книги из ГПНТБ / Лариков Е.А. Узлы и детали механизмов приборов. Основы теории и расчета

жений;

в) инерционного сопротивления dmu, которое элемент dl испы­ тывает только в направлении происходящего отклонения.

Никакие другие силы не действуют, поэтому можно записать

где dm — Fy dx — масса элемента dl;

коэффициент демпфирующей силы на единицу длины связи;

da

-g угол отклонения силы S + AS (t) от каса­ тельной к середине элемента dl.

На длине dl от сечения / к сечению 2 наклон силы 5 + AS (t) убывает на

Выражение (83) является дифференциальным уравнением ко-

д2и

лебаний связи. Его член AS (t) характеризует источник воз-

111

никновения и поддержания колебаний. Одно это уравнение не способно описать поведение связи во времени, так как оно не ука­ зывает, как смещаются концы связи и в каком состоянии нахо­ дится связь в начальный момент времени. Уравнение должно быть дополнено концевыми (предельными) и начальными условиями.

Однако по сравнению с 1г и / г удлинения Al (I) малы и вдоба­ вок знакопеременны. Поэтому учет Д/ (t) малоэффективен, и в пер­

ваемого элемента dl может быть зафиксировано с помощью коор­

vt.

При этом начало отсчета времени нужно выбирать так, чтобы моменту t — 0 отвечало условие и (t — 0; х) = 0, т. е. прохожде­ ние всей колеблющейся связи через среднее положение и располо­ жение движущегося элемента dl в точке А (или Е) схода со шкива (рис. 39). Такому выбору начала отсчета времени соответствуют начальные условия

от А до В опишет некоторую кривую, отличную от кривой, кото­ рую этот элемент проходил бы, если считать, что колеблющаяся связь с закрепленными концами поступательно движется со ско­ ростью v (рис. 39). В последнем случае каждый элемент связи описывал бы периодическую кривую с постоянной амплитудой. Здесь же, выйдя из точки А, он постепенно увеличивает размах амплитуды, а пройдя середину, уменьшает свои колебания и прекращает их в точке В на другом шкиве. Так как связь колеб-

112

лется как единое целое, то период Т кривой пути элемента dl сохраняется всюду неизменным и равным периоду колебаний самой связи. Рост и последующее затухание амплитуды колебаний обу­ словлены не демпфированием, а изменением направления равно­ действующей сил растяжения элемента. Для колеблющейся связи процесс роста и убыли амплитуды в целом сбаланси­ рован.

Если же предположить, что баланс почему-либо на­ рушается, то на первой поло­ вине пути г каждый элемент будет накапливать больше энергии, чем расходовать на второй. Такие колебания не могут быть устойчивыми и не. могут носить стационарный характер. Отсюда можно сде­ лать выводы:

а) движущаяся и. колеб­ лющаяся связь имеет склон­ ность образовывать одну по­ луволну или пучность, но возможно и большее число

их, что зависит от величины скорости v связи и от ее свободной длины /. Число пучностей должно быть целым;

б) общее число полуволн кривой пути элемента dl за время его прохождения от точки А до В (или от Е до F) должно быть целым. Поэтому число полуволн m на одной пучности также будет целым.

здесь п — число пучностей.

На практике при стационарной работе передаточного узла на­ блюдаются установившиеся незатухающие колебания ветвей связи. Это означает, что происходит компенсация притока энергии, под­

вательно, в среднем эти два члена равны, поэтому из условий (86) получаем

где

а» = •!*-,

Fy

Уравнение (88) описывает незатухающие установившиеся ко­ лебания ветви связи узла в стационарном режиме. Оно известно как уравнение струны и для него существуют два решения: по способу Даламбера и по способу Фурье. Для наших целей больше подходит решение по способу Фурье, имеющее вид

и (х, t) — (A cos akt + В s i n akt) (С cos kx + D s i n kx).

Используя концевые условия (84), начальные (86) и то, что число пучностей п может быть больше единицы, известным спосо­ бом найдем выражения для отклонений и (х, t) и максимальных

ниями -gp- AS (t) и рассеиваемой сопротивлениями р -щ- энергии

колеблющейся связи. Величину В0 можно определить, если запи­ сать равенство интегралов от этих членов за один период колеба­ ний. Значением В0 можно также задаваться.

Об ограничении колебаний. Чем меньше энергия, подводимая

д2и

к связи возмущениями -g^- AS (t), и большее ее рассеивание сопротивлениями р тем меньше амплитуда колебаний В0.

Поэтому для уменьшения и ограничения колебаний, в первую очередь, необходимо конструктивным путем добиваться снижения возможных отклонений х, у, ср, воздействий АМХ (t), AMZ (t) и толчков от неровностей на самой связи, возбуждающих импульсы при набегании и сходе со шкивов. Точно так же желательно, чтобы коэффициент р имел достаточную величину.

I Помимо того, из решения (89) следует, что период колебаний свободной ветви связи может быть получен, если написать оче­ видное равенство

плаТ = г,2л,

114

т. е. период Т зависит от длины колеблющейся ветви I — 1Х

или / 2 , от а — у ~ - и от числа п образовавшихся пучностей.

Условие (90) назовем физическим. Затем Т должен удовлетворять условию (87) — кинематическому. Из этих условий находим

Анализ показывает, что отношение m может принимать только четные значения. При нечетных значениях m прохождение пути I элементом dl несимметрично и неустойчиво.

Возможную величину периода Т определяет физическое усло­ вие (90), не связанное со скоростью v, а отношение m волновой скорости к скорости связи надо понимать как некоторое незави­ симое, подчиняющееся соотношению (91). Следовательно, кине­ матическое условие (87) указывает произведение

откуда следует, что изменение скорости v является тем прину­ ждающим фактором, который за счет смены m по соотношению (91) приводит к изменению числа пучностей «колеблющейся связи 1по формуле (92)]. Наблюдения за реально работающими пере­ даточными узлами, имеющими относительно длинные и сравни­ тельно маложесткие ветви, подтверждают настоящие выводы и ясно показывают как вслед за ростом v происходит сначала воз­ никновение колебаний с одной пучностью (большое ш), затем они пропадают и вновь возрождаются с двумя, потом с тремя и т. д. пучностями (малые иг). Новые установившиеся состояния насту­ пают не для всяких v, а лишь для тех, которые одновременно удо­ влетворяют условиям (91) и (92). Для промежуточных скоростей возмущающие воздействия возбуждают нерегулярные быстро затухающие колебания. Стационарные колебания при этом не возникают.

Так как колебания возможны, когда величины п и m являются целыми'числами, a m к тому же должно быть и четным, то их про­ изведение пт также будет целым и четным. Следовательно, ве­ дущая и ведомая ветви связи не могут приходить в состояние стационарных колебаний, если не выполняются условия (91) и (92). Такие условия возникают, когда, отношение т принимает нечетные или нецелые (ближе к нечетному) значения. В этом слу­ чае импульсы возмущений смогут вызывать лишь кратковремен­ ные быстро затухающие отклонения, а не стационарные колебания.

Следовательно, требование

тодику. Ниже делается попытка предложить такой метод. Его можно назвать методом расчета по сцепляемости связи со шкивами.

Проведение расчета, построенного на приведенной выше тео­ рии, можно разделить на два этапа. На первом из них опреде­

коэффициенты трения, определенные по формуле (65), и другие данные, обычные в таких случаях.

Заданными или исходными при расчете являются: передаточ­

ния (39)—(42), формулу (77), рекомендации и требование о том, что окончательный выбор размеров связи и отдельных элементов узла нужно согласовать с ГОСТом и ТУ на их изготовление в про­ мышленности.

В машиностроении через проектируемый узел часто проходит вся мощность присоединенного к нему электродвигателя. По этой причине в качестве исходных указываются входные значения Nlt

но согласно ограничению (41), формуле (77) и условиям на проек­

где величиной £ф следует задаваться применительно к намечен­ ному виду связи и по опытным данным.

117

Руководствуясь ограничением (39) и задавшись согласно ре-

Условие (42) требует, чтобы число пробегов связи в секунду было не больше [и]. Пользуясь этим требованиям и формулой (36), найдем

где Д/ — некоторое увеличение межцентрового расстояния, чтобы шкивы не касались друг друга. ./

Каждое из условий (96) должно быть выполнено независимо, но, помимо того, величина / может быть указана из конструктив­ ных соображений.

Полученная система соотношений (93)—(96) зависит от задан­

ных п2, i от выбора постоянных [v], ["5 и учитывает кон­ структивные ограничения. Она позволяет последовательно опре­

изволен и может варьироваться, что приводит к различным по

118

а не от одной, как это может представляться по формуле (95). Помимо того, она может быть реализована лишь в случае, когда среди выпускаемых промышленностью имеются связи с толщинами, близкими к расчетным, т. е. после расчета окончательный подбор следует производить по данным ГОСТа и стандартов предприятий. Следовательно, определение толщины h не может быть поставлено в зависимость от прочностного ограничения (40). Последнее нужно выдерживать за счет второго размера сечения — ширины Ъ. В случае, когда связь круглая или клиновая, характер удовлетво­ рения условия (40) сохраняется, но из него вместо ширины Ъ определяют ее эквивалент — число z одновременно работающих одинаковых по сечению связей.

На этом заканчивается первый этап расчета, и нетрудно видеть, что в принципе он пока не отличается от расчета «по тяговой способности».

Далее, из двух формул (66) и (68), в первую очередь и главным образом, используется вторая, характеризующая сцепляемость связи с ведущим шкивом. Основанием этого служит то, что 5Х — максимально, следовательно, для него можно указать допускае­

мому шкиву, и потому на ведущем труднее достигнуть достаточной сцепляемости. Формула (66) оказывается контрольной.

Согласно прочностному ограничению (40) можно записать

Используя эти соотношения, получим

где для краткости, как и в формуле (77), принято

(98)

Формулы (69) коэффициентов £х , £2 , 02 примут вид

.1

1 + - ^ - П + (ао + *о) M l - ( h ) ] 1 + - ^ [ 1 + * о М 1 - ( Н ) ]

1 + - ^ [ 1 + (а0 + 60 ) M l - H i ) ]

119