\|_ Ю 2	=	0	>
					o(0)	=		a,
					o'(0)	=	ft,
,					w (0) =			с
приводится к требуемому		виду, если положить
		и, (дс) =		У (*),
		, \		dv
Получим		«з (х)		=w{x).
Получим				du\
				du\	Uo =		0,
				dx			0,
				dx			I
duo	+ sin (хы2		+	u\ +	«3 ) =		0,
~	+ sin (хы2		+	u\ +	«3 ) =		0,
	V ^ 2 + " 2		+ «2 + "3				0,
				И] (0) =			a,
				u2	(0) =		b,
				«з (0) ==			c.

З а м е ч а н и е . Разработаны разностные схемы типа схем Рунге — Кут та, применимые непосредственно для уравнений второго порядка и не тре бующие предварительного сведения этих уравнений к системам первого по рядка.

§ 20. Методы решения краевых задач
Примером краевой задачи является задача
V" =	t(x, у, у'),		0 < х < 1 ,	(1)
0(0) =	Г„.	У(1)		(1)
0(0) =	Г„.	У(1)
с граничными условиями на обоих			концах отрезка	O ^ x ^ l ,
на котором надо найти решение у		=	у(х). На этом	примере мы

схематически изложим некоторые способы численного решения краевых задач.

§ 20.	МЕТОДЫ	РЕШЕНИЯ		КРАЕВЫХ ЗАДАЧ		167
1. Метод стрельбы. В § 19			указаны удобные способы числен
ного решения задачи Коши, т. е. задачи					вида
У	f{x>y,yf),			0 < * < 1 ,
						(2)
где К0 — ордината	точки	(0,	Y0),	из	которой выходит	инте
гральная кривая,	а а — угол		наклона		интегральной кривой к

о)

Рис. 7.

оси Ох при выходе из точки (0, Y0) (рис. 7,а). При фиксирован ном Ко решение задачи (2) имеет вид у = у(х, а). При х = 1 решение у(х, а) зависит только от а:

у(х, а) | х = = 1 = г/(1, а).

Используя указанное замечание о решении задачи Коши (2), мы можем теперь переформулировать задачу (1) следующим об разом: найти такой угол а = а*, при котором интегральная кри вая, выходящая из точки (0, Ко) под углом а к оси абсцисс, по падет в точку (1, Ki):

					y(\,a)	= Y,.				(3)
Решение		задачи	(2)	при этом		а — а* совпадает с искомым ре
шением		задачи	(1). Дело		сводится, таким		образом,	к решению
уравнения (3) (рис. 7,6). Уравнение (3)							есть уравнение			вида
F(a)	=	0, где F(a)		— у{\,	а)	— К ь Оно отличается		от	привыч
ных уравнений лишь тем, что функция F(a)							задана	не аналити
ческим выражением, а с помощью алгоритма решения задачи										(2).
Сведение решения краевой задачи (1)							к решению		задачи
Коши	(2) и составляет сущность метода стрельбы.
Для решения уравнения (3) можно использовать метод де
ления отрезка пополам, метод хорд, метод							касательных		(метод
Ньютона) и т. д. Например, при использовании метода									деления

168	ГЛ. 6. УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

отрезка пополам мы задаем ао и ai так, чтобы разности

г/ ( I , а0 ) — У, и	а,) — У,
имели разные знаки. Затем полагаем

_ а 0 + « 1

Вычисляем 2/(1, аг). Вычисляем затем аз по одной из формул

«з =	а! + а 2	или а3 =	а 0	+	а 2
«з =	2	или а3 =		-2	—

в зависимости от того, имеют ли разности у(1,а2) — У, и у (1, а,) — У,

соответственно разные или одинаковые знаки. Затем вычисляем у(\, аз). Процесс продолжается до тех пор, пока не будет до стигнута требуемая точность, \у{\, ап) — У\\ < е.

.В случае использования метода хорд задаем ао и а ь а затем последующие а,- вычисляем по рекуррентной формуле

a«+i = а„ - F{ап)Р}ар\ап^)

(а" ~ а»-^'

n = = l " 2'

Метод стрельбы, сводящий решение краевой задачи (1) к вы числению решений задачи Коши (2), хорошо работает в том случае, если решение у(х, а) «не слишком сильно» зависит от а. В противном случае он становится вычислительно неустойчивым, даже если решение задачи (1) зависит от входных данных «уме ренно».

Поясним взятые в кавычки слова на примере следующей ли нейной краевой задачи:

	у" — а2у = 0,		0 < х < 1 , )
		г/(0) = У0,	г/(1) =	У,		J	( 1	°
при постоянном	а2.	Выпишем	решение	этой	задачи:
	р-ах	_ -а (2-х)	-а	(1-х)	_	-а	(1+х)
Коэффициенты	при	У0 и У\ с ростом а		остаются			ограниченными
на отрезке 0 ^	х sg: 1 функциями; при всех а > 0 они не превос
ходят единицу.	Поэтому небольшие ошибки					при	задании У0	и

У] ведут к столь же небольшим погрешностям в решении. Рас

смотрим теперь задачу	Коши
у"-а2у	= 0,	0 < * < 1 , \|
*/(0) = У0,		/ ( 0 ) = tga.	/	( 2 ' }

§ 20. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

16Q

Ее решение имеет вид

(	х ) =	аУ. + tga
^ 4	у	2а

а У о - t g a 2а

Если при задании t g a допущена погрешность е, то значение решения при х = 1 получит приращение

При больших а вычитаемое	в равенстве (4)	пренебрежимо
мало, но коэффициент при е в первом слагаемом		еа/(2а)	стано
вится большим. Поэтому метод	стрельбы при решении		задачи

( I ' ) , будучи формально приемлемой процедурой, при больших a становится практически непригодным. Это перекликается с сооб ражениями п. 2 § 5, где был приведен пример вычислительно не устойчивого алгоритма для решения разностной краевой задачи.

2. Метод прогонки. Для решения краевой задачи

y"-p{x)y	= f{x),				0 < х < 1 ,
y(0) = Y0,			0(1) = К,
при р(л:)Э> 1 можно воспользоваться					разностной			схемой
Ут+l — 2Ут +	Ут-l		i v	\	f	i v	\
fj2			г \лт)		Ут — /	\ Л т / >
0 <	Ш < М,		Mh = 1,
Уо=	^о>	Ум —
и решать разностную задачу прогонкой. Условия								применимости
прогонки при р(х)>0,	как	легко		проверит			читатель, выпол
нены.
3. Метод Ньютона. Метод стрельбы при						решении хорошо по

ставленной краевой задачи может оказаться, как мы видели, неприменимым из-за вычислительной неустойчивости. Но метод прогонки, даже формально, можно применять только для реше ния линейных задач.

Метод Ньютона сводит решение нелинейной задачи к серии линейных задач и состоит в следующем. Пусть известна некото

рая	функция Уо{х), удовлетворяющая граничным условиям (1) и
грубо приближенно			равная		искомому	решению	у(х).	Положим
			У (х) =		Уо (х) +	v (х),		(5)
где	v(х)	— поправка	к	нулевому приближению			уо(х).	Подста
вим	(5)	в уравнение		(1)	и линеаризуем задачу,			используя

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ