книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

140 ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Если правую часть разностного уравнения, на основе которого построена схема (1), положить равной нулю, то при некотором л > 0 будет выполнено неравенство

Воспользуемся необходимым спектральным признаком устой­ чивости (13) и докажем, что схема, рассмотренная в § 9, дей­ ствительно неустойчива. В § 9 строгого исследования неустой­ чивости не могло быть проведено хотя бы потому, что там в нашем распоряжении еще не было аккуратных определений.

Интересующая нас разностная схема приближает задачу

«i = (1 — Ah) а.

§ 15. НЕОБХОДИМЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ 141

например наличие собственного числа Л* оператора Rh, удов­ летворяющего оценке

142 ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ и УСТОЙЧИВОСТЬ

Устойчивость в этом случае может зависеть от удачного выбора норм, как показывает пример следующей разностной схемы, ко­ торую мы уже рассматривали в § 14 с несколько иной точки

146ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Для доказательства теоремы нам будет полезна следующая известная

\\^\\x<-r^\\g\\o-

Из последнего неравенства следует, что при g — О суще­ ствует только тривиальное решение х0 — О уравнения (Л - f B)x = g, а значит, существует единственное решение при произвольном g е G, и справедлива оценка (7).

задании устойчивой разностной схемы являются вполне ра­ зумными: если, уменьшая h, мы хотим получить ответ с точностью до hh, т. е. с числом десятичных знаков порядка 1п(1//г), то и коэффициенты разностной схемы надо задавать все более точно, увеличивая число знаков, с которыми они задаются, тоже со

щая функция. Если уменьшать шаги, не увеличивая числа де­ сятичных знаков, с которыми заданы коэффициенты и правые

что разностные уравнения мы умеем решать точно. Тогда, если применяемая разностная схема аппроксимирует дифференци­ альное уравнение и устойчива, то при достаточно мелком шаге решение «( '! ) мало отличается от искомого точного решения [«]/,.

При этом совершенно безразличен тот порядок действий (алгоритм), который используется для вычисления г#>, так как ответ не зависит от порядка действий.

Но в действительности, избрав какой-нибудь алгоритм для вычисления решения uSh\ мы на каждом шаге осуществления этого алгоритма допускаем ошибки округления, которые оказы­ вают влияние на результаты, получаемые на последующих ша­ гах вычислений. При фиксированном h и конечномерном про­ странстве 0\ алгоритм состоит из конечной последовательности арифметических действий. Результат каждого арифметического действия (вычисление суммы, разности, произведения или ча­ стного) непрерывным образом зависит от величин, над которыми это действие осуществляется. Поэтому, ведя вычисления с «до­ статочно большим» числом десятичных знаков, мы можем вы­ числить ы<л> с любым наперед заданным числом десятичных зна­ ков. Число запасных десятичных знаков, с которым ведутся вычисления для получения ы<'1> с заданным числом знаков, за­ висит и от избранного алгоритма и от h. Так, например в § 7 показано, что при решении прогонкой хорошо обусловленной краевой задачи число запасных десятичных знаков вовсе не воз-

для решения устойчивых задач могут требовать быстро возрас­ тающего числа запасных десятичных знаков, пропорционального l/li. Пример такого алгоритма приведен в п. 2 § 5. С уменьше­ нием h это число, вообще говоря, должно возрастать. Алго­ ритмы, в которых это число возрастает слишком быстро, счи­ таются неустойчивыми и практически непригодны для счета. Вопрос об исследовании устойчивости алгоритмов сложный. Примером такого исследования является обоснование прогонки (§ 7). Но в простейших случаях удается понять, каково требуе­ мое число запасных десятичных знаков, опираясь лишь на све­ дения об устойчивости разностной схемы и доказанную в п. 1

и ведя расчет с конечным числом десятичных знаков, можем до­

правой части Р'Цх), т. е. считать, что мы и^(х -f- h) вычислили точно, но вместо f{h)(x) использовали величину /(/1)(-<) + б/«. Так как такие ошибки совершаются во всех точках х, то величину б следует считать зависящей от х, так что б = б(х). Таким обра­ зом, в этом примере ошибку округления при вычислениях можно считать погрешностью 8(x)/h в задании правой части. Рассмат­ риваемая схема имеет первый порядок аппроксимации и устой­ чива. Поэтому, чтобы не испортить сходимость со скоростью п, мы должны вести вычисления с возрастающей точностью, а именно так, чтобы

ln(l//z) числом запасных десятичных знаков.

На этом примере мы показали, что в простых случаях ошибки округления при вычислении решения «<h> с точностью до мно­

устойчивых схем эти ошибки не мешают сходимости без потери порядка точности, если число десятичных знаков, с которыми ведется счет, медленно возрастает, как с 1п(1/А), где с — неко­ торая постоянная.