книги из ГПНТБ / Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании учеб. пособие для студентов строит. специальностей вузов
.pdf
|
Выражение (1-8) является общим уравнением упругой линии бал |
|||||||||||||||
ки |
*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
него |
входят |
восемь неизвестных |
величин: |
четыре |
параметра |
|||||||||
а0, |
аъ |
а2, |
а3 |
и |
четыре |
произвольные |
постоянные |
интегрирования |
||||||||
D 0 |
. Di, D2, |
D3, для определения |
которых требуется |
восемь |
дополни |
|||||||||||
тельных |
уравнений. Для составления |
этих уравнений используем сле |
||||||||||||||
дующие |
условия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Во-первых, два условия равновесия балки: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1) |
2 7 |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
а0 |
+ |
2ал |
|
— |
-\ |
- |
х- |
_ L \ 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
L* |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= S J f(2)^-S j f(z)d2 + |
2Pt. |
|
|
(1-9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
hi |
|
|
hi |
|
|
|
|
|
|
|
Производя интегрирование левой части и обозначая правую часть |
|||||||||||||||
этого |
равенства |
AL, |
получаем |
первое |
уравнение: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а 0 |
+ |
-~ = |
А, |
|
|
|
(I-10) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
S J |
Пг)*г-ъ\ |
|
|
f(z)dz |
+ |
2Pt |
( M l ) |
||
|
|
|
|
|
|
hi |
|
|
|
hl |
|
|
|
|
|
|
|
|
S Me = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2) |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначая правую часть этого равенства L2C и интегрируя левую часть, получаем второе уравнение:
|
;(і-із) |
где |
|
L 'C = S J f (*) |
- S j f W 2dz + S P,/,i-2VW,. (1-14) |
'н/ |
hl |
* Подробнее этот вопрос изложен в статье Симвулиди И. А. «Обшая фор мула упругой линии балки». Свойства стали (сборник). Металлургиздат, 1949. № 28.
10
Во-вторых, для составления третьего и четвертого уравнений ис пользуем два следующих граничных условия:
при |
X — 0 |
у"— |
0; |
при |
X = L |
у"= |
0. |
Посредством этих условий определяем D 2 и D 3 (произвольные пос тоянные), которые выражаются через неизвестные параметры. Из первого граничного условия
D 2 = - - ^ - ( 3 0 a i - 1 5 a 2 + 9a3). |
(1-15) |
Из второго граничного условия
(1-16)
где
S j H z ) ( L - z ) d z - S j / ( z ) ( L - 2 ) d z +
(1-17)
При составлении остальных четырех уравнений исходим из усло вия, что во время деформации балка под нагрузкой по всей длине находится в контакте с основанием. Но в целях получения более простого и удобного для практического использования решения (с достаточной гарантией точности) ограничимся следующими четырьмя условиями контактности — прилегания балки к грунту:
1) равенство прогибов балки и грунта на левом конце балки;
2)равенство ординат обеих кривых в середине балки;
3)равенство площадей, образованных ординатами обеих линий деформаций;
4)равенство третьих производных обеих функций прогибов в се редине балки.
Деформация поверхности грунта от сплошной распределенной нагрузки выражается формулой*
( 1 - H ? ) L ( 2 4 а 0 [ — In — + L — X In L — x |
|
+ |
||||||
V = — |
|
|
|
L |
|
L |
|
|
+ 24а4 |
|
|
|
+ |
(2x- |
|
i |
„ f + |
|
|
n — - т ] + 8 а 4 ~ |
2 L 3 |
|
||||
|
|
l |
|
|
|
|||
+ |
L 3 |
— |
(2x— L ) 3 |
In |
- x) к |
]+ |
|
|
|
|
2L3 |
|
|
|
|
||
* С м . С и м в у л и д и И. А. Расчет балок на упругом основании. Изд-во «Советская наука», 1958, стр. 23, формула (37).
It
+ |
a3 |
h |
*^ |
L 3 + Vx-V3 |
- 4 ^ 1 1 , (1-18) |
|
|
|
L |
^**^ |
_ i |
|
|
где |
—коэффициент |
Пуассона |
грунта; |
|
|
|
|
£ 0 — м о д у л ь деформации грунта. |
и г р у н т а |
н а |
|||
|
1. Р а в е н с т в о |
п р о г и б о в б а л к и |
||||
л е в о м |
к о н ц е |
б а л к и : |
|
|
|
|
Воспользуемся формулами (1-8) и (1-18), по которым при х = О получаются следующие значения:
|
"*=о = 0; |
|
|
|
Еіух^ |
= _£î£l _ |
- £ ^ L + |
+ D |
(1-20) |
У |
16-5! |
8-61 |
8-71 |
0 |
Поэтому на основании условия (1-19) имеем пятое уравнение, из
которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А> = |
— £ |
( 2 1 ^ - 7 ^ + За3 ). |
|
|
|
|
(1-21) |
|||||
2. Р а в е н с т в о |
о р д и н а т |
о б е и х |
к р и в ы х |
|
в с е |
||||||||||
р е д и н е |
|
б а л к и : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
L |
= v |
|
|
|
|
|
|
(1-22) |
|
|
|
|
|
|
X = |
|
|
X = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Подставляем значение |
* = - ~ |
в |
формулу (1-18): |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
' _ ! ^ L i n 2 |
+ |
|
2a«L |
( 1 - 1 п 2 ) |
|
+ |
|
|
||||
|
|
|
TZE0 |
Зл£0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-23) |
Из формулы |
(1-8) при |
X = ~ |
|
после преобразования |
|
получаем |
|||||||||
у |
|
= — |
( - ^ - 4-W H |
|
|
^ |
h — С— 161а, + |
112а2 |
— |
||||||
*= |
— |
El \ 128 |
|
|
|
48L |
^ 8! I |
1 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
- . t f ^ |
+ |
|
4 |
|
|
|
|
|
(1-24) |
||
|
|
|
|
D . - L - ) } , |
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 г , |
J |
|
3! |
|
|
& - s r ; |
jя?) V |
2 |
3 |
l |
у |
d2 + |
||
|
|
|
lui |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
(1-25)
2! • — » . 3,
При решении конкретных практических задач необходимо учесть следующее. Из условия (1-22) получается, что при определении вели чины W необходимо учитывать влияние только тех нагрузок, которые расположены на левой половине балки, а поэтому первый член фор мулы (1-25) всегда равен нулю, если начало распределенной нагрузки
находится за пределами левой половины балки, т. е. /н,- -^- . Вто рой член формулы (1-25) также равняется нулю, если конец распре деленной нагрузки не захватывает левую половину балки, т. е.
ІК І > Т '
Третий член формулы (1-25) равняется нулю, если сосредоточенный момент, действующий на балку, расположен за пределами левой поло вины балки, т. е. Іц >• — . Четвертый член формулы (1-25) также рав няется нулю, если сосредоточенная сила, действующая на балку, рас положена за пределами левой половины балки, т. е. / 3 j > - - ^ - .
Подставляя в условие (1-22) значения v |
L и |
У L |
и з |
формул1 |
||||
|
|
|
|
|
|
X = |
- |
|
(1-23) и (1-24), |
получаем шестое уравнение,2 |
после 2преобразования |
||||||
которого |
найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
Di |
= 2L3 |
f-2s— (256 In 2 — а ) + |
— |
[161а,а — 112а2 а |
+ |
|||
|
|
{ |
128а |
8!ос |
|
|
|
|
+ |
45а3 а + |
40 320а, — 26 880 ( 1 — In 2) а 2 |
+ 26 880а3 ] — |
|||||
|
|
|
- * — 5 Г * } - |
|
|
|
( , - 2 6 ) |
|
где а — показатель гибкости* |
|
|
|
|
' |
|||
|
|
|
а = — * Е ° 1 |
3 |
. |
|
|
(1-27) |
При расчете полос, выделенных из плит, как известно, следует делать поправку к обычной жесткости El, т. е. учитывать при расчете так называемую цилиндрическую жесткость
ЕІ
1 — v?
где (X — коэффициент Пуассона материала выделенной полосы. После подстановки цилиндрической жесткости в формулу (1-27)
последняя примет следующий вид:
* Здесь имеется в виду, что ширина балки равна единице.
,13
а |
KE0L3 |
(I-27a)* |
|
1 |
EI |
Если ширину балки обозначить Ь, то величину а можно определить по формуле
|
а |
= |
El |
|
(1-276) |
|
|
|
|
|
|
Для балки |
прямоугольного поперечного |
сечения |
|||
|
|
1 - ( V |
Е \ |
h |
(І-27в) |
|
|
|
|||
Из формулы (І-27а) следует, |
что величина показателя гибкости |
||||
находится в зависимости от значения Е, |
I , |
L , ц, ц 0 и Е0 и может из |
|||
меняться от нуля до бесконечности. |
|
|
|||
Как видно, большие значения |
а при постоянном Е0 соответствуют |
||||
или балкам большой длины, или балкам малой жесткости. |
|||||
3. Р а в е н с т в о |
п л о щ а д е й , |
|
о б р а з о в а н н ы х |
||
п р о г и б а м и |
о б е и х |
л и н и й |
д е ф о р м а ц и й : |
||
|
|
Fe, = F». |
|
(1-28) |
|
Для определения площади, ограниченной упругой линией балки,
воспользуемся формулой |
(1-8): |
|
|
|
1 |
айѴ> |
ad.* |
|
|
El |
5! |
|
8! |
|
J |
4! |
|
3! |
4! |
kl |
|
|
|
|
+ |
D , - £ - |
+ D 2 |
i l + D t - £ - + D0L ] . |
(1-29) |
Из формулы (1-18) после интегрирования и некоторых преобразо ваний имеем:
1 |
|
|
2a0L |
сГ X |
|
|
|
•j dx — |
|
1 — 2 |
|
|
•кЕ0 |
) [ |
L |
|
|
|
|
|
|
L |
L |
|
L |
||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
2aiL |
7UL—x)x |
^ 2L — X |
|
dx- |
2a2L |
ç |
4 (L — X) X |
||
тг£0 |
J I |
L |
|
|
|
nEa |
J |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
L » + ( 2 r - L ) . |
|
|
L 3 _ ( 2 , _ L ) a i n |
( L - * M |
||||
|
2L» |
|
L |
|
2 L 3 |
|
L |
J |
|
|
1 — |
[A2 |
|
|
|
|
|
|
|
* Величину |
|
j можно |
без |
больших |
погрешностей |
принимать равной |
|||
|
1 |
— И-о |
|
|
|
|
|
|
|
единице, что мало повлияет на конечные результаты расчета. 14
__a2L_ |
r r 3 |
£ « - ( 2 « - L ) « l n |
L - x _ 6 |
I ' + ( 2 x - L ) . _ |
|
^ |
= |
||||||||
12u £ 0 |
J L |
L * |
|
д: |
|
|
|
L 3 |
|
|
L J |
|
|
||
|
|
|
|
|
a„L2 |
, |
ajZ-* |
, |
2û-3L2 |
|
|
|
(1-30) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
- |
^ - . |
|
|
|||
Приравнивая значения F6 к |
Рл, |
после |
преобразования |
получаем |
|||||||||||
седьмое |
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 - |
(640 — За — 1280 In 2) • |
|
[34а —26880(1 — In 2)] = |
В, |
|||||||||||
640а |
|
|
|
|
|
|
8 ! а |
|
|
|
|
|
|
(1-31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
г |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
16 |
4rt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
3! |
^ |
' |
4! |
|
48 |
• |
|
|
|
(1-32) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
4. Р а в е н с т в о |
т р е т ь и х |
|
п р о и з в о д н ы х |
о б е и х |
|||||||||||
ф у н к ц и й |
п р о г и б о в |
в с е р е д и н е |
б а л к и : |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(£у\ |
. |
I |
d3v\ |
|
|
|
|
|
(1-33) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся формулами (1-8) и (1-18), из которых после трехкрат |
|||||||||||||||
ного дифференцирования получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( S U — Ь ^ - - ^ ] ( , - ' 8 і |
|
"-34) |
|||||||||||
|
|
(d*y\ |
= |
1 |
|
a0L |
+ |
2Г. |
Jf(2)d2- |
|
|
||||
|
0 |
Jf(z)dz + |
,2 |
|
|
|
|
|
|
3fla) + /C ]• (1-35) |
|||||
- S T . * |
r „ i ' S P J |
+ |
^ |
+ |
-|-(10a1 + |
||||||||||
На основании условия (1-33), |
приравнивая |
правые |
части |
формул |
|||||||||||
(1-34) и (1-35), получаем восьмое уравнение: |
|
|
|
|
|
||||||||||
_±_ ГN L |
+ |
_ L _ (10а, + |
3a3) 1 = |
- |
|
|
|
А |
Л |
( l _ $ , |
(1-36) |
||||
где N определяется |
следующим |
выражением: |
|
|
|
|
|
||||||||
N = |
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.2 |
|
|
(1-37) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L
15
Формула (1-37) справедлива при сохранении условия (1-33), кото рое заключается в том, что для всех распределенных нагрузок, начало
которых находится за пределами левой половины балки |
^при |
lBi > |
|
> |
— ) , первый член формулы (1-37) равняется нулю. |
Второй |
член |
I.'. |
2 . / |
|
|
формулы (1-37) также равняется нулю для распределенных нагру зок, правые части которых расположены за пределами левой по
ловины |
балки |
^при |
Z K i > - £ - j - Третий член формулы (1-37) равняет |
|||||||||||
ся нулю только для тех сосредоточенных сил, которые |
приложены на |
|||||||||||||
правой половине балки ^при / з |
г > - ^ - | . |
Если |
|
сосредоточенная сила |
||||||||||
приложена посередине балки ^при l3i |
— |
, то значение |
третьего |
|||||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
члена от этой силы |
равно — . Условие |
(1-33) к четвертому члену не |
||||||||||||
относится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая совместно уравнения (1-10), (1-13), |
(1-31) и |
(1-36) относи |
||||||||||||
тельно |
неизвестных |
параметров а0, |
аи |
а2 и а3, |
найдем их |
значения: |
||||||||
|
|
ао = |
(8252 — 34д)Л — 13 4405а . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
13 440 + |
293 |
' |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
а2 |
_ |
(5188 + 63а) А + |
13 4405а . |
|
|
|
|
|||||
|
|
3 — |
|
13 440 + 29а |
|
|
|
|
|
(1-38) |
||||
|
|
аі_ _ |
(2С — Л) (1280 — а) — 8ЛГа |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
~ |
|
|
2048 + а |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
£з_ _ |
(2С — А) (384 + а) +4Wa |
|
|
|
|
|||||||
|
|
10 |
~ |
|
2048+ « |
|
|
|
|
|
|
|
||
Из |
формул |
(1-5) и |
(1-6) получим формулы |
для поперечных сил |
||||||||||
и изгибающих |
моментов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Q = [ ^ - (2х _ L) - |
- А - ( 10а, + |
За3 ) - |
К |
|
т |
2! |
+ |
|||||||
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|||
|
|
|
|
L_ \8 |
|
|
|
|
|
_£\4 |
|
|
|
|
|
. 8£2_ |
|
|
2 |
+ |
48a3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
L3 |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
- S r / |
H J |
f(z)dz + |
|
^rlKljf(z)dz; |
|
(1-39) |
||||||
м = |
Ш(10аі |
~5й2 |
+ |
Зйз) |
+ [y{x~L) |
|
|
— ш ( |
1 0 а і + |
З а з ) |
~ |
|||
|
-к] |
|
2а, |
|
|
2 |
+ L 2 |
|
2 |
+ |
|
|||
|
|
|
|
|
3! |
|
4! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1«ѵ
+ "TT" • |
s,' |
- |
2 П„ Л*, - |
S Г / з і Pt{x- |
/,,) - |
|
- S Г/н г |
j f (z) |
{x-z)dz |
+ Z Г1кі |
j f (z) {X - |
z) dz. |
(1-40) |
|
lui |
|
|
|
|
|
' Полученные в этой главе формулы справедливы для любых |
нагру |
|||||
зок, как угодно расположенных на балке*. |
|
|
||||
Следует иметь в виду, что в случае симметричной нагрузки члены параметров (2С—А) и /V равняются нулю, а следовательно, равняются нулю и параметры ах и а3. Два других параметра а0 и а 2 при симметрич ном загружении балки в зависимости от изменения а и изменения рас четной схемы балки могут иметь положительные, отрицательные и нулевые значения, что следует из формул (1-38).
Для пользования этими формулами выполняем следующее:
1. По конструктивным соображениям предварительно назначаем размеры рассматриваемой конструкции (балки), после чего опреде
ляем момент инерции. Тогда при заданном модуле деформации |
грун |
|||||
та Е0, |
модуле упругости балки £ и длине балки L по формуле |
(1-276) |
||||
находим |
значение гибкости |
а. |
|
|||
2. При заданной конкретной расчетной схеме по формулам (1-11), |
||||||
(1-14),(1-17), (1-25), (1-32) и |
(1-37) находим значения вспомогательных |
|||||
членов А, |
С, К, |
W, В и |
N. |
|
|
|
3. |
Подставляя |
найденные значения вспомогательных членов А, |
||||
В, С, |
N я показателя гибкости а в формулы (1-38), получаем значения |
|||||
величин параметров а0, |
аъ |
а 2 и а 3 . |
|
|||
4.Подставляя значения этих параметров в формулу (1-2), полу чаем ординаты реактивных давлений грунта на балку в любой точке. По данным ординатам строим эпюру р**.
5.Зная величины а0, аъ а2 , а3 и К по формулам (1-39) и (1-40), найдем значения поперечных сил Q и изгибающих моментов M в любом сечении балки. По полученным ординатам строим эпюры Q и М.
Для расчета конструкций |
на |
упругом основании необходимо |
знать следующие величины: EI, |
Е0, |
ц, ц0 и L . |
При этом размеры балки должны быть такими, чтобы во всех слу чаях соблюдалось условие контактности: рж !>0, что всегда можно дос тичь при свободном назначении некоторых размеров***.
* Так как формулы (1-38) — (1-40) получены для балки (полосы) шириной, равной 1 м, то при пользовании ими необходимо учесть действительную ширину балки (полосы) Ь.
** Если в какой-либо точке балка отстанет от грунта, т. е. нарушится "кон такт балки с основанием и появятся отрицательные ординаты реакций грунта,
то |
для устранения |
этого необходимо изменить или расчетную схему |
балки, |
||
или показатель гибкости и заново определить также параметры а( , аъ |
аъ и о 3 , |
||||
при которых |
не |
будет отставания балки от грунта. |
|
||
|
*** Если |
ширина |
и толщина балки не заданы, то ее размеры предваритель |
||
но |
определяются |
из |
Г |
закону. |
|
условия распределения реакции по линейному |
|||||
Г^с . публичная н е у ч н о - т о х м и .У*ка.
б и б л и о т е к С С С Р
Д ля того чтобы левый конец балки не отставал от грунта, необхо димо выполнить условие
Р»=о = (ао + Яг) — (оі + а3) > О,
т. е.
(2048 + а) [ (23816 + 155а)Л + 2688(Ша1 — (13 440 + 29а) X
X [(2С — Л) (7680 + 7 а ) + Ша]>0. |
(1-41) |
Для того чтобы правый конец балки не отставал от грунта, также необходимо выполнение условия
|
Px-L = {а0 + а2) + (at + а3) > 0, |
|
|
т. е. |
|
|
|
(2048 + |
а) [(23816 + 155а)Л + 2 6 8805а] + (13440 |
+29а)Х |
|
|
X [(2С —Л)(7680 + 7а),+ 16ІѴа]>0. |
(1-42) |
|
Для того |
чтобы середина |
балки не отставала от грунта, нужно, |
|
чтобы |
|
|
|
|
Р |
L =ао> °- |
|
т . е. |
(8252 — 34а) Л — 1 3 4 4 0 Л а > 0 . |
(1-43) |
|
|
|||
Г Л А В А II
РАСЧЕТ БАЛКИ, ЛЕЖАЩЕЙ НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ,
НАГРУЖЕННОЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ НАГРУЗКАМИ
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК
Пользуясь общими формулами из первой главы, выведенными для произвольной нагрузки, получаем общие формулы для распределенных нагрузок (рис. ІІ-1).
Для определения параметров а0, аи а 2 и а3 используем формулы <І-38).
Hz)
я> CA
ь«2
Ікі
|
|
Рис. I I - l |
|
Реактивные давления |
рх |
на балку со стороны грунта |
определяем |
но формуле (1-2). |
|
|
|
Поперечные силы |
|
|
|
«- [т-(2*-L) - |
is |
<10°' + - *] + |
• -Чг1- |
19