Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

130 ГЛ. о. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Нормы || • |!у и || • \\F h введем равенствами

II « ( W	\\и„ =	max \| « „ \| ,
		п
\f{h)h„	=	а	max[\| а \|, \| р \|, max\| q>„ \| ] .
		Р

Для исследования устойчивости постараемся записать раз ностную схему в форме (13) и свести доказательство к получе нию оценки | | ^ С. Перепишем разностное уравнение (20) в виде

				2Ahun - f 2/гф„.
Записи его в форме		(13) мешает			то, что оно СЕязывает не два,
а три последовательных значения: ип~\,							и п ,	un+i- Чтобы		прео
долеть эту трудность,		положим
				ип+1
Тогда пара	равенств				Un	J '
Тогда пара	равенств
	ы„+, = « „ _ ! — 2Ahun +						2Лф„,			(21)
	ип	—	tin							(21)
	ип	—	tin
выражает	компоненты		вектора		уп	через		компоненты		векто
ра уп-\-			2Ah	1
	ип+\		2Ah	1		ип	J +	h	2ф„
			1	0		ип-х	J +	h	0
Мы записали задачу		(20) в форме				(13), где
			2Ah	1		9п	2ф„
			1	0J'		9п		0
			1	0J'				0

' (1 — Ah) а + /гф0

Введем норму в двумерном пространстве Y, которому принад лежат уп и р„, по формуле

	а	= max(\|a\| , \| р [ ) .
	LP	= max(\|a\| , \| р [ ) .
	LP

Тогда нормы

	§ 14.	ДОСТАТОЧНЫЙ		ПРИЗНАК	УСТОЙЧИВОСТИ				131
к а к	л е г к о в и д е т ь ,	у д о в л е т в о р я ю т у с л о в и я м				(17).	П о э т о м у		о ц е н к а
Rl	Y<\\ Rh\\y-	~2Ah	I
Rl	Y<\\ Rh\\y-		О
			О
		< ( 1 + 2 \| Л А \| ) я < е * 1 Л 1 ,					« = 1 , 2		N,
д о к а з ы в а е т у с т о й ч и в о с т ь .
	П р и м е р 3.	И с с л е д у е м у с т о й ч и в о с т ь р а з н о с т н о й с х е м ы
				Т О Й Ч И В О С Т 1
	ип+1 — 2ип +		_,	«rt+l — Un-\ .		n	=	Фи>
	Л 2		1 / l	2/г	- "Г		=	Фи>
		л = 1 ,	2						(22)
						н 0	=	а,	(22)
						н 0	=	а,	/
					»i — »0		= 6 ,		/
					»i — »0		= 6 ,
						h

пр и б л и ж а ю щ е й

Но р м ы ||« w |ic/ f t

п р и е с т е с т в е н н о м в ы б о р е норм з а д а ч у К о ш и (3).

и II / № ) ||Fft о п р е д е л и м р а в е н с т в а м и

II « № > \|lt/ft =	m a x \| « J ,
	п
	4>п		(23)
1 Р 1 к =	а	= т а х [ \| а\,\Ь\,	(23)
1 Р 1 к =	а	= т а х [ \| а\,\Ь\,	т а х \| ф „ \| ] .

Д л я п р и в е д е н и я и с с л е д у е м о й с х е м ы к к а н о н и ч е с к о м у в и д у (13) п о л о ж и м , к а к в п р и м е р е 2,

			Уп	=	In .			(24)
					In .
Т о г д а к о м п о н е н т ы в е к т о р а				уп-	Ч " о д н о з н а ч н о в ы р а ж а ю т с я
ч е р е з к о м п о н е н т ы в е к т о р а у п - \					в с и л у з а д а н н о г о р а з н о с т н о г о
у р а в н е н и я по ф о р м у л а м
Уп+1	2 +2	Ah [(2-Bh>)yy-±=^yW				+	fi><?n+1],
„(2)	_ _							(25)
„(2)	_ _
Т а к и м о б р а з о м ,
где	Уп+1 =	ЯнУп-т-	hpn,		п = 0, 1	N	—	2,
где	4 -	2Bh2	2	-Ah		2/г2
	4 -	2Bh2	2	-Ah		2/г2
	2 +	Ah	2	+Ah		2+	Ah	(Pn+1 • (26)
		1	0				0
							0
5*

132	ГЛ. о. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ и						устойчивость
В силу	условий и0		= а,	"' h	"° =Ь (см. (22)) вычислим вектор					у0:
					a-\-bh					(27)
					а					(27)
					а
чем и	завершим		приведение исследуемой				разностной		схемы
к виду (13).							Г а I
Легко		видеть,	что если		норму	вектора	Г а I	определить		как
							L Р .1
т а х ( \| а \| ,		\| р \| ) , то нам		не	удастся	так просто		доказать	устой

чивость с нашим оператором R;u так как Ц/?/,||«2 и ||#/,||п—*оо.

Поэтому норму	в пространстве У определим не так, как в при
мере 2. Именно,	положим
	Г	"1	6 - а
	а	= max 1 а I,	6 - а
		= max 1 а I,	h
	. р .	У/г

Мы поставил» значок h при У, чтобы подчеркнуть, что норма


теперь	зависит		от	h. При		сделанном выборе норм				между
		if(W I	iPnl		г/о!		выполнены		соотношения	(17).
Остается		проверить		выполнение			условия		ц\| #КкA \| \|\yK /h, <^C Ь',,	Лп= 1 ,
2,	N.	Нам	известна		формула			(19), выражающая		норму
оператора		через	элементы			задающей		его	матрицы, если	норма
в пространстве У задана					формулой

=m a x [ I a J, I Р | ] .

Сведем	задачу вычисления нормы оператора в пространстве Yп
к этому	случаю:

( 1	0	\
где 5 = 1	_i/flJ'	Покажем, что для любого линейного

преобразования Т, действующего в пространстве У, справедливо равенство || T\\Yh = \STS~X\Y. В самом деле,

§ 14. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ

133

Далее,

Т |!Кл = max

17*11

I STS^Sx

• max-

\Sx\\

max ^ S T . S „ " ^

= 157S"

- e y

Holly

I I K

Теперь

заметим, что

I Rl\Yh = \\SRtS-xI

= I ( S R h S ~ | | K

<||

SRhS~1

||K.

Так

как S"

SRnS

Поэтому

+Ah

+Ah.

S R h S ~ \ < l + C h ,

где С — какая-нибудь

не зависящая

от h постоянная,

выбранная

из условия

1 + С й > т а х [ 1

2В

2 - Ah h

+Ah

+ 1 -

2Л

2 + Ah

В частности, при достаточно малых h этому условию удовле

творяет, очевидно,

число

С - = = 1 + 2 | Л | + 2 | В | -

Итак,

I * Z | ^ < 1 s / ? A S - ' | £ < U - f C « f < e c ,

что гарантирует устойчивость

исследуемой

схемы.

Неединственность

канонической

записи.

Приведение

разностной

схемы

к каноническому

виду

(13)

можно

осуществить

многими

способами.

Полагая

у'п =

Туп, где

Т — произвольное

линейное

преобразование

про

странства

которому

принадлежат

уп и рп, перейдем

к записи

</Q

задано.

(13')

Здесь

= TRhT-1,„(>'n

Tpw

у'0 =

ТУ(к

134 ГЛ. о. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Если	бы	в примере		3	вместо у п = \| Un			мы	положили у п =
	«л
ип+\	— ип	,	то'пришли		бы к записи		схемы	в виде	(13), где
.	h	J
		1 '							0
		2hB		2-hA-		2h2B	pn--
		2 +	hA		2 +	hA
При выборе		нормы в К		по	формуле		а	max (\| а \|, \| Р \| ) были бы
При выборе		нормы в К		по	формуле			max (\| а \|, \| Р \| ) были бы
выполнены условия			(17). Ограниченность				очевидна:
			*н1<\\		*н \|\|"<(1 +		СА) у =	е с .
			Ну и --л Ну

где С выбрано из условия

1 + Ch >	max 1 + h	2hB
		2 + ЛЛ

+	2-hA-	2h2B
+	2 +	hA	2 ( I Л I + f В l ft)
	max	1 + h, I +	2 ( I Л I + f В l ft)
			2-\A\h

Имеется произвол также и в выборе размерности пространства Y. Мы

,	Un+A	положить у п =	«я+i
могли бы, скажем, вместо	Уп — \	положить у п =	«я+i
	V «л	/

этом примере, впрочем, не упростило бы исследования устойчивости.

Подведем итог нашим рассмотрениям. Из приведенных при меров вытекает, что для исследования устойчивости разностной схемы LhiiW = р> решения задачи Коши с постоянными коэф фициентами удобно привести эту разностную схему к виду (13):

		Уп+1 =		Я„Уп +hpn,			п = 0,	1 , . . . ,
		у0	задано.
Если	в	пространстве,			которому		принадлежит		уп и р„,	удает
ся ввести		норму	так, чтобы выполнялись					условия
				l«( f t )	hn	< С 2 т а х \| \| г / „
							П
				11Рл11<С2 \|\|р) \\F h ,						(28)
				II г / о I I < С 2 H P \|L ,
то для	устойчивости			достаточно,			чтобы	нормы	степеней	опера
тора Rh	были равномерно					по h	ограничены,
			. Я / ! \| < С з ,			« = 1, 2 , . . . , N.

ЗАДАЧИ

135

Для этого достаточно, очевидно,

чтобы имело место

нера

венство

\\RJ<l+C%

где

не зависит

от

п.

этом

случае

постоянная

С в

определении

устойчивости

II " < Л ) h n

II f( H )

\\Fn

может

быть

взята

виде

С =

2С2С3.

(29)

ЗАДАЧИ

1. Доказать

устойчивость следующих

разностных схем

решения

задачи

и' +

Аи = ф (х),

и (0) = а.

Найти

константу

С,

входящую

в определение

l l « № , L

< C | | / (

f t ) L

устойчивости.

u h

а )

И н + | - и «

А {

n h

) U n = ф п >

п ==.0,

1, 2

Ио =

а,

если

| Л (х) | <

М =

const,

нормы

введены

равенствами

	II и<« L	=	шах \| ип I,
	Л		а
б)	И д + 1	— Ига , .
б)		т	h Яип+1

II / ( Л ) L		= max [ \| а \|, max \| Ф „ \| J.
Г А		/г
_	,
— ф п	,	Нормы — как в а).
t		Нормы — как в а).

«о = о..

3 )

Un + ,-Un

+ J [

Un + U„+ 1 д ф ^ д +

^ д

я = 0,

Л/ - 1,

«о == я.

| н № ) | L

max | ип I,

II fh)

I k = max (| a I, max

n +

i)h]\)'

„(I)

Решить

задачу

1 в

предположении,

что

ип •

„<2 >

вектор,

«4"'

•п

/ ^ 1 1

Ап

векторы.

Нормы

А =

— матрица

4>?J

заданы

виде

II « № > 11^-«пах ( |

«.<J>|+ | « « | >

II fh)

\\Fh =

max [| a,

| +

| a2

max ( |Ф < » j +

| Ф<2> | ) ] ,

\Al{

(x)

| <

136ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

3.Привести к каноническому виду: уп+\ = R/гУп + hpn, Уа задано —

разностное уравнение

»га + 2 — 2 и П + 1 + 3«д — 4un-i	-	_	п —	,	I,	0	z, ..
т		OU-; — (fn,	п —		I,		z, ..

иП + 2

положив уп- Un+1

LИ/г

§15. Необходимый спектральный признак устойчивости

В§ 14 мы показали, что приведение разностной схемы ре

шения задачи Коши с постоянными коэффициентами

к виду	IA u<« =	p	(1)
к виду
yn+i	= Rhyn + /гр„,	« = 0,	1 , . . . ,
г/0	задано

может быть использовано для доказательства устойчивости: при

определенных	условиях (условия (17)		§ 14) оценка
	1 / ? 2 \| к < С ,	« = 1 , 2	N,	(3)
достаточна для устойчивости.
Здесь мы	покажем, что эта	оценка	(3)' при некоторых	есте

ственных условиях необходима для устойчивости. Покажем так

же, что, независимо от выбора нормы, для оценки				(3) необхо
димо,	чтобы спектр матрицы Rn,	т. е. совокупность		корней урав
нения	d e t ( t f f t - A £ )		= 0,	(4)
лежал	d e t ( t f f t - A £ )		= 0,	(4)
лежал	в круге		Ch,
	I Я \| <	1 +	Ch,	(5)

где С не зависит от h.

Перейдем к реализации намеченной программы.

1. Ограниченность норм степеней оператора перехода необ ходима для устойчивости. Описанные нами способы приведения разностных уравнений к виду (2) таковы, что в случае нулевых правых частей разностных уравнений выражение р„ также тож

дественно	равно нулю,	р„ =	0.
		п					'
Пусть	постоянные	Mt — Мх		{К) > 0	и	М2	= М2 (h) > 0 вы
браны так, чтобы выполнялись				неравенства
	II и( А ) l!yA		>	Af, max[\|	у я	\|\|,	(6)
				п

\\yo\\>M2\\fW\\Fh

(7)

§ 15. НЕОБХОДИМЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК	УСТОЙЧИВОСТИ	137
(последнее при условии р п = = 0 ) . Тогда при	нулевых правых

частях разностного уравнения (или системы разностных урав нений) уравнение (2) примет вид

Уп+l — %пУп>

откуда
Уп-КУо-	(8)
Далее, в силу (6) и (8)
\|\|и<«\|\| > M i m a x l < y 0 \| .	(9)

Из определения нормы линейного оператора следует, что вектор г/о из конечномерного пространства всегда можно вы брать так, чтобы при данном п было ||/?£#0 || = |/? £ | • ||г/0||. По этому при некотором уо (зависящем от h)

™4КУо\\

= т™\\<\\у-\\Уо\\-

(10)

пп

При таком выборе у0 в силу (9) и (10) получим

1и< Л ) \|у > М , maxl^S l-ll^o II > A f , M 2			max	1-1/( Л , 1 • (6')
"	п	п		h
Из последней	оценки	следует, что	в случае устойчивости

разностной схемы (1) постоянная С, входящая в определение устойчивости

\\иы\\и

< С

неизбежно должна удовлетворять

оценке

C'^M^hmaxlRll

(6")

нормы

\\ u{h)

Отсюда

видно, в

частности,

что если

|L ,

| | / ( / , ) L

\\Уп\\ согласованы

так, что выполнены

условия (6)

(7),

то

условие

(3)

необходимо для

устойчивости.

Условие

(3)

равно

сильно

тому,

что решение {уп} однородного

уравнения

уп+\

ЯпУп при любом уо удовлетворяет

неравенству

\\Уп\\<С\\у0\\,

л = 1, 2,

(11)

В примерах 1 и 2 из § 14 числа

М, и М2

можно

было вы

брать не зависящими от h (равными единице), как без труда

проверит читатель. Это указывает на		естественность сформу
лированных условий.
В	примере 3 из § 14 для разностной схемы (22) при использо
вании	равенства (24) и при нормах	(23) условие \|\| u(h) \|\|у ^

138 ГЛ. 5. СХОДИМОСТЬ, АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

^	М, max \|\| уп \|\| выполняется,					только		если	Л1,^Л/2 .	Но если
	п		нормы \|\| и{Н) \|\|у
изменить		выбор	нормы \|\| и{Н) \|\|у			, положив
		«( f t > \|\|у	=	max	max	I ип	I,	max Un+	I — М«	(12)
					n		n '
то	можно	положить		Mi =	1, M 2 =		1, и оценка (3) необходима

для устойчивости. При таком изменении норм продолжают вы полняться сформулированные в § 14 условия (17), при которых оценка (3) достаточна для устойчивости.

2. Спектральный признак устойчивости. Для оценки можно пользоваться собственными значениями матрицы Rh, т. е. корнями К уравнения

	det\|\|#f t —Я,£\|\| =	0.
Если К — собственное	значение, то существует собственный век
тор у такой, что Rny =	%у. Поэтому
Хппу=*Ьпу,	\\Rly\\ = \l\n\\y\\,	\\Rnh\>\l\n.

Таким образом, для ограниченности \RH\ необходимо, чтобы были ограничены степени собственных значений \ к п |, п — \, 2 N. Для этого все собственные значения должны лежать в круге

| Л | < 1 + сА

(13)

на комплексной плоскости, где с не зависит от h. В противном случае при произвольном с и достаточно малом h

II Rt I > I Я Г > ( 1 + ch)i = е Т , I + C f t ) > е с (' ~т) > в Т .

Сформулированный признак оценки степеней \ Rh\\ по располо жению спектра (т. е. совокупности собственных значений) опе ратора Rh не зависит, очевидно, от выбора нормы в простран стве, где действует оператор Rh-

Спектральный признак устойчивости (13) не зависит также от способа приведения схемы (1) к виду (2). Если приведение осуществлено иначе, y'n+l = R'hy'n + hp'n, так что у' = Ту, Rh =

=	TRhT~\	где	Т — произвольный		невырожденный				линейный
•оператор, то спектры операторов Rh и R'h						совпадают. В				самом
деле,
det	(Rfh -	IE) =	det (TRJ~]	- IE) =	del [ T (Rk	-	Щ	T~]]	=
			=	det T det (Rh	- Щ det T~1		=	det (Rh -		Щ.

§ 15. НЕОБХОДИМЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ

139

Поэтому

уравнения

det (Rn

— ХЕ) — О

det {R'h — КЕ) — О

имеют одинаковые корни К.

3. Обсуждение спектрального признака устойчивости. Выше было пока*

зано, что при выборе норм в соответствии с условиями

(6)

(7)

располо

жение спектра

оператора

Rh в круге

| Я | < 1 + с Л ,

(13)

необходимое для ограниченности |] / ? А |,

необходимо

также

для

устойчи

вости.

Пусть условие

(13)

грубо

нарушено, так

что

при достаточно малых

А >

0 имеется

собственное

число X, по модулю

существенно

превосходящее

единицу,

скажем,

| Л | > 1 + й ' , _ в .

где

в >

0 не зависит

от А. Тогда разностная

схема (1)

неустойчива

при лю

бом

разумном

выборе

норм

и"1.' \\ц

|| f( A )

\\F^, даже

если

и не

ограничи

вать свободу этого

выбора условиями

(6)

и (7).

Это высказывание нельзя назвать теоремой хотя бы потому, что оно оперирует термином «разумный», не получившим точного определения. Объ ясним, что мы имеем в виду.

При любом разумном выборе нормы II || у можно так подобрать по ложительное kt, чтобы при всех достаточно малых А выполнялось неравен ство

В противном случае, очевидно, не может быть выполнено равенство (4) из § 13'

j i m j M « l l y = « «II и-

Далее,		при любом разумном выборе			нормы	\|\|	L можно	так подо-
Фрать кг >		0, чтобы	при всех достаточно		малых		h	неравенство
						А выполнялось
			II fih) \\P/t <	h~k'F,				(15)
где	через F	обозначен максимум модулей компонент элемента						простран
ства	Fh. В противном случае разностная				схема	(1)	не может аппроксимиро
вать	задачу	Lu ={	на решении и: ведь	мы видели,			что компоненты невязки

'6/(h>, возникающей при подстановке [и]л в левую часть приближающей за

дачу разностной схемы (1), стремятся			к нулю не		быстрее, чем	некоторая
•степень шага А.
Приведем теперь разностную схему			(1)	к виду	(2), полагая	для этого
•		' а "	=	т а х [ \| а \| , \| в \| ] .		(16)
•	II	. Р .	Y
		. Р .	Y

Для определенности мы считаем, что рассматривается разностное урав нение, которое связывает три последовательных значения ип-и ы„, un +i.

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4114 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ