Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 418 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

70	ГЛ. 3. ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПРОГОНКИ
Такие возмущения коэффициентов и правых частей приво
дят,	как показывает		оценка	(10)		из § 6, к погрешностям в				ип,
не превосходящим		М**8. Здесь			М** опять-таки		зависит		только
от М.	(Если М «	Nr,	то М* =		N2r,	М** « N3r,	так	что	погреш
ность решения будет yV3rS.)
Если М, а тогда и М**, не зависит от N, то, совершая									при	вы
числениях по методу прогонки ошибки порядка б на									каждом
Шаге процесса (число таких				шагов		пропорционально		N),	мы	по

лучим в ответе ошибки не больше чем const-б.

Влияние ошибок на результат с ростом N не только не на растает, но даже и не накапливается из-за возрастания их числа.

Это замечательное свойство прогонки и послужило причиной ее широкого применения.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Р А З Н О С Т Н Ы Е СХЕМЫ ДЛЯ О Б Ы К Н О В Е Н Н Ы Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Часть вторая книги посвящена построению и исследованию разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравне ний. При этом мы введем основные в теории разностных схем понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости, которые но сят общий характер. Знакомство с этими понятиями, получен ное в связи с обыкновенными дифференциальными уравнениями, позволит в дальнейшем, при изучении разностных схем для уравнений с частными производными, сосредоточиться на мно гочисленных особенностях и трудностях, характерных для этого очень многообразного класса задач.

Г Л А В А 4

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

В этой главе мы рассмотрим вводные примеры разностных схем, предназначенные только для предварительного знаком ства с основными понятиями теории.

§ 8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации

1. Порядок точности разностной схемы. Этот параграф по священ вопросу сходимости решений разностных уравнений при измельчении сетки к решениям дифференциальных уравнений, которые они приближают. Мы ограничимся здесь исследованием двух разностных схем численного решения задачи

- ^ - + Л« = 0, 0 < * < 1 ,

(О

и (0) = Ь.

Начнем с простейшей разностной схемы, основанной на исполь зовании разностного уравнения

и (х + h) — и	(х)	+ Аи (х) = 0.	(2)
h

Разобьем отрезок [0,	1] на шаги длины h.	Удобно выбрать
h — l/N, где N — целое	число. Точки деления	занумеруем слева

72 Г Л . 4. Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е П Р И М Е Р Ы Р А З Н О С Т Н Ы Х С Х Е М

направо, так что ла

nh,

п — О,

Значение и,

полу

ченное по разностной схеме в точке хп,

будем

обозначав «„.

Зададим начальное

значение. Положим

«о =

Ь. Из разностного

уравнения

(2) зытекает

соотношение

ип

{1 — ЛЛ)и„_1,

откуда

находим

решение уравнения

(2)

при

начальном условии

UQ = b:

ип =

(1 -

Ahf

b = (1 -

Л/г)"""1 6.

(3)

Точное

же

решение

задачи

(1)

имеет

вид

и(х)

— Ье~Ах.

Оно

принимает

в точке хп

значение

и(хп)

= Ье-Ахп.

(4)

Найдем теперь оценку величины погрешности

приближенного

решения (3), Эта погрешность

в точке хп

будет

б (хп) =

[(1 -

Ah)x"lh

- е~Ах"\

Ь.

(5)

Нас интересует,

как

убывает

6(хп)

при

увеличении числа

точек

разбиения,

или,

что

то

же

самое,

при

уменьшении

шага

h — UN разностной сетки. Для того чтобы выяснить это, пред

ставим

(1 — Ah)"nlh

виде

л.гтг

in a-Ah)

(l — Ah)h=eh

A2h2

]

е~г

[ - * « + — + ° <«•>] _

- л , „ / -

* Я е

е-А*п

[ l +

i ! ^ L +

О (А2)] [1 +

(Л2)]

= =

e - ^ n +

hJ^Le-^n+0(h2).

Таким

образом, равенство

(3)

примет

вид

ип

— be~AXn + hb -^y~

e~A*n

О (Л2),

(3')

так что

b(xn) = hb^-e-Ax"

+ 0(h2)

= 0(h),

(6)

т. е. погрешность

(5)

стремится

нулю

при h—>0 и величина

погрешности имеет порядок первой степени шага.

На

этом

основании

говорят,

что

разностная

схема имеет

первый

порядок

точности

(не

путать

порядком

разностного

уравнения,

определенным

в §

1).

§ 8. П О Р Я Д О К Т О Ч Н О С Т И И А П П Р О К С И М А Ц И Я

Решим теперь

задачу

(1) с помощью

разностного

уравнения

u{x

+ n)-u(x-h)

+ А и ( х ) = 0

( 7 )

Это

не так просто, как может

показаться

на первый

взгляд.

Дело

в том,

что рассматриваемая

схема

является

разностным

уравнением

второго порядка, т. е. требует

задания

двух

началь

ных условий

и(х0)=

и(0) и u(xt)=

u(h), тогда как

интегрируе

мое уравнение (1) есть уравнение первого

порядка

и для него

мы

задаем только

и(0)=

Ь. Естественно

и в разностной

схеме

положить и0 = Ь.

щ. Чтобы

разобраться в этом, восполь

Не

ясно,

как задавать

зуемся

явной формой решения

уравнения

(7) (см. § 3, формулы

(6)):

ИЛ = «о [ ? 2

<7?

^ — < 7 2 "1+«,

<7» + — ! — q " ]

1 1

U L ^ 2 —<7i 1

<7г — <7i

2 1

<7s — <7i

Qs — Q\

2 J

?2"o — »i

„

gi»o ~

„п

(g)

где

<7, =

V 1 +

Л2 /г2

- Л / г =

1 - Л / г

+ -

^ + 0 (Л4), ]

(9)

? 2 - ( - l ) ( l + Л / г + ^

+ О ^ ) .

Разложения

(9) по формуле

Тейлора

корней

характеристиче

ского уравнения позволяют дать приближенные

представления

для q\ и qn.

Проведем

подробно

вывод

такого

представления

для

qn:

q ^

= \ l

0(h<))Xn'h==

Так

A}h

A3hs

какIn [Inl (1 +Ahz)+=^ z~- +~0+(h4-)у-=+ -О Ah(z4),+то- ~ + 0 (h4)

Поэтому

[ l + Z * 2 - ^ ] +

О (Л«).

(10)

будем

проводить

совершенно

аналогичной

выкладки

для

q", а выпишем

сразу

результат:

< 7 » = = ( _ 1 ) » И * « + О (А2).

(11)

74 Г Л . 4. Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е П Р И М Е Р Ы Р А З Н О С Т Н Ы Х С Х Е М

Подставив		приближенные		выражения для qf и q% в формулу (8),
получим
и — ?2"° — " l п
Un~~	п2.-<il— п. 41'		Яг~Я\
	_	?2«0 — »1		Л3хп
		<?2 -	<7l	6

— и, Яг -- <7i

Все дальнейшие выводы мы будем получать путем исследо

вания	этой	формулы.
Заметим,		что	если коэффициент	—— стремится	при
А - >0	к конечному		пределу о, то первое	слагаемое	qn
				Я2 —• Я\	1

правой части равенства (12) стремится к искомому решению

задачи

(1).

Так

как

( - 1 ) " \еАхп +

О (/г2)]

> (

Р И

Ч 6 Т

0 М '

— еАХп

при

/г

нечетном,

т. е. не

сходится

определенномупределу,

то

для

сходимости

к пределу при h-+0

второго

слагаемого

правой

части

равен

ства (12):

i i

( - i

[ H ^

+ о(л*)],

(13)

Ч\

необходимо потребовать, чтобы

выражение

— —

стремилось

к нулю при h —* 0.

Яг ~

Я\

Подведем итог всему

сказанному.

Для того чтобы решение разностного уравнения

u{x

h)-u(x-h)

+ A

u ( x

)

_ Q

сходилось к решению и = Ье~Ах

краевой

задачи

(1),

необхо

димо выполнение

условий

?'»•>-»' ->0,

->6,

(14)

Яг~Я\

V '

Напомним еще, что и0 мы условились задавать равным Ь. Ус ловия (14) подсказывают нам, как можно задавать щ. Оказы

вается, достаточно, чтобы	ui —>• и0 = b		при	h —»• 0. В самом деле,
<7i —*• -}-1, <?2 —" — 1 при h —>• 0,		и поэтому	при	h —>• 0
?i»o — » 1	?	Q <?2"0 — «1	>	t,

<7г — <7i

<7г — <?1

	§ 8 . ПОРЯДОК ТОЧНОСТИ И АППРОКСИМАЦИЯ			75
2. Скорость сходимости разностного решения. Теперь перей
дем к	изучению скорости	сходимости	при различных конкрет
ных способах выбора щ «		и(h).
Для	определения u(h)	естественно	воспользоваться	разло

жением решения дифференциального уравнения иг		Аи = О по
формуле Тейлора. Пользуясь тем, что в силу этого		уравнения
и' = —Аи, перепишем формулу Тейлора так:
и (*,) = и (0) -	h А и (0) + О (h2) ==«(0) (1 — Ah) + О (Л2).
Такое равенство	имеет место для точного решения	дифферен

циального уравнения. При приближенном решении, ограничи ваясь двумя членами этого разложения, можно положить

ы, = «о (1 — Ah).

Если мы решили ограничиться только одним членом, то пола гаем

Н\ —• UQ.

В первом из этих двух случаев мы допускаем в начальном зна чении ui ошибку порядка /г2, во втором — ошибку порядка h.

Выясним скорость сходимости в каждом из этих двух слу чаев задания начальных данных.

Положим

щ = Ь,

ux =

{\~Ah)b.

(15)

Тогда

(см. формулы (9))

g i t t o - t t i _

[\-Ah

+ Q{h*)]b-{\-Ah)b

..ь

<72 -<7,

—

- 2

+ 0 (А2 )

—

U(tl),

A2h22

A h

Ah)b

I -

A h -

^ j -

О (A«)

*fEft

- 2

о m

= H

Об)

Возвращаясь

равенству

(12),

легко

приходим

выводу, ко

торый и является нашей целью:

un = be-Axn

+ 0(h2).

(17)

Он

формулируется

так. Если

начальное

значение

щ задает

ся с точностью до величины порядка h2, то и погрешность в ре

шении будет порядка h2, т. е. разностная			схема имеет			второй
порядок	точности.				ui
Можно показать, что даже если задать			в качестве			точное
значение	Ье~Ах\	большей точности, чем порядка h2,		в	решении
добиться	нельзя. Советуем читателю в качестве			упражнения
доказать	высказанное утверждение.
Легко также проверить, что если в качестве «о задавать не
точно Ь,	а любую величину вида b + 0(h2),		то скорость			сходи
мости все равно		будет второго порядка.

Г Л . 4. Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Е П Р И М Е Р Ы Р А З Н О С Т Н Ы Х С Х Е М

Перейдем к рассмотрению второго изучаемого нами случая

задания начальных данных. Полагаем

При этом

щ =

« о =

Ь.

f ^ t

- " " -

2 + + ° о Т»У

~ Ь

+ 0

W .

_ _ „ ^

> - . _ „ +

I. ^

и, следовательно,

„„ = Ш=±

[е-л*п +

о (/г2)] -

( _

1)»

О (/г2)]

b+^Ahb

O (h2)} [е~Ахп

+ О (/г2)]

- ( - 1 ) " [LAhb +

0(h2)\[eAx»+0(h2)]

be~Axn

+ Ab

—Ахп

Ахп

L i i _ f —

д +

(/г2).

Таким образом, если допустить в начальных данных ошибку

порядка п, то и ошибка в решении					будет					порядка	h.
Подведем итог. Мы видели, что				рассматриваемая							разност
ная схема
u ( x +	h)-u(x-h)	+	А	и	(	х	)	=	=	0 ,
	2h
в отличие от схемы
u{x	+ h)-u(x)	+ А	и	(	х	)	:	=	0	>

может дать более высокую скорость сходимости, а именно схо димость с остаточным членом порядка /г2, а не порядка /г, как у второй из этих схем. Для того чтобы добиться второго порядка точности, надо, задавая точное ы0, выбирать ц4 отличающимся от значения точного решения дифференциального уравнения в точке х = х0 + h на величину порядка п2. Можно было бы по казать, что и w0 можно задавать не точно, а с ошибкой порядка п2. От этого порядок скорости сходимости не уменьшится. Уточ нение начальных данных до порядка п3 и выше не дает увели чения точности решения.

Если задавать	начальные	данные	с ошибкой порядка п, то
и решение получим	с ошибкой	того же	порядка.

§ 8. ПОРЯДОК т о ч н о с т и И АППРОКСИМАЦИЯ

3.	Порядок аппроксимации. Интересно							понять, с чем связано
то обстоятельство, что схема
		u(x + h)~u(x)		+ А	и	{	х	) = 0
оказывается		менее точной, чем схема
		и ( х + й ) - . В ( * - * ) +			А	и	( х	) = = 0 .
Эти	схемы	различаются	приближенными					выражениями
		и (х + h) — и (х)	"и	и (х +		h) — и(х — h)
		h	"и				2h

для производной du/dx в точке х. Естественно поэтому предпо

лагать,

что в первой схеме производная

заменена

менее

точным

выражением, чем во второй. Так оно и

есть

на

самом

деле.

Заменим u(x-\-h)

и и(х

— h)

их тейлоровскими

разложе

ниями:

О (/г

и (х + h) = и (х) + и' (х) h + и" (х) 42" +

(х)^ ' 46- +

и (х-

h) =

u(x)

- и' (х) /г +

Л2

/// /

ч h

О (Л4 ).

и" (х) Щ—- -

и'" -и'"(х)- -f& - +

Пользуясь этими

разложениями,

получим

"('

+ *>-«(*>

= в/ W

+ „г {Х)

* +

(Л»),

в ( , + Л ) - . в ( х - А ) =

ц , ( х ) +

ц , „ ( х )

{ h %

т. е. в

первом

случае мы

имеем

аппроксимацию

производной

лишь с первым

порядком

точности, а во втором — со вторым по

рядком.

Рассмотренные примеры наводят на мысль, что порядок ско рости сходимости решений разностных уравнений может быть сделан равным порядку аппроксимации производных дифферен циального уравнения.

Однако оказывается, что в такой общей формулировке эта гипотеза неверна-. На разностные схемы, для которых будет до казана ее справедливость, нам придется наложить одно весьма существенное ограничение — требование устойчивости. Необхо димость этого ограничения станет ясна из примера, который мы рассмотрим в следующем параграфе.

78ГЛ. 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИМЕРЫ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

§9. Неустойчивая разностная схема

1.Способы аппроксимации производной. Займемся снова разностными схемами для приближенного интегрирования про стейшего дифференциального уравнения и' + Аи = 0. Как мы

уже видели, для составления разностной схемы, приближаю щей это уравнение, достаточно заменить производную и' какимлибо аппроксимирующим ее разностным отношением. Так, на пример, мы рассматривали схемы, для которых производная и' заменялась через

и (х + А) — и (х)

и(х +

А) — и (х — А)

2/z

Очевидно также, что любое

выражение

вида

и (х + А) — и (х — A) .

•. и (х + А) — и (х)

2А

+ (1 -

будет

приближать

и'(х).

В самом

деле, подставим в это

выра

жение

тейлоровские

разложения

для u(x +

/i)

и ц(х —/г):

и (х + К) =и

{х) + и' {x)h +

(/г2),

и(х

h) =и{х)

и'(x)h

(/г2).

Тогда

получим

и (х + А) — и (х — А)

, / 1

\ и (х + А) — и (х)

h (1 — w

—

= а .

[и (х) + u'(x)h +

0 (А2)] -

[и (х) -и'

(x)h +

0 (А2)]

+ (1 - v )

М*) + "Ч*)* + о ( » ' ) ] - « ( * )

= „ / { х )

о { h ) .

Пользуясь такого рода аппроксимацией производной, можно получить целое семейство разностных схем, зависящих от чис лового параметра.

Эти схемы будут иметь вид
ц и ( * +	* ) - " ( * - й ) + ( 1 - ц )	u { x + h ) - u {	x )	+Аи(х) =	0.	(1)
Каждому	значению параметра	(л отвечает	своя схема. Изучению
схем, получающихся при и. =		0 и u. = 1, был посвящен			§ 8.
2. Пример неустойчивой разностной схемы. Рассмотрим те
перь еще одну схему такого		вида, которая		получается	из	(1)
при ц =	4:

4 u{x + h)~u{x-h)

_ з u{X + h)-u{x)

+ A u { x ) = = Q t

( 2 )

			§ 9. НЕУСТОЙЧИВАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА								79
Ее можно переписать еще так:
		— 2u(x — h) + (3 + Ah)u(x)				— u(x + h) = 0.					(20
Как и в ранее рассмотренных примерах, мы будем										получать ре
шение	на отрезке [0, 1], разбитом точками							разностной			сетки на
N равных шагов, каждый длины h =						l/N. Координата					х„ точки
сетки	определяется			как хп = nh = n/N.
Решение разностного уравнения выписывается явно форму
лой
« я —	И0		42		ЯП2 W				Цпх +
« я —	И0	42	- О , 41	4 2 - 4 1	ЯП2 W		1	4\	Цпх +	42	- 4\
		42	— 4\	4 2 - 4 1			42 —	4\		42	- 4\
где qx	и q2		— корни								(3)
где qx	и q2		— корни	характеристического			уравнения
				- 2 + (3 + Ah) q -		q2	= 0.

Вычислим <7i и q2:

3 + Ah - | Л + 6Ah + A2h2

3 + Ah + V\ + 6Ah + A2h2

<72 = '

=	1 - Ah +	2A2h2+0(h3),
		(4)
=	2(1 + Ah) +	0(h2).

Мы будем пользоваться еще приближенными выражениями для qnx и qp

qn=	[1 _ Ah + О (h2)]n = [1 -			Ah +		О (/z2 )f	=
						: е - Л ; с " +			0(/г),	(5)
<?2" =	[2(1 +	Ah) + О (/г2)]" =		[2(1 + Ah) + О (/г2)]V й					=

						= 2x*/h[eAx"		+	0(h)\.
Подставив		выражения (5) в формулу (3), получим
ил	=	[е-"п	+ о (h)} +			[И*- +		О (h)] 2xnl\		(6)
	9г —	4\
Прежде		чем исследовать, к чему стремится ип							при h —• 0,
мы	должны	указать, как задаются				начальные		значения Но и Uj
разностного		решения.
Так же, как и в § 8, будем					разыскивать		решение, удовлет
воряющее условию			и(0)—Ь,	и возьмем в качестве					разностных
начальных		данных	«о = Ь и Ui =			b(l—Ah).		Подставим		эти
начальные		данные	в формулу		(6)	и упростим		по	отдельности

каждое* слагаемое.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 418 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ