книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

Неравенство, проверяющее согласно (6-118) условия (6-111), является ограничением для ||Н(х)х||. Отметим, что для этой нормы контуры H=const = co-— кубы, реб­

ра которых равны 2с0с~1.

Для уравнения (6-119) выберем норму

являются неравенствами, позволяющими получить иско­ мые результаты.

Заметим, что в зависимости от выбора нормы функ­ ция может быть и не ограничивающей.

Для того, чтобы показать возможности критерия, применим его для исследования системы т разностных уравнений.

Система m разностных уравнений. Рассмотрим си­ стему, состоящую из m разностных уравнений первогопорядка:

182

Б частности, этот критерий формулируется так: сум­ ма модулей всех коэффициентов каждой строки матри­ цы А должна быть меньше единицы (и это для всех строк).

Точно так же для столбцов: сумма модулей всех ко­ эффициентов каждого столбца должна быть меньше еди­ ницы. Найдем условия, сформулированные для строк Ж. Лагасса, С. Мира и И. Севели [Л. 6-29], исходя из функции Ляпунова:

Для исследователя важно выбрать, исходя из двух областей устойчивости, задаваемых условиями (6-130) и (6-131), наиболее широкую. На практике соотношения (6-130), например, определяют две области Dt и D2. Га­ рантируется устойчивость, если ни в какой момент пере­ менные состояния системы не выходят за поверхность

183

V= |xn|+ |y n |= const, находящуюся внутри области D, полученной в результате пересечения D\ и Dz (рис. 6-23).

Заметим, что система неравенств (6-125) и (6-126) при выборе Ci— Cj= 1 (наиболее частный и наиболее про­ стой случай) не допускает значений коэффициентов

а1, равных единице.

4.Критерий Венгжина—Видаля [Л. 6-30)

Внекоторых задачах случается, что разностные уравнения m-го порядка имеют нелинейные коэффициен­

по системе m уравнений первого порядка, так как по крайней мере (т— 1) коэффициентов равны единице.

Следует применить другой критерий, пригодный для всех систем, описываемых разностными уравнениями лю­ бого порядка.

Условие асимптотической устойчивости хп = 0 являет­ ся необходимым условием устойчивости для х(^)=0. Достаточно рассмотреть только асиптотическую устой­ чивость для хп = 0 и исследовать разностное уравнение, определяющее

s(t)=0.

Предположим, что с помощью соответствующей за­ мены переменных положение равновесия приведено к на­ чалу координат и определяется как

184

является функцией Ляпунова, если для n>N возможно найти положительное число v, при котором удовлетво­ ряется неравенство

Доказательство

а) Пусть функция V — всегда положительная и стре­ мится к нулю в начале координат. Действительно, пред­ полагаем

N

Если соотношение (6-136) удовлетворено, то функ­ ция W положительна и потому же функция V тоже по­ ложительна, так как она всегда больше W:

Этого достаточно, чтобы доказать, что ДУ отрица тельно.

185

Проведем сравнение областей устойчивости для линейной и не­ линейной систем [Л. 6-31].

Система первого порядка. Условие, характеризуемое неравенством v < l — \fi\, является достаточным усло­ вием асимптотической устойчивости системы, описывае­ мой уравнением

Это условие, очевидно, идентично необходимым и до­ статочным условиям устойчивости линейных систем.

Система второго порядка. Достаточное условие асимптотической устойчивости системы, описываемой уравнением

Для линейного уравнения с постоянными коэффи­ циентами

необходимые и достаточные условия устойчивости име­ ют вид:

186

Они определяют область устойчивости линейной си­ стемы, показанную на рис. 6-24, где приведена также область асимптотической устойчивости нелинейной си­ стемы (соответствующей линейным уравнениям с пере­ менными коэффициентами и нелинейному уравнению).

Область асимптотической устойчивости нелинейной системы, конечно, меньшая, чем область устойчивости линейной системы. Невозможно увеличить область

устойчивости нелинейной системы таким образом, чтобы она превосходила область устойчивости линейной систе­ мы (в частности, если fi или /2 являются разрывными).

Укажем выражение условий асимптотической устой­ чивости, часто применяемой на практике. Уравнение (6-147) можно записать:

Azxn+ (fi + 1) Axn+ (fi + /2+ 1) Хп — 0.

(6-151)

Условие асимптотической устойчивости для разност­ ного уравнения

Системы третьего и высших порядков. Необходимое и достаточное условие устойчивости для линейного урав­ нения

187

выражается через коэффициенты а, Ь, с с помощью ряда следующих неравенств:

1 — с2+ ас — Ь> 0.

Эти неравенства определяют область асимптотиче­ ской устойчивости, изображенной на рис. 6-25, где так­ же производится сравнение ее с областью асимптотиче­ ской устойчивости нелинейной системы. При увеличении

порядка разностных уравнений увеличивается и область, заключенная между предложенной областью асимпто­ тической устойчивости и областью устойчивости линей­ ной системы.

З а м е ч а н и е . Отметим, что путем изменений соответствующих координат критерии Калмана — Бертрама, Венгжина — Видаля были обобщены Видалем и Лораном [Л. 6-32, 6-33], Радевым [Л. 6-34] и Бубницким [Л. 6-35]. Однако эти критерии вносят вообще лишь не­ большие усовершенствования, и применение матричной формы запи­ си не меняет смысла метода.

5. Критерий Шеа

Большое затруднение при использовании прямого ме­ тода Ляпунова состоит в том, что рассматриваемая функция Ляпунова не дает всей области асимптотиче­ ской устойчивости исследуемой системы.

188

В. И. Зубов [Л. 6-36] для непрерывных систем свел задачу отыскания функции Ляпунова к нахождению ре­ шения дифференциального уравнения в частных произ­ водных, с помощью которого возможно выбрать функ­ цию Ф, удовлетворяющую определенным условиям. Ре­ шение этого уравнения позволяет получить желаемую функцию Ляпунова. Р. О. Шеа [Л. 6-37] обобщил эти работы на случай разностных уравнений.

Предполагается, что исследуемая система описывает­ ся рядом уравнений с независимыми приращениями

функциями Xj, причем начало координат является точ­ кой равновесия (нулевое решение).

С другой стороны, Шеа предполагает, что матрица А линейной аппроксимации системы обладает собствен­ ными значениями, меньшими единицы в начале коорди­ нат. В этом случае говорят, что имеет место экспоненци­

водит к получению некоторого ряда и к получению ре­ шения V[x(n)]. Проверка этого решения может быть произведена подстановкой его в уравнение (6-158).

18&

рема может быть сформулирована так: если х принад­ лежит D, то 0 ^ Е (х )< 1 .

Доказательство этой теоремы основывается на выра­ жении (6-159) для V[x(n)], найденном при различных вычислениях, произведенных для проверки теоремы 1:

что V[x{k)] является монотонно убывающей для любой последовательности и что ее предел равен нулю.

Теорема 4. Если D является областью, содержащей начало координат, то условие V(x) = \ соответствует гра­ нице асимптотической устойчивости.

Эта теорема позволяет получить необходимые и до­

ны как коэффициенты ряда Тейлора в окрестности на­ чала координат, то функция V(х) может быть разложе­ на в ряд Тейлора, который сходится в некоторой обла­ сти, расположенной вокруг начала координат.

Граница устойчивости определяется из условия V(x) = l. Если нулевое решение экспоненциально устойчиво, то необходимое и до­

бора Ф (х).

190