Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Х а р а к т ер			зависимости				ве-
				/0,341v\		'/ з
ЛИЧИНЫ		UM =	UM\	^	І	ОТ X
т а к ж е показан				на рис. 4.1.
И з		остальных			характери
стик	течения можно найти та
кие,	например,			как	расход		Q

и количество		д в и ж е н и я К,		оп
ределяемые		соотношениями							'	t.%,,u„
(XI			сю		О	0.?	0,1	Ofi OS 1,0 1,2	1,1	G,K.L
Q=$udy	и	K=$u2dy.		Д л я	Рис.	4.1.		Характеристики	плоской
о			о		Рис.	4.1.		Характеристики	плоской
о	этих		о		пристеночной струн в поперечном маг
отыскания	этих		величин	вос нитном			поле.
пользуемся		представлением
скорости в		виде	u = umf,	тогда

Q= 2 , 5 1 5 { ^ i ) V + 1 ) f ( 0 ;

					со	у
Аналогично	найдем		характеристику		L = Ды2 ]udy]dy и		величину
				du	о	о
трения на стенке		r № = v p		du
трения на стенке		r № = v p		dy
[ /2 _L 1		ПЗ
/	N		у/.	t2+ 1
т ю = 0 , 2 2 Ь р *	0,341v		/
Найденные зависимости Q, К, L					и xw в безразмерном		виде по
к а з а н ы на рис. 4.1.

§3. С Р А В Н И Т Е Л Ь Н Ы Й А Н А Л И З

ПР И Б Л И Ж Е Н Н Ы Х МЕТОДОВ

О б а	рассмотренных	выше метода приводят к	качественно'
тем ж е	результатам, что	и точные решения уравнений М Г Д - п о -
граничного слоя. Н и ж е		на примере пристеночной струи сумми
руются	качественные особенности поведения плоских		струй в о д -

нородном магнитном поле и проводится количественное сравне

ние результатов расчета по приближенной схеме

с точными

ре

шениями .

К а к

следует

из расчетов, магнитное поле оказывает

сущест

венное

влияние

на характер

струйного течения. С ростом

напря

женности магнитного поля

толщина

зоны перемешивания

струн

с о к р у ж а ю щ е й

жидкостью

резко возрастает

и,

ка к видно

из

рис.

4.1, дл я

к а ж д о г о конкретного

значения

напряженности

можно

найти

такое расстояние х от источника, на котором

струя

полностью

смешивается

с о к р у ж а ю щ е й

жидкостью,

точ

нее,

на

котором

прекращается

продольное

движение

струе.

Вместе с тем резко падают значения

максимальной скорости, ко

личества движения, величины трения на стенке,

и только

поведе

ние

кривой расхода показывает,

что всю область

течения

можно

разбить

на дв е части: первую,

примыкающую

источнику, где

подсасывающее

действие струи

преобладает

на д торможением

из-за магнитного поля и поэтому расход здесь увеличивается, и вторую, где струя теряет э ж е к т и р у ю щ и е свойства и появляется

обратный процесс	вытекания	жидкости за пределы струи, в
связи с чем расход	начинает	падать . П о л о ж е н и е границы раз

дела двух областей зависит от величины поля и определяется

приближенно значением £—0,56

(см. рис. 4.1), т. е. вся

область

течения разделяется примерно

на дв е равные

зоны, если

учесть,

/ N 2 v \

Ч г

что предельное значение

комплекса

1,54

^ -

x=xTV,

при ко

тором

наступает

полный

размыв

струи,

определяется

значением

-Л^тр — 1,15.

Ермолаевой

Соковишиным

[10] проведен

расчет

сечения

торможения

хтр

по различным

методам.

Н и ж е

под

номерами

1—6 даются значения xTV,

полученные

при расчете

по методу ко

нечной

толщины

по профилям

1—5 и 7 из табл . 4.2; по д номе

ром 7 — значение,

рассчитанное

в работе

[11]; под номером 8 —

значение, полученное

по асимптотическому

методу,

изложен

ному в п. 2.2; наконец, под номером 9 — значение,

следующее из

точного решения

на Э В М {10].

№

*тр

1,08

0,992

0,955

1,162

1,112

0,794

1,15

0,925

Впрочем, по значениям Зст р трудно судить о достоинствах и

недостатках

того

или

иного метода,

того

или иного

используе

мого профиля . Резкий рост толщины струи во второй

области

течения (см. рис. 4.1) говорит

о том, что в этой

области

допуще

ния теории пограничного слоя теряют силу, вследствие чего ве личина х-гр, полученная по этой теории, является приближенной, •если не условной, при любом методе расчета.

Б о л ее определенным является суждение по результатам рас чета трения на поверхности xw. Зависимость величины безраз -


мерного трения	xw=			от п а р а м е т р а х с			= у - ^ , приве
денная на рис. 3.6, показывает,			что расхождение д л я полиномов
всех порядков	(за	исключением		третьего и		четвертого)		не	пре
вышает 5% от точного значения;				наилучшее		ж е совпадение			по
лучается при использовании полиномов					пятого и шестого поряд
ков. Д а л ь н е й ш е е		повышение	порядка		полиномов		не	приводит

к увеличению точности [10].

Что касается асимптотического метода расчета по гидродина мическому профилю Акатнова (кривая 8), то совпадение с точ ным решением получается почти полным при хс, не слишком близком к Х'Тр. Интересно отметить, что профиль Акатнова д а е т и хорошее локальное соответствие точного и приближенного ре

шений	в профиле скорости. Д л я сравнения							приближенного ре
шения	с точным (3.58)			отнесем		скорость
u = umf'[-j		)
к величине		I	I , а координату у				—	к \	1	. И м е я
		\	vx'					\	V3X'3 '
в виду	(4.28), а т а к ж е						N.62
в виду	(4.28), а т а к ж е			соотношение ^'2 = -?г-0,-,— из § 2 и введенный
выше параметр ~х — \,Ыхс,						0,o41v
выше параметр ~х — \,Ыхс,					получим
й .	и	_	(0,341)*		1	f t	\		)	(4 29)
	'А		(0,341)*		f / 3 ( ^ +	1)0.236 '	\	0,34Г'»*
(	- ) /
*	VX
*	VX і
где
З а д а в а я с ь			некоторым значением хс,				можно найти х и соот
ветствующее ему значение t по графику							(см. рис. 4.1) или из со
отношения		(4.27) и затем			у ж е построить график йс=йс{1.).					П р о
фили	скорости		(4.29)	показаны		пунктиром		на	рис. 3.5.	Т а м ж е

сплошными линиями показаны точные профили, полученные чис

ленным расчетом	[10]. К а к видно из	рисунка,	в той области те
чения, где расход возрастает с удалением от			источника, совпа
дение профилей	достаточно хорошее. Значительные отклонения
от точного решения н а б л ю д а ю т с я		в области	уменьшения рас
хода.

Таким образом, асимптотический метод расчета с привлече нием известного из немагнитной гидродинамики профиля ско рости дает удовлетворительные результаты как по н а п р я ж е н и ю трения, так и по полю скоростей. Метод конечной толщины при


удачном выборе			полинома д а е т удовлетворительные				результаты
по	н а п р я ж е н и ю		трения. Если ж е		выдвинуть подобное требова
ние	и д л я	описания поля скоростей, то, вероятно,					понадобится
применение		полиномов		более высоких порядков . П р и				этом	сис
тема уравнений			(4.12)	существенно усложнится,		т а к		ка к	коэф
фициенты а,		Ь и с становятся функциями							"к.
	Подводя	итоги результатам,			изложенным в	предыдущей и

настоящей главах, следует отметить, что положения теории по

граничного		слоя теряют	силу	на достаточно большом, завися
щем	от величины магнитного			поля	расстоянии	от источника.
Это	связано	с наличием	критического		сечения, при	приближении

к которому резко возрастают толщина пограничного слоя и по перечная компонента скорости, которые, в предположениях тео


рии, д о л ж н ы быть		меньше расстояния			от источника	и продоль
ной компоненты скорости соответственно.
К а к п о к а з а л и		численные	расчеты		Ермолаевой	и	Сокови-
шина [10], при приближении			к критическому сечению			роль		вяз -
слоя, резко возрастает по сравнению с					.
§ 4 . НЕКОТОРЫЕ Д О П О Л Н Е Н И Я К ТЕОРИИ
СТРУЙНОГО ПОГРАНИЧНОГО				с л о я
В связи со сказанным выше представляют интерес попытки
построения	решения, пригодного д л я описания струи вблизи							кри
тического	течения. ' Весьма		грубое		приближение	можно		по
строить, например, если принять во внимание последнее							замеча
ние из предыдущего п а р а г р а ф а				и при этом пренебречь			инерци

онными членами уравнения д в и ж е н и я (1.12), роль которых

вследствие	электромагнитного	торможения	незначительна
вблизи критического сечения. П о л о ж и м т а к ж е ,			что подобие про
филя скорости все еще сохраняется, т. е. u = umf			(-— . Тогда из
уравнения
			(4.30)

м о ж но

получить д л я свободной затопленной

струи

и"т

ит

= 0

(4.31)

(Wm6)"

N ит8 = 0.

(4.32)

Первое из

уравнений

получено из вида

(4.30)

на

оси

струи

(г/ = 0) ,

второе

—

после

интегрирования (4.30)

по

поперечному

сечению от

—оо ДО + 0 О .

Ограниченное при х-^-оо решение

(4.31)

есть

ит=Аехр(-]/

х ) ,

(4.33')

аналогично

(4.32)

дае т

б = 5 + С е х р

( 2 ] / ^ - х ) .

(4.33")

Постоянные

А, В,

С м о ж н о найти,

с р а щ и в а я

(4.33)

с (4.16) и

(4.15).

ит(х)

Таким образом,

уменьшение

и соответствующее

увели

чение 8{х)

хотя и происходят

достаточно

интенсивно

в магнит

н ы

ном поле, тем не менее учет вязкого члена

v ^ 2 дае т

асимптоти

ческое

затухани е течения

в струе [9], тогда

к а к теория

погранич

ного слоя предсказывает прекращение течения на конечном рас

стоянии

от

источника.

З а м е т и м

т а к ж е ,

что

исходные

предположения,

выдвинутые

д л я

получения

(4.33), удовлетворяются решением (4.33). Дейст

вительно,

инерционные

члены

имеют порядок

убывани я

o l / N

д2и

/ л / N

ехр

^ —2 у

х j

, а

вязкий член

-щ^ — ехр

| — 5 у

J, т. е.

д2и

они

меньше, чем электромагнитный и вязкий

члены,

имею

щие порядок ехр

(

V. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СЛЕДЫ

И СТРУИ ПРИ НАЛИЧИИ

СПУТНОГО ПОТОКА

§ 1 . 0 П Р И Б Л И Ж Е Н И Я Х С Т О К С А И О З Е Е Н А

ВМ А Г Н И Т Н О Й Г И Д Р О Д И Н А М И К Е

Впредыдущих г л а в а х мы рассмотрели некоторые задачи, связанные с истечением струй в затопленное «покоящееся» про

странство. П р и наличии спутного потока,	когда помимо какой-
либо интегральной характеристики струи	(следа) приходится

привлекать еще характеристику спутного потока, отыскание ре шения полной нелинейной задач и оказывается весьма про блематичным . Традиционные методы исследования такого рода

течений связаны с линеаризацией уравнений движения,		приводя
щей либо к полному пренебрежению инерционными		членами
(приближение Стокса) , либо к частичному	их сохранению (при
ближение О з е е н а ) .
К а к известно, в общей гидродинамике	приближение	Озеена

дает удовлетворительные результаты д л я асимптотического по


ведения	течения		на	больших расстояниях				от источника		возмуще
ний как в плоском, так					и в пространственном случае при произ
вольном	числе		Рейиольдса . Что				касается	приближения		Стокса,
то удовлетворительные					результаты с его			использованием м о ж н о
получить лишь			при очень малых Re и					лишь д л я	случая		про
странственного			течения,		если	говорить о		з а д а ч а х обтекания			тел.
Д л я плоских		ж е течений			имеет	место п а р а д о к с Стокса, смысл ко
торого	состоит		в	том,	что вследствие логарифмического						роста
(при r-voo)		фундаментального					(т. е. типа точечного		источника)

решения решений, ограниченных на бесконечном удалении от

источника, не	существует.
В магнитной		гидродинамике	положение дел несколько лучше.
К а к показано	в	монографии Цинобера [1], фундаментальное ре
шение стоксовой		М Г Д - з а д а ч и	аналогично по структуре фунда
ментальному	решению з а д а ч и		Озеена в общей гидродинамике' .

Отсюда, как следствие, вытекает отсутствие парадокса Стокса в магнитной гидродинамике (по крайней мере д л я не слишком быстро убывающег о на бесконечности магнитного п о л я ) . Более

1 Отличие состоит лишь в том, что в МГД-задаче Стокса решение убы вает на бесконечности экспоненциально, а в немагнитной задаче Озеена — алгебраически.

того,

д л я

целого

ряда

задач

(например,

д л я

течения

Г а м е л я ,

см. п. 2.2

г л а в ы I I , а

т а к ж е

д л я

течения

м е ж д у

в р а щ а ю щ и м с я іг

неподвижным

дисками,

для

течения в

полуплоскости)

удалось

показать,

что

решение

нелинейной з а д а ч и

стремится

при доста-

Н а

точно

большом

числе

Г а р т м а н а

(точнее,

при

§>1)

решению

Стокса.

Ке

Эти результаты, а

т а к ж е

анализ некоторых

эксперименталь

ных данных [1] показывают,

что границы применимости прибли

жения

Стокса,

тем

более

приближения

Озеена в

магнитной

гидродинамике, существенно расширяются, и, во всяком случае, если эти приближения д а ю т удовлетворительные результаты в общей гидродинамике, то в магнитной гидродинамике они будут не хуже .

Весьма заманчивой представляется идея показать, что для любого течения решение при больших На будет стремиться к ре шению Стокса, тем более что д л я стоксовой задачи д о к а з а н а теорема существования и единственности решения [1]. Однако можно привести примеры, когда с ростом магнитного поля роль нелинейных эффектов усиливается (задача об обтекании тела жидкостью с внешним электрическим током [1], з а д а ч а о возбуж дении вихревого течения в воронке системой радиально сходя щихся токов, см. п. 2, 3, 5 главы I I ) . Поэтому, несмотря на несом ненно более широкую область применения линеаризованных решений в М Г Д , в к а ж д о м отдельном случае необходим допол нительный анализ справедливости получаемых с их помощью ре зультатов .

З а м е т и м т а к ж е , что фундаментальное решение для линеари зованной по Озеену задачи удается получить лишь в некоторых частных случаях. Поэтому д л я конкретных задач остается про блемой построение эффективного решения, особенно при уме

ренных	числах Н а .	Сказанное относится т а к ж е и к	линеаризо
ванным уравнениям пограничного слоя.
К а к	известно из	общей гидродинамики, в р а м к а х	теории по

граничного слоя струйные течения в спутном потоке и течения

типа	следа за	телом п р и н а д л е ж а т	к одному классу задач . Сле
дует ожидать, что в магнитной гидродинамике это				соотношение
не нарушится . Однако ввиду того что к настоящему				времени наи
более	полно	р а з р а б о т а н а теория	М Г Д - с л е д о в на	базе линеа

ризованных полных уравнений магнитной гидродинамики, представляется целесообразным рассмотреть вначале основные результаты этой теории. П р и этом мы ограничимся лишь струк турой течения на больших расстояниях от тела, оставляя в сто роне вопросы влияния магнитного поля на сопротивление, подъ емную силу, а т а к ж е явления, связанные с проводимостью тела.

§2 . С Л Е Д ЗА ТЕЛОМ

ВПЛОСКОМ И ПРОСТРАНСТВЕННОМ СЛУЧАЯХ

Н а и б о л е е примечательной особенностью магнитогидродина - мического обтекания тел является образование в общем случае не одного, как в немагнитной гидродинамике, а двух следов на больших расстояниях от обтекаемого тела .

Чтобы		убедиться				в этом, запишем определяющую систему
уравнений		в виде
( V V ) V = - — V p m + v V 2 V + - ^ - ( H V ) H ;
			Р				Р
( V V ) H - ( H V ) V = v m V 2 H ,											( 5 Л )
где рт	=	р + ^ Н 2 + ~ Е 2 ;
V 2	— двумерный оператор						Л а п л а с а .
Л и н е а р и з у я				по	Озеену систему			(5.1),	т. е. вводя . V =		Uev+v,
H = # e H + h			(е„	и	Є н — единичные			векторы, направленные			соот
ветственно			по невозмущенной				однородной		скорости	и такому ж е
магнитному			полю)		и пренебрегая			произведениями		и к в а д р а т а м и
м а л ы х добавок v и h,						получаем
£ / ( e 0 V ) v =			- — V p m + v V 2 v + - ^ - ( e H V ) h ;								(5.2)
			Р				Р
U (evV)h-H			(eHV)v=vmV2h.								(5.3)

Если теперь применить к (5.2) операцию rot и учесть, что за вихренность G) = rotv , а плотность тока j = rot h, то д л я о и j по лучим систему

v V2 (o =	U (е„V ) со -	( е н	V ) j ;
	U (евV)j - Я	Р
vm V 2 j =	U (евV)j - Я	( e H V ) (О,
которая после исключения j либо				со перейдет в одно и то ж е
уравнение и д л я со и		j :
Г У 4 - ( у ( — + 1 ) ( e , V ) V 2			+ - ^ - [ ( e u V ) 2 - A l ( e H - V ) 2 ] } c o ( j ) = 0 ,
	4 \'т V '		VVm	>
				(5.4)

или		1	1	\
Г	/	1	1	\	V2	—	V]X
VІ-U	[	Vm	+ —	1 (e„V)	V 2 +	[(е„ + УА1ен )	V]X
	V	Vm	V	'	V V m


	X [ ( e „ - y A i e H ) V ] } < D ( j ) = 0 .			(5.5)
Здесь A l =		— число Альфвена .
Т а к	как на больших расстояниях от		тела градиенты	всех ве
личин	становятся достаточно малыми,		то роль членов	низшего

порядка малости в уравнении (5.5) возрастает . Отсюда немед

ленно следует, что возмущения о	и j, или, что то же,	возмуще
ния скорости и магнитного поля,	распространяются в	основном
в двух направлениях: е„+УА1ен	и е„—УА1ен. И н ы м и	словами,

тело, обтекаемое проводящей жидкостью, порождает, вообще го

воря, два	следа. И з уравнения	(5.5) т а к ж е	следует, что при за
мене направления ен на —ен		направления	следов	сохраняются.
И з других	особенностей сформулированной		задачи	отметим еще,

что если магнитное поле ортогонально плоскости течения, т. е. eHV = 0, то оно не оказывает воздействия на поле скоростей (уравнение (5.2)), но само возмущается полем скоростей со гласно уравнению (5.3).

В некоторых частных случаях оператор четвертого порядка в (5.4) м о ж е т быть представлен двумя коммутативными опера


торами, к а ж д ы й	из которых описывает один				след:
L(<B) = L I L 2 [ ( O ] = 0 .		•
Э то позволяет	записать		решение в	виде	ю = (о1	+ (02,	причем
£i.2[fi>i,2] = 0, что	существенно упрощает			построение		решения. К а к
отметил Хасимото [2, 3], к			таким случаям относятся следующие:
течение Стокса,	случай параллельности			невозмущенной			скорости
и невозмущенного магнитного поля и случай равенства							единице
магнитного числа		П р а н д т л я I (3 = — =		1) •

2.1.ТЕЧЕНИЕ СТОКСА

Если	конвективная скорость	U м а л а	по сравнению со ско
ростью	волны Альфвена UA —	~^-^-Н, то	членами, пропорцио

нальными U в уравнении (5.4), можно пренебречь и записать

(5.4)	в виде
[V2 +	Ha(eH V)][V2-Ha(eH V)](fl(j)=0; L 1 L 2 ( ( o ) = 0 ,	(5.6)

где Н а = / -

число Гартмана , вычисленное по единичному

\P'VVm

размеру .
Пусть		направление		магнитного		поля совпадает с направле
нием	оси	х. Тогда	C H V = — .		Та к	ка к	операторы L R и L 2	раз
личны,	то	решение	д л я	со (j)	можно представить в виде суммы
со= ( w i + co2 )ez , где к а ж д а я из					функций		coi,2 удовлетворяет	урав
нению
( V 2 ± H a ^ - ) ( c o , , 2 ) = 0 .								(5.7)

На

Подстановка соі,2 = е " /і, 2 в (5.7) приводит его к уравнению Гельмгольца

( * - ^ ) < Ы - о .

из решения которого, ка к показано в работах [4,5], следует, что

		На					6
							о
						На				На
		/ Н а \			1 + — r c o s '				+—-х "		X
		+K0(—r)cost\e				2		dt + 2e		2	X
		со
		X ^	Kn(^Yr		) ( Л » 1 , 2		c o s n O + B ^ 2			sinn,0),
		71 = 1
где	Кп —	функция М а к д о н а л ь д а ; г, 0 —• цилиндрические коор
динаты .
	Ограничимся - свойствами					решения			на больших расстояниях
											Н а
от	тела. Д л я к а ж д о г о			номера		п	можно		подобрать		т а к о е - ^ - г » 1 ,
что	будет	иметь	место	асимптотическое					представление
					На

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ