книги из ГПНТБ / Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании учеб. пособие для студентов строит. специальностей вузов

( 2 ß s - l ) ( 3 8 4 +

a ) - C - + 4Me

(23, — 1) 384-7-

10

2048 +

a

2048

( 2 - 0 , 7

-

1)384---

a, — 0,75 — .

3.

Подставляем полученные

значения a0,

alt

аг

и a3 в формулу

(11-16):

р£ =

[0,614 + 1,500 (S — 0,5) + 4,632 (s — 0,5)2

+ 6,000 (5 — 0,5)3 ] • — 5 .

Реактивные давления

грунта в различных точках

равны:

р е = 0 = [0,614 -

0,75 +

1,158 - 0,75] ±

= 0,272 -L ;

Р е = 0

і 2 =

[0,614 + 1,5 (0,2 — 0,5) +

4,632 (0,2 — 0,5)2

+ 6,000 (0,2 —

- 0 , 5 ) 3 ] - £ - =

0,4І9 - £ - ;

p 6 _ 0 t 4 =

[0,614+ 1,5(0,4 — 0 , 5 ) + 4,632 (0,4 — 0,5)"+ 6,000 (0,4—

— 0,5)31

=

0,504

Ps = 0 ,6 = [0,614 +

1,5 (0,6 — 0,5) + 4,632 (0,6 — 0,5)2

+

6,000 (0,6 —

- 0 , 5 ) 3 ] - £ - = 0 , 8 1 6 - £ ;

P ç = 0 , 8 =

[0,614 +

1,5 (0,8 — 0,5) + 4.632 (0,8 — 0,5)2

+

6,000(0,8 —

- 0 , 5 ) 3

] - £ - = 1,643

Рь-і

= [0,614+ 1,5(1—0,5)+ 4,632 (1 — 0,5)2 +6,000(1 —

- 0 , 5 ) 3

] - | - = 3,272

Эпюра реактивных давлений

грунта р показана на рис. III - 4 .

4. Для построения эпюры

поперечных

сил Q воспользуемся

фор­

мулой (III-12):

Q = [0,307 (21 -

1) + 0,2196 + 0,75 Ц -

0,5)2 + 1,544 (S - 0,5)3

+

+ 1,50(6-0,5)«] Р - Г р і Р .

Величины поперечных сил в

различных

сечениях:

0,307 +

0,2196 + - ^ - — - Ь ^ і + АЛ.]

р = 0;

4

8

16

J

Qi=02

= [0,307 (0,4 — 1) — 0,2196 + 0,75 (0,2 — 0,5)2

+

1,544 (0,2 —

— 0,5)3 +

1,5 (0,2 — 0,5)4] Р =

0.07257Р;

Q a = 0 i 5 =

10,307 (2-0,5 — 1) +

0,2196] Р = 0.2190Р;

Qi=Q7

= [ 0,307 (2-0,7 — 1) +

0,2197 +

0,75-0,22 +

1,544-0,23 +

+

1,5-0,24

— 0,5] Р =

0.3866Р;

Qe=i =

[ 0 > 3 0

7

( 2 — О + 0,2196 +

0,75 • 0,52 +

1,544 • 0,53

+

+

1,5- 0,54 — 1] Р = 0.

Эпюра

поперечных сил Q показана на рис. ІП-4.

5. Для построения эпюры изгибающих моментов M воспользуем­

ся формулой (III-13). Подставляя в нее значения а0, аъ

а2 и а3,

после

некоторых

преобразований

получаем

M

=

{0,0165 + 0,307 {I — 1) I — 0,0812 £ + 0,25 (% — 0,5)3 +

+ 0,386 (g -

0,5)4 +

0,3 (l

-

0.5)5

+ [0,3 -

Гр > Ц -

0,7)]}

PL.

Величины изгибающих моментов в различных

сечениях:

M, 0 = [ 0 , 0 1 6 5 - 1 ^ + ^ . - 2 Ж ] р Ь = 0 . г

Е = 0

L

8

16

32

J

М £=о,2 =

(0,0165 — [0,307 (0,2 — 1) + 0,0812] 0,2 + 0,25 (0,2 — 0,5)3

+

+

0,386 (0,2 — 0,5)4 + 0,300 (0,2 — 0,5)6 }

PL = 0,007 PL;

М м

= {0,0165 + [0,307 (0,4 — 1) + 0,0812] 0,4 + 0,25 (0,4 — 0,5)3

+

+

0,386 (0,4 — 0,5)4 + 0,300 (0,4 — 0,5)5}

PL = 0,03045 PL;

M e=o,5 =

(0,0165 +

[— 0,307 • 0,5 + 0,2196] 0,5}

PL = 0,0498 PL;

Mi=0J

=

{0,0165 +

[—0,307 • 0,3 + 0,02196 ]0,7 + 0,25 • 0,04 +

+

0,386 - 0,008 + 0,300 - 0,00016} PL = 0,1080 PL;

M5=1

=

[0,0165 + 0,2196 + 0,25 (1 — 0,5)3

+ 0,386 (1 — 0,5)4

+

+

0,300(1—0,5)5 —(1—0,7)]

PL = 0.

Требуется

построить

эпюры

р, Q и М, если

Pt = 50, Р 2 = 75,

Р 3

= 307; L = 6 лі, / 3 1 = 1,0, / 3 2

= 3,0, / 3 3 = 6,0 м; b = 1 м; h = 0,7 л;

£ 0

= 3 • 105 77л*2; Е = 2,7 X 106

№ .

а. Для

Р е ш е н и е .

Сначала определяем показатель"^гибкости

этого вычисляем

момент

инерции:

50 т

75 т

30 т

/ =

bhs

1 • 0,73

12

12

J

1

0,343 =

0,02858 M1;

тогда

12

кЕпЫ3

E I

3,14 • 300 000

• 1 • 6s

2637.

=

2 700 000 • 0,02858

Пользуясь формулой (II1-4),

получаем

W =

1

-рР„=0,5

2 Р|(0

,5-

6L

0

І)3

1

[ Л ( 0 , 5 - р 3 і ) 3 +

6L

+ P 2 ( 0 , 5 - ß 3 2 ) 3 + P 3 ( 0 , 5 -

~

à

& 8

S- -

1

= 0,05144.

Рис.

111-5

По

формуле (II1-5)

1

w

8

= ІІГ [2 2 р<( 1

~ Р з г ) 4 ~s Р і ( 1 _

м

48L

(2 [Яі (1 -

ß3 1 )4

+ Р , ( 1 -

Р3 2 )4 + Рз (1 -

W 4 1

-

-

[Pi (1 -

Psi) + Рг ( 1 -

Р3 2 ) + Я» 0 - Рзз)]} — W

0,126.

По

формуле

(ІП-6)

Рз2—0.5

г)

I

0

Г

2

Т

+ Г ^ - 0 ,

5 Р 3 ] -

[Pi ( 1 - ß„) + Р 2 (1 -133 2 ) + Р 3 (1 - &,)]} =

1,3888.

Найденные

значения

а, В и N подставляем в формулы

(III-1):

(8252 — 34a) -j-

Yi Pi — 13 440 Ba

a

° ~

13 440

+ 2 9 a

(8252 — 34-2637) — ( 5 0

+

75 +

30) — 13 440 ( — 0,126) 2637

6

= 35,276;

~"

13 440 +

29 • 2637

(5188 +

63a) —

У Pt +

13 440 Ba

3

13 440 + 29a

(5188 + 63 • 2637) 4~ (50 +

75 +

30) +

13440 ( — 0,126)

2637

6

= —9,4423;

13 440 +

29 • 2637

a2

= —28,326;

ai

(1280 —

a) - j

-

[2 E Pi Рз/ —

S Pi]

— 8Na

L

L

J

3

~~

2048 + a

~~

(1280 — 2637) —

[2 (50 - 1 + 7 5 - 3

+

30-6) —6 (50 +

75 +

30) — 8 -1,3888-2637]

б2

2048 +

2637

=

—6,092;

a, =

— 18,276;

a3

(384

+

a) -

j

-

[2 E Р / p w -

E Pt]

+ ANa

_

L

_

i

10

2048 + a

(384 + 2637) —

( — 20) + 4 • 1,3888 • 2637

=

Ё

2048 +

2637

= 2,7685;

a, = 27,685.

Найденные значения ae , au

a2 и a3 подставляем в формулу (11-16):

p x = 35,276 — J2 • 18,276 (^-

— 0,5j + 4 • 28,326 ^ — 0,5^ —

— 8 . 27,685 ( - ^ — 0,5Jj ;

"*=o

35,276 +

18,276 — 28,326 — 27,685 = — 2,457;

p

= 35,276 +

12,184—12,599 — 8,202 ='26,669;

px=2

= 35,276 + 6,092 — 3,1474 — 1,0253 = 37,195;

р л =

3 -

35,276;

р ^ =

4

= 35,276 — 6,092 — 3,1474 +

1,0253 = 27,072;

р ^ =

5

= 35,276— 12,184— 12,589 + 8,202 = 18,705;

рх==&

= 35,276 — 18,276 — 28,326 + 27,683 = 16,602.

Эпюра

реактивных

давлений

грунта

р

на

балку

построена

на

рис.

111-5.

Подставляем

найденные значения а0,

alt

а2

и а3 в формулу (II1-2):

Qx

= [211,656 І~

— 0,5j

+ 4,985 — 109,656

— 0 , 5 —

-226,584 [-j

- 0 , 5 J 8 + 331,776 ^ - — 0 , 5 ^ + 41,666 + 37,5 —

- Г Л = 1 5 0 - Г , = 3 7 5 ]

Величины поперечных сил в различных

сечениях:

слева

Qx=Q = — 105,828 + 84,145 — 27,414 + 28,323 + 20,736 = 0;

Q x = 1

= — 35,276-2 + 84,145 — 3,046 • 4 + 1,049-8 + 0,256-16 = 13,897;

справа

Qx = = 1 = — 36,103;

Qx^2

= — 35,276 +

84,145 — 3,046 + 1,049 +

0,256 — 50 = — 2,872;

слева

Qx=3

= 84,145 — 50 = 34,145;

справа

Q x = 3

=

- 40,855;

Q x = 4

=

35,276 + 84,145 — 3,046 — 1,049 + 0,256 — 50 — 75 = — 9,418;

Qx=5

= 70,552 +

84,145— 12,184 — 8,392+ 4,096 —50 —75 = 13,317;

Qx=5

=

105,828 + 84,145 — 27,414 — 28,323 +

20,736 — 50 — 75

=

=

29,972 «

30.

Эпюра

Q построена

на рис. 111-5.

Найденные значения a0, аъ

a2

и a3 подставляем в формулу (ІІІ-З):

M = 6,284 + J 105,828 f^j-

— 1 j x — 219,305

— 0,5^" —

— 339,941

0,5J4 + 398,676 (jr

~

°'5J

+ 5

0 4

, 8 7 ( " j ) -

- Г / і = 1 5 0 ( х - 1 ) - Г / і = 3 7 5 ( * - 3 ) .

Величины изгибающих моментов в различных сечениях:

Мх=а

=

6,289 + 27,413 — 21,246 — 12,485 = 0;

Мх=1

=6,289 + 1—17,638 -5 + 84,145] • 1 + 8,122 — 4,197— 1,641 =

=

6,289 — 4,045 + 8,122 — 4,197 — 1,641 =

4,528;

M х—2

6,289 +

27,186 + 1,0153 — 0,2623 — 0,05127 — 50 = — 15,82;

Мх=3

=

6,289 + [— 17,638 • 3 + 84,145] 3 — 100 «

0;

Мх=і

=

6,289 +

[— 17,638-2 +

84,145] 4 — 1,0153 — 0,2623 +

+

0,05127 — 150 — 75 =

— 24,461;

M х = 5

=

6,289 +

[— 17,638 +

84,145] 5 — 8,122 — 4,197 +

1,641 —

— 200 — 150 = 6,289 +

332,532 — 8,122 — 4,197 + 1,641 —

— 200— 150 = —21,857;

Мх=6

= 6,289 + 504,87 — 27,413 — 21,246 +

12,458 —

— 250 — 225 = 0.

Эпюра M построена на рис. II1-5.

§ 3. Таблицы для расчета балки,

нагруженной сосредоточенной

силой,

расположенной в произвольном месте

по длине

балки (рис. 111-6)

Для

составления

расчетных

таблиц

воспользуемся

формулами

(Ш-11),

(ІП-14) и (ІП-15). Из этих формул после некоторого преобра­

зования для^рассматриваемого случая получаем

р

А

X

L

и

параметры:

Рис.

I I I - 6

(!-/,)«

(L-k

(8252 — 34а) — 13 440а

4 8 L

6L»

J L

24L«

13 4 4 0 + 29 а

(8252 — 34а) — 13 440а

( 1 - Р з ) 4

1 - Р з

г о , 5

(0,5

— ß 3 ) 3

24

48

13 440

+

29а

-

Р

(Ш-16)

=

а

о - г

;

(5188

+ 6 3 а ) + 13 440а

(L-h)

— Г,

.

24Z.«

48L

6L»

а9

=

3

3

13 440

+ 2 9 а

(5188

+

63а) +

13 440а

( 1 - Р з ) 4

(1-Рз)

^ .

5

( 0 . 5 - Р з ) 3

24

48

13 440

+

29а

L

-

Р

(III-17)

=

а , —

;

( 2 / 3

— L) ( 1280 — а) —

— 8а

LTf

_ 1 _

P ~ P ( L - l 3 )

L*

2048 +

а

=

3

(233

-

1 ) ( 1 2 8 0 - а ) - 8 а

[г|*-°-5. 1 —

(1 — ß 3 ) ]

\ р^

2048 +

а

—

Р

(III-18)

=

0«

— ;

а3

=

10

(2ZS

-

I )

(384

+

а)

—

+

4а

LT*

P

- P

(

L

- l 3

)

1

2048 +

а

L 2

_

( , 0

. I

*

- 1 )

OS4 + .) +

4.

[ I f r ^

.

1 -

( 1 - м| j

_

(

2048 + a

J

L

I

'

Подставляя

в общие формулы (11-16), (III-12) и (111-13) полученные

значения а0,

аъ

а2

и а3,

находим

реактивные

давления:

р={й0

+

2\

(Ç -

0,5)

~Ь 4öjj (fi

— 0,5)2

+

8^

(S -

0,5)3}

х

X —

=

р — .

(Ш-20)

Поперечные

силы:

L

L

Q

1Г (25 -

1)

Щ - (1 0

а «

+

За3 ) +

( 1 -

Р)

+

а 1

( Е - 0 , 5 ) 2 +

+

8

^

^

Ч

4

8 а 3

™

_ Г

р

з

. і

}

P =

QP.

(Ш-21)

Изгибающие

моменты:

240

2

( ^ - 1

)

~ 1 І 0 - (

і 0 а і

+ 3 а з )

+

+

( l -

ß )

^+

2а-1І^М13 +

^

8 а - 2

( £ - ° ' 5

> 4 -

48а. ( £ - 0 , 5 ) 5

1

6

2

24

120

- Г в . ( ^ - І 3

)

)

PL

=

MPL,

(ИІ-22)

где р,

Q

и

M — безразмерные

величины,

включенные в

фигурные

скобки формул

(III-20) — (111-22).

Учитывая действительную ширину балки Ь, расчетные формулы

для р,

Q и M при действии сосредоточенных

сил

примут

следующий

вид:

P =

p - ^ - , W ;

(III-23)

Ы

Q =

QP,

Т;

(Ш-24)

M =~MPL,

Т'М.

(Ш-25)

Для безразмерных величин р, Q,

М, входящих в формулы (II 1-23)—

(Ш-25), составлены

табл. I I I - 1 ,

Ш - 2, ІІІ-З.

Пользуясь этими таблицами, можно найти значения величин р,

Q,

M в любом сечении балки,

нагруженной сосредоточенной силой, рас­

положенной

в

произвольном месте.

Чтобы получить ординаты реактивных давлений р по длине балки,

соответствующие

сосредоточенной силе Р,

необходимо значения ~р из

Р

табл. III - 1 умножить на

согласно формуле (III-23). Для получения

ординат поперечных сил Q по длине балки,

\Р=100г

соответствующих сосредоточенной

силе

Р,

необходимо значения Q из табл. Ш-2 умно­

жить

на

Р согласно формуле (III-24).

L'5

м

Ординаты изгибающих моментов

M по

У

Эпюрар

длине балки,

соответствующие

сосредото­

ченной силе Р,

получаются

путем умноже­

ния значений

M

из табл. Ш-З

на

PL со­

гласно формуле

( I I 1-25).

н о

Пример II1-4. Балка длиной

L =

5

м,

^

£э

лежащая

на

сплошном упругом

основа­

нии,

нагружена

вертикальной

сосредото­

ченной силой Р

(рис. Ш-7).

Эпюра M

Требуется построить эпюры реактивных

<5s <5s pa

«Si & «

давлений грунта, поперечных сил

и

изги­

бающих

моментов,

если а

=100;

13— 2

м;

Ь = I

м;

Р

=

100

Т.

Р е ш е н и е . По приведенным

данным

ß = 0,4.

Сначала построим эпюру реактив­

Рис.

I I I - 7

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

р

1,697

1,571

1,411

1,237

1,060

0,895

0,755

0,653

0,605

0,623

0,723

Чтобы получить значения р, на основании формулы ( I I 1-23)

берем

данные из таблицы и умножаем на - ~ =

= 20:

Ьь

1 - 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Р

33,94

31,42

28,22

24,74

21,20

17,90

15,10

13,06

12,10

12,46

14,46

Эпюра р построена на рис. II1-7.

Чтобы построить

эпюру Q, необходимо из табл.

111-2

взять

дан­

ные Q, соответствующие а =

100 и ß =

0,4 для всех значений £

от

нуля до единицы:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Q

0

0,163

0,313

0,445

0,559

—0,343 —0,261 —0,191 —0,129 —0,067

0

—0,441

Данные Q из табл. 111-2 на основании формулы

(II 1-24)

умножаем

на

Р =

100 Т:

5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0.9

1.0

Q

0

16,30

31,30

44,50

55,90

—34,30 —26,10 —19,10 —12,90

—6,70

0

—44,10

По полученным данным на рис. III - 7 построена эпюра Q.

Для построения эпюрыТИ изтабл. ІІІ-З берем данные М, соответст­

вующие а =

100 и ß = 0,4 для всех значений |

от нуля до единицы, т. е.

£

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

M

0

0,009

0,032

0,070

0,121

0,082

0,052

0,029

0,014

0,004

0

Значения

M согласно

формуле (II 1-25)

умножаем

на

PL =

s

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

M

0

4,50

16,00

35,00

60,5

41,00

26,00

14,50

7,00

2,00

0

Эпюра M построена на рис. 111-7.

Пример III-5. Железобетонная балка

прямоугольного сечения

лежит на кирпич­

ной стене. Балка посередине

нагружена со­

средоточенной силой Р = 68 Т.

Требуется построить эпюры р, Qu M,

если

Е0=

300 000

ТІм\

El = 73

828

Т.м2;

b =

1 M; h = 0,75 M; L = 3,4

M.

Р е ш е н и е . По приведенным

данным

В = А.=

_L7_

=

о,5.

L

3,4

Определяем

показатель

гибкости:

_

кЕ9Ы*

_

а

_

Е І

~

\ .

Сначала

построим эпюру реактивных

Рис.

I I I - 8

давлений

р.

Для этого из табл. Ш-1 бе­

рем

данные

р, соответствующие а = 500 и ß =

0,5 для всех значе­

ний g от нуля до 0,5 (так как балка

нагружена

симметрично), т. е.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

р

—0,132

0,479

0,955

1,294

1,498

1,566

На

основании формулы

(II 1-23)

данные из таблицы

умножаем на

Р

=

6 8

= 20:

е

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

р

—2,64

9,58

19,10

25,88

29,96

31,32

Эпюра р построена на рис. II1-8.

Чтобы построить эпюру

Q, необходимо взять

из табл. III - 2 дан­

ные

соответствующие

а = 500 и ß = 0,5 для всех значений g от

3-597

65