книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

320 ГЛ. 11. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Если норма этой функции велика, то ее округление дает зна­ чительный по абсолютной величине вклад во все гармоники. Мо­ жет оказаться, что вклад, полученный некоторыми гармониками, при дальнейших итерациях не погашается и сильно искажает

а < ц < Ъ /=1

при умеренном значении В.

Вработе В. И. Лебедева и С. А. Финогенова, ЖВМ и МФ 11,

№2, (1971), и в работе А. А. Самарского [17] указаны различ­ ные целесообразные способы нумерации параметров и освещена

история вопроса. Приведем результаты работы В. И. Лебедева и С. А. Финогенова. В ней предполагается, что k является сте­

марским, формулируется несколько сложнее, но при этом k не

§37. Метод Федоренко

Вработе Р. П. Федоренко, ЖВМ и МФ 1, № 5 (1961), пред­ ложен метод итерационного решения разностных эллиптических задач, названный им релаксационным. Для уменьшения нормы

от М. Напомним, что наиболее быстросходящийся среди рассмо­

ничением является требование «плавности», «гладкости» первых собственных функций, которое для эллиптических задач обычно выполнено.

В простых примерах экономия машинного времени по сравне­ нию с лучшими в смысле скорости сходимости другими итера­ ционными методами убедительно подтверждается уже при М т 50. Надо иметь в виду, что логика организации расчета ре­ лаксационным методом существенно сложнее, как мы увидим, чем логика расчета, скажем, по схеме Ричардсона. Поэтому ма­ шинное время существенно зависит от качества программы.

Простейшая оценка скорости сходимости (для разностной аппроксимации уравнения Пуассона в квадратной области на квадратной сетке при заданных значениях решения на границе) была получена Р. П. Федоренко, ЖВМ и МФ 4, № 3 (1964).

В работе Н. С. Бахвалова, ЖВМ и МФ 6,.№ 5 (1966), иссле­ дована сходимость метода Федоренко и был получен тот же ре­ зультат для разностного аналога первой краевой задачи в пря­ моугольнике для общего эллиптического уравления с гладкими

коэффициентами

аналогичный результат для разностной аппроксимации третьей краевой задачи для самосопряженного эллиптического уравне­ ния в произвольной двумерной области с гладкой границей.

Обоснования довольно громоздки, поэтому мы ограничимся качественным описанием идеи метода и самого алгоритма Федоренко, отсылая за доказательствами к оригинальным работам и

который в целом сходится очень медленно, но неравномерно на различных гармониках. Погрешность е р = uv — и в соответствии с (10) § 35 записы­ вается в виде конечного ряда Фурье

щая отношения к искомой поправке, при интерполяции тоже дает случайный

вклад в негладкую составляющую полученной при интерполяции функции V.

Итак, гладкая компонента разности U — V близка к гладкой компоненте искомого решения « = U — v, но негладкая компонента не очень мала и но­ сит случайный характер.

гасит привнесенную при интерполяции негладкую составляющую погрешности, которую итерации (2) гасят почти вдвое за один шаг.

2. Описание алгоритма. Ускорение сходимости, достигнутое за счет ис­ пользования укрупненной сетки и итерационного процесса (2*), может ока­ заться недостаточным. При большом М (мелкой сетке) задача (1*) на укруп­ ненной сетке все еще трудоемка. Поэтому при ее решении в свою очередь целесообразно проделать еще одно укрупнение сетки вдвое, при решении задачи на вчетверо укрупненной сетке снова использовать процесс удвоения сетки и увеличения т и т. д. В экспериментах Р. П. Федоренко сетка укруп­ няется не вдвое, а втрое. При М « 100 оказывается достаточным двух укруп­ нений. Будем считать для простоты, что М = 2*, т. е. М является некоторой степенью двойки.

ваем задачу на еще вдвое укрупненной сетке, делаем несколько итераций с шагом т** = 4т* = 16т и запоминаем результат V**. Этот процесс вычисле­ ния поправок к поправкам на вдвое укрупненных сетках продолжаем k раз, пока не дойдем до самой крупной сетки и поправки ?<-h '\

ции ошибку. Результат этих итераций интерполируем на еще вдвое более мел­

итераций (2) над U — V, получим результат.

ЧАСТЬ ПЯТАЯ

УСТОЙЧИВОСТЬ э в о л ю ц и о н н ы х

РА З Н О С Т Н Ы Х КРАЕВЫХ З А Д А Ч КАК ОГРАНИЧЕННОСТЬ НОРМ

СТЕПЕНЕЙ НЕКОТОРОГО О П Е Р А Т О Р А

В предыдущих частях книги много внимания было уделено исследованию устойчивости разностных краевых задач Lhiftc>= = /<Ч Была исследована, в частности, устойчивость некоторых разностных схем, аппроксимирующих задачу Дирихле для урав­ нения Пуассона. Это — стационарная задача: ее решение не за­ висит от времени. Однако основное внимание мы уделили эво­ люционным задачам, которые отвечают процессам, протекаю­

разностных краевых задач лучше развиты. Отчасти это объяс­ няется возможностью рассматривать в ряде случаев стационар­ ные состояния как результат стабилизации процессов, проте­ кающих во времени.

При исследовании устойчивости эволюционных разностных задач мы пользовались принципом максимума, энергетическими неравенствами, спектральными признаками и другими прие­ мами. Во всех этих приемах неявно используется специальная структура эволюционных разностных схем, в силу которой реше­ ние задается на одном или нескольких начальных времен­ ных слоях сетки, а затем шаг за шагом вычисляется на после­ дующих временных слоях. Здесь мы отразим слоистый характер эволюционных разностных схем в самой их записи, поставив в соответствие разностной схеме некоторый линейный оператор Rh,

ным значениям этого решения на следующем временном слое. Выбор этого оператора можно осуществить по-разному. Мы бу­ дем выбирать его так, чтобы устойчивость разностной схемы ока­ залась равносильна ограниченности норм его степеней. Это по­ зволит с единой точки зрения взглянуть на уже встречавшиеся приемы исследования устойчивости эволюционных разностных краевых задач, как на способы исследования свойств степеней оператора Rh, а также сформулировать понятие спектра семей­ ства разностных операторов и спектральный признак устойчиво­ сти несамосопряженных разностных краевых задач.

КОНСТРУКЦИЯ ОПЕРАТОРА ПЕРЕХОДА

§38. Слоистая структура решений эволюционных задач

Во всех рассмотренных выше примерах эволюционных раз­ ностных схем