книги из ГПНТБ / Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании учеб. пособие для студентов строит. специальностей вузов
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. |
III-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Участк I |
|
|
|
|
|
|
Влд балки |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
|
|
|
|
|||||||||||
а=300: |
|
ß = 0 , 7 ; |
0 |
0 |
0 |
2,250 |
8,250 |
18,750 |
37,500 |
65,250 |
29,250 |
7,500 |
0 |
Р 3 =75 Т; |
M3=MP3L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
7,0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Юм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а=300; |
р = 1 ; |
|
—0,900 |
—4,200 |
—7,800 |
— 12,300 |
— 17,100 |
-22,500 |
—26,700 |
-27,600 |
—20,700 |
|
Р 4 =30 Г; уИ4 =TMP4 L
Юм
М=М1+М2+М3—МІ |
-13,150 —7,600 15,700 |
2,200 |
0,100 10,250 33,550 — 1,850 — 13,950, |
Г Л А В А IV
РАСЧЕТ БАЛКИ, ЛЕЖАЩЕЙ НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ,
НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДЕЙСТВИЯ НА БАЛКУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ (РИС. ІѴ-1)
Пользуясь общими формулами из главы I , выведенными для произ вольных нагрузок, получаем общие формулы для сосредоточенных изгибающих моментов.
п. M.
hi
1>22
Рис. IV - 1
Параметры:
а0 |
= — |
13 440 ß а |
J |
||
13 440 + 29 а |
|||||
|
|
||||
|
|
|
|||
а* |
|
13 440 5 а |
|
||
3 |
|
13 440 + 29а |
» |
||
|
(IV-1) |
||||
а\ |
|
2560 - |
10 а |
||
|
L* |
||||
3 |
— |
2048 + |
а |
||
|
|
|
|
||
из |
|
768 + |
6 а |
S M ; |
|
10 |
|
2048 + |
а |
L 2 |
|
( I I ^ а к т и в н ы е Д а |
в л е н и я грунта на |
балку определяем по формуле |
Поперечные силы
96
Q = ^ ( 2 Ç - l ) - T L ( 1 0 a 1 |
+ 3 a 8 ) + - î - E M < + |
|
|||||||||
+ 2 |
f l l |
i i ^ l 2 |
+ 8 « , |
< |
^ + |
4 8 |
а 3 |
< ^ ] |
(IV-2) |
||
Изгибающие |
моменты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л1 = { ^ |
(10a, - |
5a2 + |
3a3) + |
^ |
|
(g _ |
1) _ |
i |
- (10a, + 3a3) |
+ |
|
|
|
|
S + 2 a 1 ^ - ; ° - 5 ) 8 |
+ 8 a 2 ^ l - 4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
+ |
48a3 |
( e ~ ° ' |
5 ) 6 |
U 2 |
- E r B |
Mt, |
|
(IV-3) |
|
|
|
|
3 |
5! |
J |
|
|
?u |
1 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = |
|
{[8(1 - |
ß2 )3 - |
1] - |
24Г2»=°-6 (0,5 - ßw )»}. |
(IV-4) |
|||||
§ |
1. Формулы для сосредоточенного |
|
|||||||||
изгибающего |
момента МА, |
действующего |
|
||||||||
на |
балку в произвольном сечении |
|
|
|
(рис. ІѴ-2)
Mi.
X
L 1
Рис. IV-2
Пользуясь общими формулами (IV-1) — (ІѴ-4), получаем: Параметры:
а0 |
= |
13 440 5 а |
|
|
|
13 440 + 29 а |
|
||||
|
|
|
|||
Да |
|
13 440 5 а |
|
|
|
|
13 440 + 29 а |
' |
|
||
|
|
(IV-5) |
|||
ai |
_ |
2560 — 10 а |
M , |
||
|
|||||
3 |
_ |
2048 + а |
L 2 |
|
|
Дз |
_ |
768 -f 6а |
M |
|
|
10 |
|
2048 + a |
L 2 ' |
|
Реактивные давления определяем по формуле (II-16). Поперечные силы:
97
Q = |
{ |
- |
^ - |
1) - |
± |
(10a, + |
3a3) + ± |
MA |
+ |
|
||||
+ |
2at |
( S |
- ° ' 5 ) a |
+ |
8a2 |
3! |
|
+ |
48a3 |
4! |
J |
L . |
(ІѴ-6) |
|
|
1 |
|
2! |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Изгибающие моменты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M = y 5 ( 1 0 a 1 - 5 a 1 + 3 a , ) + |
2 v |
|
' |
|
|
|||||||||
-±{Юаі |
|
|
За3) + ±МА |
|
^ + |
2 a i ( î - 0 . 5 ) 3 |
+ |
|
||||||
|
+ |
|
|
|
|
3! |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
8a2 |
^ |
р . |
4 + |
4 8 |
а 3 ^ |
^ |
} |
L 2 - |
|
MA, |
|
(IV-7) |
|
где из формулы |
(IV-4) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
M, |
|
|
ß2 )3 - |
1] - |
24 Г Г 0 - 5 (0,5 - |
№ } . |
|
||||||
В = ^87> {[8(1 - |
|
§ 2. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛКИ, НАГРУЖЕННОЙ СОСРЕДОТОЧЕННЫМ ИЗГИБАЮЩИМ МОМЕНТОМ, ПРИЛОЖЕННЫМ В ПРОИЗВОЛЬНОМ МЕСТЕ (РИС. ІѴ-3)
Рис. IV-3
Для составления расчетных табл. IV - 1, ІѴ-2 и ІѴ-3 используем формулы (ІѴ-4) — (ІѴ-7). После некоторых их преобразований для рассматриваемого случая получаем:
Параметры:
13 440 а |
[ 8 ( L - / 2 ) " - P ] - r V |
"277 |
|
48L* |
|||
|
13 440 + 29 a |
|
|
13 440 a 8(1 |
2 ) 3 - 1 |
• - г ; 2 = o,5 |
( 0 . 5 - ß 2 ) 2 |
|
48 |
|
M, |
|
13 440 + 29 a |
L 2 |
|
|
— a0 |
L 2 |
(IV-8) |
98
40 320 а |
M, |
[8(L - |
/2 )" - |
Щ - |
Г ; |
|
|
|
|
|
||||||
|
2L« |
|
|
|||||||||||||
а9 = |
|
48Lä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
13 440 + |
|
29 а |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
40 320 |
Г 8 f l - ß , ) ' - l |
_ г з _о,5 |
( 0 , 5 - ß , ) ' |
|
|
|||||||||||
а |
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
13 440 + |
29 а |
|
|
|
|
|
|
|
L 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
M, |
|
|
|
|
|
|
|
(IV-9) |
|
|
|
|
|
|
= |
а,*2 |
L 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2560—10 а 1 УИ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а. |
= — 3 |
|
|
|
|
|
|
Мл |
- = |
fli |
|
|
|
(IV-10) |
|
|
2048 -+- а |
|
|
L 2 |
|
L 2 |
||||||||||
|
Û8 = |
[- |
10 • |
|
|
|
|
|
МА |
= |
а3 |
|
|
|
(IV-11) |
|
|
2048 + ( |
|
|
1? |
|
L 2 |
||||||||||
Подставляя значения а0, |
аъ |
а% и а3 из формул |
(ІѴ-8) — (ІѴ-11) в |
|||||||||||||
формулы (II-16), (ІѴ-6) и (ІѴ-7), получаем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Реактивные |
давления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
р={а0 |
+ 2aß - |
0,5) |
+ |
4а2(с. - |
0,5)2 |
+ |
|
||||||||
|
|
+ |
80 , ( 6 - 0 ,5), |
|
|
|
|
- |
Мл |
|
(IV-12) |
|||||
|
|
|
L i |
|
|
|
Z |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поперечные |
силы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q |
|
|
|
|
|
1 |
/ 1 Л _ . |
+ 3 ^ + 1 ) + |
|
||||||
|
|
( 2 5 - 0 — ^ ( 1 |
0 ^ |
|
||||||||||||
|
|
+ |
0 1 ( 5 - 0 , 5 ) 2 |
|
4а» |
|
|
|
|
+ |
|
|
||||
|
|
+ ^ ( i - 0 , 5 ) 3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ |
203(5- 0,5), |
|
L |
|
= Q |
|
|
|
|
(IV-13) |
||||
Изгибающие моменты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
{ 2 І 5 ( Ю а 1 - 5 а 2 |
+ З а 3 ) + [ а - | - ( 5 - 1 ) |
|
||||||||||||
|
_ T L ( l 0 a 1 |
+ 3 a , ) + 1 5 + ^ - ( 5 - 0 , 5 ) 3 |
+ |
|||||||||||||
+ |
^ ( 5 - |
0,5)» + 4o3 (5 - |
|
0,5)* - r ß |
2 |
-\}МА |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
MM, |
|
|
|
|
|
|
|
(IV-14) |
||
Здесь p, |
Q и M — безразмерные |
величины, |
включенные в фигур |
|||||||||||||
ные скобки |
формул |
(IV-12) — (IV-14). |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Учитывая действительную ширину балки Ь, расчетные формулы |
||||||||||||||||
(IV-12) — (IV-14) для |
данного |
вида |
|
нагрузки |
примут следующий |
|||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
Реактивные |
давления: |
|
|
|
|
p = p-biJ-> |
т / м 2 |
- |
(IV-15) |
|
|
|||
Поперечные |
силы: |
|
|
|
|
- м. |
т. |
|
(IV-16) |
|
Q = Q—r-, |
|
||
Изгибающие |
моменты: |
|
|
(IV-17) |
|
M = ММ., |
Т.м |
|
Для безразмерных величин р, Q и М, (IV-17), составлены табл. IV-1, іѴ 2 и
|
Пример IV-1. Балка |
длиной |
||
L |
и шириной Ъ = |
1 м |
нагруже |
|
на |
сосредоточенным |
моментом |
||
Мд |
(рис. ІѴ-4). |
|
|
|
|
Требуется построить |
эпюры |
||
р, |
Q и М, если |
а = |
|
200; / 2 = |
=0,2 L .
Ре ш е н и е . По данным за
дачи
входящих в формулы (IV-15)— ІѴ-3.
I I H I
Ч=10т/м'
0,2L = 0,2.
r L
Вг25тг
km |
МА-Юті |
\МВ-Ютм |
Z |
|
|
|
|
|
|
Эпюра p |
|
Эпюра
5? |
g |
|
|
B |
i |
l l |
I I |
ЭпюР« |
|
|
? |
<N Ö |
§ S § |
и |
|||||
Ca- |
Ö S |
Г |
I |
г г |
|
||||
с аг с э - c a |
Сз" с д - |
|
ST І ^ т — I — I — г — |
|
|||||
|
Рис. |
IV-4 |
|
|
|
|
Рис. IV-5 |
|
г Пользуясь табл. IV-1, ІѴ-2 и ІѴ-3 при а = 200 и ß = 0,2, a также формулами (IV-15) — (IV-17), находим ординаты p, Q и М.
По полученным ординатам построены эпюры p, Q и M (рис. ІѴ-4).
100
Пример ІѴ-2. Железобетонная рама опирается на фундаментную балку, лежащую на сплошном упругом основании (рис. ІѴ-5)*. На балку со стороны рамы по концам действуют две равные сосредоточен ные силы Рх= Р 2 = 25 Т и два изгибающих момента МА = МВ — = 10 Т-м; по всей длине балка нагружена равномерно распределен ной нагрузкой q = 10 Т/м2.
Требуется построить эпюры р, Q и M , если ширина фундаментной балки Ь — 1 м; предварительная высота балки h = 0,5 м; длина балки L = 5 м; коэффициент Пуассона грунта ц 0 = 0,4; модуль деформации
грунта Е0= |
5000 Т/м2; модуль |
упругости |
материала |
балки Е — |
||
= 2-106 Т/м2; |
/ 3 1 = 0; |
/ 3 2 = 5. |
задачи |
|
|
|
Р е ш е н и е . По условию |
|
|
||||
|
|
ßi = P = 0, ß, = ß = i . |
|
|||
По формуле (1-27 б) показатель |
гибкости |
|
|
|||
я = |
*E*L* |
д |
3,14 . 5000.1.53 |
= 9 9 ^ |
т |
2 . 1 0 e . _ L 0 i125 i - . 0 ) 9 8 4
Пользуясь табл. П-1, 11-2 и ІІ-З и формулами (II-33), (11-37) и (II-38) (при а = 100, ß = 0), найдем значения ординат pv Qv и Mt от действия равномерно распределенной нагрузки q = 10 Т/ж2 , т. е.
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
Pi |
16,34 |
12,92 |
10,25 |
8,35 |
7,21 |
6,83 |
7,21 |
8,35 |
10,25 |
12,92 |
16,34 |
Qi |
0 |
2,30 |
3,05 |
2,65 |
1,55 |
0 |
—1,55 —2,65 - 3,0 5 |
—2,30 |
0 |
||
|
0 |
0,50 |
2,00 |
3,50 |
4,50 |
5,00 |
4,50 |
3,50 |
2,00 |
0,50 |
0 |
По табл. |
111-1, Ш-2, II1-3 и формулам (111-23)—(III—25) (при |
||||||||||
a = |
100, ß x = ß = |
0 и ß 2 = ß = 1) находим ординаты p2 , Q2 и M 2 от |
|||||||||
действия сосредоточенных сил Рг= |
Р 2 = 25 Т, т. е. |
|
|
|
|||||||
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
Рг |
24,06 |
16,47 |
10,56 |
6,34 |
3,81 |
2,97 |
3,81 |
6,34 |
10,55 |
16,47 |
24,06 |
Q, |
- 25 |
-14,95 |
-8,25 -4,10 —1,62 |
0 |
1,62 |
4,10 |
8,25 |
14,95 |
25,00 |
||
м, |
0 |
-10,00 |
-15,75 |
-18,75 |
-20,12 |
—20,50 |
-20,12 |
-18,75 |
15,75 |
-10,00 |
0 |
* Здесь и во всех подобных примерах этой главы предполагается, что рамы жестко заделаны в балку.
101
Пользуясь табл. IV - 1, ІѴ-2, ІѴ-3 и формулами |
(IV-15) — (IV-17) |
|||||||||||
(при |
а = 100, ß = |
0 и ß = 1), находим ординаты р 3 , Q3 и М3 |
от дей |
|||||||||
ствия изгибающих моментов МД=МВ= |
10 Т-м: |
|
|
|
|
|||||||
І |
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0.8 |
0.9 |
1,0 |
|
Pi |
2,74 |
1,26 |
0,11 |
-0,71 |
-1,21 |
-1,37 |
-1,21 |
-0,71 |
0,11 |
1,26 |
2,74 |
|
<?. |
0 |
0,988 |
1.316 |
1,152 |
0,658 |
0 |
-0,653 |
-1,152 |
-1,316 |
-0,988 |
0 |
|
м3 |
— 10 |
-9,72 -9,12 -8,49 -8,03 —7,86 |
-8,03 |
-8,49 |
-9,12 -9,72 -10 |
|||||||
Сложив |
соответствующие |
ординаты, |
получим |
значения |
ординат |
|||||||
р, Q и М: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
|
0,9 |
1,0 |
Р |
43,14 |
30,65 |
20,92 |
13,98 |
9,71 |
8,43 |
9,71 |
13,98 |
20,92 |
30,65 |
43,14 |
|
Q |
-25,00 |
-11,67 |
-3,88 |
-0,30 |
0,59 |
0 |
-0,59 |
0,30 |
3,88 |
11,67 |
25,00 |
|
M |
-10,00 |
-19,22 |
-22,87 |
-23.67 |
-23,65 |
-23,36 |
-23,65 |
-23,67 |
-22,87 |
-19,22 |
-10,00 |
По полученным данным на рис. ІѴ-5 построены эпюры р, Q и М. Пример ІѴ-3. Дгна железобетонная рама, основанная на сплошной фундаментной балке, лежащей на грунте (рис. ІѴ-6). Из обычного рас чета рамной конструкции определено, что действие рамы на балку состоит из двух сосредоточенных сил, равных 80 Т каждая, и двух
моментов, по величине равных 10 Т-м каждый.
|
Требуется построить эпюры р, Q и M для данной балки, если шири |
|||||||
на |
|
фундаментной |
балки |
b = 1 м; предварительная |
высота |
балки |
||
h = |
0,4 |
At; длина |
балки |
L = 8 At; модуль деформации |
грунта |
Е0= |
||
= |
1330 |
Т/м2; модуль упругости материала балки £ |
= |
2-106 |
Т/м2; |
|||
р 1 |
= |
Р 2 = 80 Т; МА= Мв |
= 10 Т-м. |
|
|
|
102
Р е ш е н и е . |
Для данной |
задачи |
|
|
|
|
|
3 1 |
= = р = ! ^ = |
0,2; |
В2 = |
В = |
^ |
|
= 0,8. |
Пользуясь формулой (1-27 |
б), найдем показатель гибкости: |
||||||
|
itE0bL3 |
3,14 |
• 1330 • 1 |
|
|
200. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 _ 0 . 4 - ) 2 . |
IQ« |
^ |
0 |
' 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.12M |
в
4i
Ц = 80т |
Рг=80т |
». |
°о |
23 |
~~ |
о, |
S R |
N |
о> <о |
S |
|
*0 M IN « |
^ |
|
||
|
Oq |
« о |
|
|
|
К? |
|
|
|
\
ЭПЮра Р
Эпюра Q
\
Эпюра M
125м
. 1 X
3=
Зпюра м
Рис. IV-6 |
Рис. IV-7 |
103
По |
табл. |
I I I - 1 , |
III - 2, ІІІ-З |
и формулам |
(ІІІ-23) — (ІІІ-25) при |
|||||
а = |
200; ß = |
0,2 и ß = |
0,8 находим ординаты для ръ Qj и Ми |
полу |
||||||
ченные в результате |
действия сосредоточенных сил Рх= Р 2 = 80 Т. |
|||||||||
Посредством табл. |
ІѴ-1, ІѴ-2, ІѴ-3 и формул |
(ІѴ-15) — (ІѴ-17) |
||||||||
при |
тех же а = 200, ß = 0,2 и ß = 0,8 |
находим |
ординаты для р 2 ) |
|||||||
Q2 |
и |
Мг от действия |
изгибающих моментов |
МА |
= Мв = 10 |
Т-м. |
||||
Сложив соответствующие ординаты, |
построим |
эпюры p, Q и M |
||||||||
(рис. |
ІѴ-6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример ІѴ-4. Дана |
угловая |
подпорная стенка (рис. ІѴ-7). |
|||||||
Требуется |
построить эпюры p, Q и M для ее фундаментной |
плиты, |
если угол трения между грунтом и стенкой ср0 = 0°; угол внутреннего
трения |
грунта (нормативный) |
<р = |
30°; |
коэффициент трения |
между |
|||
грунтом |
и |
материалом плиты |
/ = |
0,58; |
объемный вес грунта |
у = |
||
= 1,8 Т/м3; |
объемный вес железобетона Д = |
2,4 Т/м3; модуль дефор |
||||||
мации грунта Е0= |
4100 Т/м2; |
модуль упругости материала |
плиты |
|||||
Е = 2 - Ю 6 |
Т/м2; высота подпорной |
стенки |
Я 2 = 4 м. |
|
||||
Предварительные |
размеры |
конструкции |
стенки: толщина |
верти |
кальной стенки вверху Ь\— 0,12 м; толщина вертикальной стенки вни
зу б 2 = 0,25 м; толщина фундаментной плиты |
h = 0,20 м; |
ширина |
|||||
фундаментной |
плиты L = 2,5 м. |
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
На единицу длины |
стенки |
действуют следующие |
||||
силы: |
|
|
|
|
|
|
|
а) активные давления грунта (в Т): |
|
|
|
||||
^ |
i |
= |
! l Y 1 t g » ( 4 5 o - ^ ) |
= 0,3> |
|
|
|
^ |
e |
|
1,8-0,2(0,2 + 2 . 1 ) t g 2 |
^ 4 5 о _ С)= 0,132, |
|
||
/ ? |
i |
e M ^ ! t g - ( 4 5 " - f ) |
= 4,8. |
|
|
||
^ |
= |
|
1.8 -0,2(0,2 + 2 -4) t g |
2 ( 4 5 ° - f |
) = 0,492; |
|
|
б) вес фундаментной плиты (в Т/м2): |
|
|
|
||||
|
|
|
q = 2,40-0,20-1,00 = 0,48; |
|
|
||
в) интенсивность давления грунта на фундаментную плиту |
(Т/м2): |
||||||
слева |
|
|
q'= 1,8-1,0 = 1,8; |
|
|
||
справа |
|
|
<7"= 1,8-4,0 = 7,2; |
|
|
104