книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

достаточно большую квадратную сеточную область и рассмотрим оператор Л ^ + Л т о над функциями из U'h, определенными на сеточном квадрате и обращающимися в нуль на его границе.

Доопределим каждую функцию и' из U'n до некоторой функ­ ции и" из U'h, положив ее тождественно равной нулю во всех тех точках сеточного квадрата, которые не принадлежат перво­ начальной области. Легко видеть, что для каждой такой функ­ ции благодаря ее обращению в нуль на границе первоначальной области выполнено равенство

Поэтому при переходе от формул (18) к формулам

"& vh

Во многих случаях можно применять вариационные методы оценки собственных значений, аналогичные вариационным ме­ тодам для дифференциальных уравнений. Например, первое

где норма оператора задается с помощью скалярного умноже­

разностных схем в гильбертовом пространстве указаны необхо­ димые и достаточные условия устойчивости в терминах линей­

Приведем здесь лишь два результата из этой теории.

Пусть U'h — евклидово пространство с некоторым скалярным

где Ah и Bh — самосопряженные операторы, причем Bh > 0. Определим энергетическую норм$ || и \\в^ в пространстве U'h,

положив

Как показано в п. 5, оператор Rh является самосопряжен­ ным в смысле скалярного умножения (21) и утверждение тео­ ремы равносильно утверждению, что все собственные числа Xh оператора Rh лежат на отрезке —1 Я ^ 1 в том и только том случае, если выполнены условия (28). Докажем это по­ следнее утверждение.

Пусть выполнены условия (28). Умножим равенство (22) скалярно на собственную функцию грМ оператора Rh. Получим

**UWW. *W J-[^+W , Л откуда

мента u e t / J по ортонормальному в смысле скалярного умно­

помощи спектрального подхода, который здесь не удается применить из-за несамосопряженности оператора Вн.

ЗА Д А Ч И

1.Пусть оператор b = Rna, задан формулами

Г Л А В А 13

СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Здесь мы покажем, что по спектру несамосопряженного опе­ ратора Rh нельзя судить об устойчивости разностной краевой задачи в ограниченной области, введем понятие спектра семей­ ства операторов {Rn} и рассмотрим спектральную постановку вопроса об устойчивости, остающуюся разумной и в случае не­ самосопряженных разностных краевых задач в ограниченных об­ ластях. Будет указан необходимый и близкий к достаточному спектральный признак устойчивости.

§42. Спектр семейства операторов {Rn}

1.Необходимость усовершенствования спектрального при­ знака устойчивости. В гл. 12 было показано, что обычно эволю­

ционные разностные краевые задачи можно привести к виду ыр+i = RhUp + трр,

ц° задано

так, чтобы устойчивость на интервале времени 0 ^ t ^ Т была равносильна равномерной по h ограниченности норм степеней оператора перехода Rh, т. е. оценке

установлен в § 25 и для разностной задачи Коши с постоян­ ными коэффициентами в случае двуслойных разностных схем относительно одной неизвестной функции независимо от того, имеет ли место самосопряженность. Однако в общем случае не­ самосопряженных разностных краевых задач в ограниченных областях необходимый признак (3) очень далек от достаточного и совершенно неадекватен вопросу о равномерной ограниченно­

vM = Q, r = x//i. Его матрица имеет вид

366 ГЛ. 13. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ

ственные значения операторов Rn, слишком груб в случае неса­ мосопряженных операторов Rh: в нашем примере он не улавли­ вает неустойчивость, имеющую место при 1 < г 2.

2. Определение спектра семейства операторов. Пусть линей' ный оператор Rh определен на линейном нормированном про­ странстве U'h-

Будем обозначать через {Rh} совокупность операторов Rh при всех тех значениях h, которые принимает параметр h, характери­ зующий густоту сетки. По самой природе разностных схем шаг сетки h может принимать сколь угодно малые положительные значения.

Комплексное число К будем называть точкой спектра семей­ ства операторов {Rh}, если для любых положительных h0 и в можно указать такое h, h •< ho, что неравенство

| | Д А и - Я и | 1 < в | | и Ц

{шеет некоторое решение и, к е U'h.

При этом допущении доказываемое утверждение очевидно. По­

( l + 6 ) p > 2 t f ,

1 - ( 1 + с + с 2 + . . . + С - 1 ) 8 > | .

По определению точки спектра семейства операторов {Rh}, можно указать сколь угодно малые положительные Н, при кото­ рых существует вектор и е £//,, являющийся решением нера­ венства

Число h во всем этом построении можно считать настолько малым, чтобы р было меньше, чем Po(h).

Ввиду произвольности К доказано наше утверждение о том,

4. Обсуждение понятия спектра семейства операторов {Rh).

Начнем с того, что обратим внимание на аналогию между опре­ делением точки спектра семейства операторов {Rh} и следующим определением точки спектра какого-либо оператора R, которое приводится в курсах функционального анализа. Мы будем в ка­ честве R брать оператор Rh при некотором фиксированном h.

Точка X на комплексной плоскости называется точкой спек­ тра оператора Rh, если при любом положительном е неравенство

ной плоскости, которые получаются путем предельного перехода при /г-* О из точек спектра оператора Rh, когда И—+0 по все­ возможным подпоследовательностям. Но, вообще говоря, это

этот необходимый спектральный признак устойчивости не вы­ полнен: неравенство \ Rph\ < ^ н е может выполняться равномерно ро h.