книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

распространение

звука:

dv

dw

~~дТ~

дх

'

оо

<

л; <

оо,

0<t

<

Т,

dw

dv

I

(25)

~ЬТ ~~ "дх'

V (X,

0) =

ф, (х),

w

(х,

0) =

ор2

(х),

—

ОО <

X <

ОО.

Положим

\

г|з, (х)

v

(х,

t)

(

и запишем

(25)

в векторной

форме:

ди

*

ди

Л

со

<

X <

оо,

0 <

* <

7\

(25')

и ( х ,

0) =

г|з(х),

— оо <

х <

ОО,

где

0

л =

1

0

Исследуем

две

разностные

схемы,

аппроксимирующие

зада­

чу (25').

П р и м е р 8. Рассмотрим

разностную схему

А

г

= 0 ,

р =

0, 1

ir/Tj — 1,

(26)

Ищем

решение

векторного

однородного

разностного

уравнения

в виде

(13):

, р /

0

iam\

л р

I „

Я — 1•и0 - Л е £ а - 1 и° = 0,

или

(Я — 1) «° — г (е'а — 1) Лы° = 0, r = -J-,

(27)

§ 25. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

231

Запишем

систему

(27) в развернутой форме:

Я - 1

- r ( e i a -

Д о / . , - 0 .

(28)

, — r(eia—l)

Я - 1

Система

линейных

уравнений (28) имеет

нетривиальное

реше-

(v°

\

ние u° — I ^ 0 I лишь

при тех Я = Я(а), при которых определи­

тель системы (28) обращается в нуль:

Отсюда

( Я -

\ f

= r2(eia-

I) 2 .

Я, (а) =

1 -

г +

feia,

Я2 (а) =

1 +

г — reia.

Рис. 25.

Корни

Я] (а)

и Я2 (а)

пробегают

соответственно

окружности ра­

диуса г с центрами в точках

1 — г

и

1 + г

соответственно

(рис. 25). Условие

устойчивости

Неймана

не выполнено

ни при

каком

г.

П р и м е р

9. Рассмотрим

разностную схему

ит

ит

л

ит+\

±

um-r\

^ -

т

- я г А*К+-2иРт+

иРя_,) = 0,

т

А ^

4

(29)

р = 0, 1,

[ Г / т ] - 1;

т = 0, ± 1 , . . . .

"т =

т

= °> ± 1 >

ления «° =

( 0 I . Приравняв этот определитель

нулю, получим

квадратное

уравнение

относительно

Я =

Я(а),

из которого на*

ходим

Я1

=

1 + ir sin а — 2r

2

sin2

,

\,j

— 1 —\— и з ш и — £.1

0111

^

(30)

Я2

=

1 — ir sin а — 2r2

s i n 2 - j .

Спектр, задаваемый

формулами (30), лежит в единичном

круге

при г ^ 1.

4.

Интегральное

представление решения. Рассмотрим

задачу

Коши

вида

h

uP + i _|_

h

up

+ l _1_ h

uP+l

p = 0, 1, . . . . [ Г / т . ] - 1,

(31)

0,

± 1 ,

с постоянными коэффициентами, предполагая, что

b^e-ia

+

bQ + 61 е£ 'а Ф 0,

0 < а < 2 я .

(32)

Разностные схемы (1), (15), (18), (19), (21) приводятся

к виду

(31),

если

обе части

входящих в них разностных уравнений

умножить на т и если q>(xm, tp)

== 0.

уравнение

Соответствующее

(31) однородное

р =

0,

1,

[Г/т] -

1,

[ (31')

т =

0,

± 1 ,

при любом

а , 0 ^

a

2я, имеет решение

. Р / \

1 Р / \

„«о/я

(33)

«m (а) =

% (а) <?

риодом 2я и интегрируемую с квадратом на

отрезке 0 ^

a ^

2я

функцию

2л

=-C/(a),

f t / 2

(а)

(34)

2я

у

и произведение проинтегрируем по а в пределах от нуля до

2я;

2я

ирт-

V 2л j U (а) К" (a) eiam

da.

(35)

Благодаря (34)

интеграл (35)

имеет смысл, а в силу линей­

ности однородного

уравнения

(31')

сеточная функция

(35)

бу­

дет решением этого разностного уравнения

(как линейная ком­

бинация решений

(33)).

§ 25. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

233

S \<f=- 2 К | 2 < ~ ,

(36)

nv=—oo

m=—оо

1

определим

периодическую

интегрируемую с квадратом функцию

U(а)

формулой

оо

^

-iam

U(a)=*

2 * " - W "

( 3 7 )

Т е о р е м а

1.

Сеточная

функция

(35)

является

решением

разностной

задачи

Коши (31).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из теории

рядов

Фурье известно, что

при

условии

(36) ряд, стоящий в правой

части формулы (37),

сходится

(квадратически

в

среднем)

к

некоторой

периодиче­

ской

функции

0(a)

с интегрируемым

квадратом. Обратно, вся­

можно разложить в ряд Фурье (37), определив

для этого ко­

эффициенты разложения i|)m по формулам

2я

грт =

- 4 = - Г U(a)eiamda.

(38)

Между функцией U(а) и коэффициентами

г[зт ее ряда

Фурье

существует связь

2я

J | £ / ( a ) p d a =

2 |t|) m p,

(39)

О

m

называемая равенством

Парсеваля.

Теперь

видно, что при р = 0 функция {«^},

получаемая по

формуле

(35), совпадает

с {t|>m},

т. е. (35)

есть

решение раз­

ностной задачи Коши (31').

Интегральным представлением

решения

(35) можно

пользо­

Определим

нормы равенствами

1И = 2 К | 2 ,

1«(А>1„

= т а х | И ,

m

h

p

фР

(40)

=

т а х (||

II, т а х | | ф р

Т е о р е м а

2. Для устойчивости

разностной схемы (31) по

начальным

данным,

т. е. для выполнения

неравенства

I и* К

с II и° II

(||и°|| =

||<||, р = 0,

1, . . . . [Г/т] — 1)

234

ГЛ. 8. ПРИЕМЫ

ИССЛЕДОВАНИЯ

УСТОЙЧИВОСТИ

с постоянной

с, не зависящей

от h (« от т =

т (я)),

необходимо

U достаточно,

чтобы спектр

Х =

%(а) лежал

в круге

(10):

А (а) К

1 + с: т,

(41)

где

С\ не зависит

от h (и от т).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Сначала

установим

д о с т а т о ч ­

н о с т ь .

При условии

(41), очевидно,

| Л ( а ) | р < | 1 + С 1 т Г т < ^ г .

(42)

Из

представления

(35)

в силу

равенства

Парсеваля

и нера­

венства

(42)

следует

2л

\и»\\

=

J

I К" (a) U (a) f da

2я

<ес'т

' | U (a)

fda

= ес'г||ы°1|

= с и '0 1

Н е о б х о д и м о с т ь .

Покажем

теперь,

что из

невыполне­

ния

(41) при любом

фиксированном

сх

следует неустойчивость.

Использовать

неограниченность

решения

р

, р / ч

jam

,

Um — AF

(а) в

имеющую

место

в

этом

случае,

для доказательства

неустойчи­

вости при выбранной

норме

(40)

нельзя, так как {eiam}

не при­

надлежит

пространству

сеточных

функций,

у которых

сумма

квадратов

модулей их значений

ограничена.

Для

доказательства

неустойчивости

заметим

сначала, что

всегда можно выбрать интегрируемую с квадратом

функцию

U(а)

так, чтобы выполнялось неравенство

2я

±$\X(a)fP\U(a)\4ap,

2я

> m a x [ U ( a ) | 2 " - e ] ~

)U(a)fda

(43)

где

е > 0 — произвольное.

В самом

деле,

если

max | А (а)

== 1 Я» («*) 1, то положим

а

U(a)

=

1,

если

а е

[а' -

й, а' + 6),

0,

если

а s

[а* — б, а* + б].

§ 25. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

235

Благодаря

непрерывности

функции

| А ( а ) | 2 р

при достаточно

малом 6 = 6(e) будет

выполнено

(43). Если

(42) не выпол­

нено, то найдется

последовательность

hh

и соответствующая по­

следовательность

ТЙ = г (hit),

при которых

ск

== [max | A (a, hk) | ]tr / T f t J ~> со

при k - > с о .

а

Положим е =

1 и выберем

U(a) так, чтобы выполнялось (43).

За

последовательность

{«^}

примем

последовательность

коэф­

фициентов Фурье функции U(а). Тогда

(43) при р =

[Г/т] при­

мет вид

11"[ 7 - / т 1 11>(сД-1)11"°11,

с А - > о о ,

при

h->0,

что и означает

отсутствие

устойчивости

(6) по начальным дан­

ным.

3. Для устойчивости

разностной

задачи

Коши

Т е о р е м а

р = 0, 1, ... . [7'/т],

} (31)

Um =

^m>

>П=0,

± 1

при

сделанном

выборе

норм

(40) необходимо

и достаточно,

чтобы выполнялся

спектральный

признак

устойчивости

| А ( а ) | < 1

+ с,т.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Н е о б х о д и м о с т ь очевидна, так

как

при невыполнении

этого

признака

в силу

теоремы

2 нет

устойчивости по начальным

данным.

Докажем д о с т а т о ч н о с т ь .

Отметим, что задача

b-iWm-i

-\-hwm + bxwm+x

= yn,

m = 0,

± 1 , . . . ,

(44)

при любой {фт }, 2l Фт I 2

< °°. имеет единственное решение {wm},

для

которого

Si wm i2< °°-

Это решение удовлетворяет

оценке

2i\wm\2<cl21\q>m\\

(45)

где

С\ — некоторая

постоянная. В самом

деле,

благодаря

усло­

вию

(32)

однородная

задача,

отвечающая

(44), не

имеет

ограниченных

решений, /отличных

от нуля. Это обеспечивает

единственность. Далее, в силу

§ 3 задача

(44)

имеет

фундамен­

тальное решение

Gm,

\Gm\

<

срт,

р < 1.

Функция

®т=

2

Gm-ftCP*;

fc=—оо

и является

решением,

удовлетворяющим

(45).

Заметим, что

если

за

норму

принять

не

(40),

а

равенство

j | и р || = sup

I и р т

|, то

спектральный признак | Я ( а )

| <

1 + С\% пере

m

выяснения других свойств разностной схемы.

Если,

например, спектр

X =

Х(а)

при а ф

0 лежит

строго

внутри

еди­

ничного круга,

то

решения ирт =

кр

(а) е'а т ,отвечающие

а ф 0, при переходе

от слоя к слою гасятся, умножаясь

на \(а).

Из формулы

(35)

видно,

что

при [Г/т] =

р

получается сеточная

функция, отвечающая

функции Кр (a)

0(a),

которая сосредоточена на длинных волнах (а

«

0). Разностная

схема

«вы­

глаживает» начальные данные.

5. Выглаживание разностного решения как

действие аппроксимационной

вязкости. Мы

видели, что спектр

разностной схемы

« Р + 1

_

, , Р

, , Р

_ „ Р

х

h

~

'

m =

0,

± 1 , . . .

(46)

р =

0,

1,

[Г/т]

- 1,

ffi=0,

± 1

аппроксимирующей

задачу

Коши

& - »

-»<«<«.

°«<т,

1

ы (А:, 0) =

гр (Д;)

— О О < Л : < О О 1

j

есть

окружность

X =

1 — г +

ге1а,

0 ^

а <

2л.

При

г <

1 каждой точке

аФО

соответствует

точка

спектра Х(<х),

Щ а ) | <

1.

Это

значит, что

ка­

ждая

гармоника

u°m

= e i a m

h ,

заданная

в качестве

начальных данных,

га­

сится, умножаясь

на

Х(а),

при каждом переходе со слоя на

слой; решение с

течением времени

выглаживается,

ха^кУкак

при

малых

а/г

(низкочастотные

дачи

(47) и(х,

t)

!=^)(х-\-1)

с течением

времени не

выглаживается — оно

получается из начальных данных сдвигом влево. При

этом

решение

задачи

(47),

отвечающее

начальному условию

и(х,

0)

=е'ах,

есть

и(х,

t)

—eiateiax

и множитель

е ш

по модулю

равен

единице.

Вычислительный

эффект вы­

(46),

можно понимать как

проявление аппроксимационной

вязкости,

прису­

щей

этой схеме. Объясним,

что мы понимаем под аппроксимационной

вяз-

§ 25. СПЕКТРАЛЬНЫЙ

АНАЛИЗ

РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

237

„

ди

ди .

„

костью. Ьсли

уравнение

= О считать простейшем моделью

уравне­

ний движения

невязкого газа, то уравнение

ди

ди

д2и

-ЬТ--Ш

= ^-д¥

<48>

равной

ц >

0,

выглаживающей

решение. При начальном условии

и(х,0)

=

= е'"решение

уравнения

(48) имеет вид

и (х,

t) =

е -

^ + Ше1ах

e

l (

а > t

)

е1ахщ

При \х — О(т) и

г* =

т гасящий

гармонику

е 1

а х

множитель Я (а, 0

можно

записать так:

2 2

I (а, т) =

1 -

ца 2 т + гат -

~

-

+ о (т2 ).

(49)

Будем

предполагать, что решение и(Л> разностной

задачи можно доопре-"

делить

вне сетки так, чтобы полученная

при этом

гладкая функция

и^Цх,1)

была равномерно по h ограничена

вместе со

своими

производными

до чет­

вертого порядка.

(х, t),

Тогда

в точках сетки

пользуясь

формулой

Тейлора,

можно

на­

писать

_

u(h)

(х, t + т) - » w

(х, t)

u w

(х +

h,t)-

u(h) (х, t)

t

h

=

du{h)

(x, t)

du{h)

(x, t)

x d2uw

(x, t)

^

> )

~

dt

dx

+

2

dts

L

J

- 4 ^ ^ l + * 4 > (*./)• <*>>

Здесь

и

далее

z2h\

— равномерно

по h

ограниченные вместе со

своими производными функции.

Из равенства

(50) следует, в частности,

dt

dx

h1 4h)

(.х,

t).

Дифференцируя это тождество по t,

получим

дЧк)

д

( d u w \

де[Н)

d2uih)

de2h)

de2h)

dzuih>

Подставляя

выражение

для d2u^ldt2

в равенство

(50) и отбрасывая

члены

второго

порядка

малости,

получим

дифференциальное

уравнение

вида

(48):

du(h)

du(h)

_ h

- x

d 2 fJ № )

dt

dx

2

дхг

'

(

'

§ 26. ПРИНЦИП

ЗАМОРОЖЕННЫХ

КОЭФФИЦИЕНТОВ

239

\J 3. Показать,

что разностная схема

и

р + 1

-

и"

,р-И

,.Р+1

А-

1т-\

+

2h

= 0 >

т = = 0 ' ± 1 — .

Р = 0, I, . . . .

ит

=

Ъ{хт),

т = 0,

± 1 , . . . .

аппроксимирующая

задачу

Коши

^ - +

Л - ^ = 0,

— о о < д ; < оо,

f >0,

dt

дх

и(х,

0) = ty (х),

— оо < л: < оо,

с порядком 0 ( т + А2 ),

удовлетворяет

спектральному

признаку устойчивости

при любом г — xfh и любой постоянной А.

V4. Исследовать разностную схему с пересчетом

для

решения

задачи

Коши uf +

Аих

=

0, и(х,0)

= ф(х):

И п» , л " т + ' / 2

-ит-Ч2

_ п

т =

0,

± 1 , .. .

*

+ Л

А

° '

Р =

0,

1

/п =

0,

± 1 , . . .

А = const,

где

промежуточная

сеточная

функция и р

+ 1 / г

— {«m+y2 }

опреде­

ляется по ир =

{u^j] в два этапа: сначала

вычисляется vp

— {у^} как реше­

ние разностной

задачи

r.P+Va

„Р

.

•

„Р+'/г _

„Р+Vi

м т

vm+l

vm-l

= 0, m =

0, ± 1 ,

т/2

+

А

2h

'

а потом и P+V*=

fT T P+'A} п 0

формулам

иР+'Л . . ( l - o ) .

„Р + '/2

P+VJ

vm+2

^

vm-\

°т+1

Показать, что если параметр

Интерполяции а лежит на отрезке 0 ^

а ^ 0,25,

то при любом г =

т/Л =

const выполнен спектральный

признак устойчивости.

При а = 0 весь спектр лежит на единичной окружности, а при 0 <

а <; 0,25

он располагается внутри единичного круга

и касается

этого

круга

лишь при

Я = 1. Собственному

значению X =

1 отвечают

собственные

функции

ит =