Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бордовский Г.А. Физика учеб. пособие для студентов фак. естествознания пед. ин-тов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

тывают другого взаимодействия, кроме упругого столкновения и

не имеют собственного объема (точнее сооственным объемом мо - лекул будем просто пренебрегать;. Огромная совокупность моле кул, обладающих такими свойствами, составляет идеальный газ*^

Каждая	молекула		идеального	газа	оудет	обладать массой
ггц ,	скоростью	Ѵі	, энергией	£ t	и др.	Эти параметры

относятся к отдельным молекулам и называются микропараметра -

ми. некоторые микропараметры ( Ѵ[, £і ) при хаотическом дви жении молекул газа в результате их постоянного столкновения

друг с другом будут изменяться, принимая самые разнообразные значения, в силу чего они не могут характеризовать газ в цѳ -

лом. На рис.3 .2 схематически изображено изменение			скорости
некоторой молекулы за определенный	промежуток времени. Если
просуммировать значения^ для всех	N молекул,	из	которых сос
тоит газ в рассматриваемом ооъѳме,	и поделить	эту	сумму	на

К, то получится средняя арифметическая скорость движения

молекул газа			N
		V =	И	й			(3 .7 ;
		V =	N
			N
Эта величина		по-прежнему	является никропараметрим, но отно -
	сится уже не к отдельной молекуле,					а ко всему		газу
I Ѵі N	в делом. Аналогично можно ввести понятие						средней
I Ѵі N	кинетической		энергии молекул			газа	>
		-	_ Z	S L	N		(3 .8 ;	N
Р и с.3 .2		е -		-	N			N
Если все молекулы^газа имеют одинаковую массу,						то £ = 2 m		£Ѵі
Если все молекулы^газа имеют одинаковую массу,						то £ = 2 m		jjf~ ;
Выражение	ѵ*	гг ^Wi/n называется средним квадратом					скорости,
а величина		1-1
							(3 .9 )

- средней квадратичной скоростью^. С учетом этого,среднюю ки-

Идеальный газ такая же физическая абстракция, как и мате - риальная точка, абсрлютно твердое тело и у;п.

Легко проверить, что средняя квадратичная скорость всегда больше средней арифметической скорости.

- 60 -

нѳтичѳскую анергию молекул газа можно записать так:

Г -	у	т ѵ 2	(3 .10)
Как уже отмечалось,	в	процессе хаотического	движения

микропарамѳтры отдельной молекулы принимают всевозможные зна чения, но средние микропараметры при неизменном состоянии га за остаются постоянными. Они изменяются лишь при переходе га за из одного состояния в другое, например, при сжатии, нагре вании и т .п . и в этом смысле являются такими же объективными характеристиками газа, как и макропараметры. Рассмотрим зако номерности, которым подчиняются микропарамѳтры.

§3 . 3 . Статистика идеального газа

Всоответствии с моделью идеального газа любую молекулу можно рассматривать как материальную точку, к которой приме - ними законы механики. Казалось бы, что все свойства газа мож но было бы предсказать, если проанализировать движение каждой молекулы, составляющей га з. математически эту задачу можно представить в виде суммы дифференциальных уравнений, выражаю

щих второй закон Ньютона	для каждой молекулы	= ^ F L
иднако такой подход в принципе является ошибочным. Задача не
может быть решена таким	способом не только из-за огромных ма
тематических трудностей,	поскольку можно было бы мысленно
проследить движение каждой молекулы. Огромная совокупность

частиц (только в одном кубическом сантиметре газа при нормаль ных условиях содержится ~ 2,7*І0ІУ молекул) выступает в но -

вом качестве - она представляет собой статистическую систему, которая подчиняется другим законам, не сводимым к законам ме

ханики. В статистической системе проявляются новые свойства ,

которые не существуют у отдельных молекул. Такая точка зрения возникла еще у древних философов. Например Тит Лукреций Кар в поэме "О природе вещей" писал, что во Вселенной движется бес численное множество атомов, но число типов их ограничено. Ве

щество состоит из	сочетания атомов, которые могут входить		в
соединение друг с	другом лишь ограниченным числом способов,
иами же атомы бесцветны, они не		имеют ни температуры, ни ва	-
	- 61	-

паха, ни любых других свойств, присущих видимым предметам.Тит

Лукреций Кар во многом оказался прав. Ниже мы убедимся, что

многие свойства макроскопических тел, такие, как температура, давление, теплоемкость и др. являются следствием хаотического

движения огромного числа	атомов и молекул, составляющих	эти
тела, т .е . присущи только	статистической системе, а не	отдель

ной молекуле.

Воспользуемся статистическими методами для объяснения не

которых физических свойств газов.

3 . 3 . I . Основное

уравнение

молекулярно-кинетической

теории

газов

Рассмотрим

идеальный

га з,

помещенный в некоторый сосуд .

Несмотря на хаотическое

движение молекул, газ в целом

будет

неподвижен. Это означает, что все направления хаотического

движения молекул равновероятны,

поэтому

можно полагать, что в

любом направлении (в том числе

и перпендикулярно любой стенке

сосуда) будет двигаться в среднем 1/6 часть

всех

молекул

(ри с.3 .3 )

К*

= T

гд е

N -

полное

число

молекул в

объеме, га -

з а .'

При хаотическом движении молекулы уда

ряются о стенки сосуда и упруго отражаются.

Допустим, что все молекулы движутся со сред

Рис.3.3

ней -квадратичной

скоростью

ѵ '. По

второму

закону Ньютона изменение количества двинѳ -

ния молекулы при ударе

будет

равно

импульсу силы

dK. = F dt .

До удара каждая молекула имеет количество движения

К, = m V ',

а после удара

К,' = - m v ' .

Изменение импульса

одной молекулы

составит

dK, -

- 2 mv'. Стенка

при этом

получит

импульс dK,c =

= 2 m v ' .

На площадку

за

время

может попасть

1/6

часть всех молекул, которые находятся от нее на расстоянии не

превышающем v 'd t .	Число	таких молекул можно подсчитать			сле
дующим образом: N» =	£ N	=	jn d V = in v 'd td S	(где	и -
		-	62 -

- концентрация молекул). Полный импульс, который подучит уча

сток стенки площадью S за время d t равен dK = ctK,c Nx =

= 2mV	£ nv'dts		= j n m v 2dtS = Fett.				F = j n mvzS,
Поделим	обе	части	на-	S .		Поскольку	есть давление		р ,
оказываемое		газом	на стенку			сосуда, запишем, что
			р	=	J- n m v 2			(3 .12)
Величина	j m v 2		есть		средняя кинетическая энергия хаоти
ческого движения молекул газа (см.3 . 8 ) ,							поэтому	выражение
(3 .12) можно представить					в	виде (3 .13)
			р	=	£	Г\1		(3 .13)
Это соотношение называется основным уравнением модеку									-
лярно-кинетической теории					газов. Уравнение		(3 .13)	вскрывает

глубокую и неразрывную связь между микро- и макропараметрами.

В частности, опираясь на него, можно уяснить физический смысл давления газа . Давление обусловлено непрерывной бомбардиров -

кой стенок сосуда хаотически движущимися молекулами, в про -

цессе которой они передают стенке определенный импульс. Вели чина давления определяется средней кинетической энергией по - стунательного движения молекул. Совершенно очевидно, что дав

ление .- это результат коллективного действия огромной сово

кугшости молекул, образующих статистическую систему. Оно

не

имеет смысла применительно к одной молекуле.

Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории

газов вытекает ряд важных следствий. Рассмотрим некоторые

из

них.

3.3.2.Теоретическое обоснование газовых законов

В основном уравнении молекулярно-кинетической

теории

(3.13)

концентрацию молекул

представим в виде

=-^-(где

V - объем газа, а

число молекул

этом объеме,

тогда .

получим

р г ! 2L £

или

рѴ

у К £

(3 .14)

При условии, что

const, уравнение

(3 .14)

совпадает

законом

ізойля-Мариотта

(

рѴ

= const

) .

Поскольку

этот

за

кон выполняется при постоянной температуре, следует

ожидать

63 -

что средняя кинетическая энергия хаотического движения моле - кул связана с температурой газа . Для выяснения этой связи про ведем совместное рассмотрение основного уравнения молекуляр - но-кинѳтической теории газов и уравнения Клапейрона-Менделее

ва. Приравняем правые части уравнений (3 .5 )							и (.3.13):	=
= JVTRT. В одном моле газа			(	т = /и	) всегда		содержится	одно
и тоже число молекул		NA	= 6,023		ІО25	моль- 1 , называемое чи-
сдом Авогадро.	поэтому для			одного моля		последнее уравнение
принимает вид	(3 .15)
	\| N a £ = R T						(3 .15)
или (3 .16)
	6 - - І І Т						(3 .16)
Поставим это значение		6	в уравнение			(3 .1 3 ):
	Р ' П & Т					.	(З-ІЧ

Отношение универсальной газовой постоянной к числу Авогадро

К = & <5 -ВД

является фундаментальной константой. Эта константа называется

постоянной Больцмана, и системе СИ	к = І ,3 8 .І 0 -23дж/град.
Воспользуемся постоянной Больцмана	и запишем (3 .17) в оконча
тельном виде
	3 19
Это выражение по сути дела соответствует эмпирическому
закону Гей-люссака. р = nkT	( . )
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической

теории использовалась		модель идеального газа, реальные же мо
лекулы имеют конечные		размеры	и характеризуются некоторым
собственным	ооъемом. на р и с.3		.4 показано, что центры молекул
радиусом г	не могут	сблизиться на расстояние, меньшее, чем
2 г . Разреженный газ		занимает большой объем, по сравнению с

которым собственный объем молекул пренебрежимо мал.При силъ - ном сжатии пренебрегать собственным объемом уже нельзя«Напри мер, при давлении 5000 атмосфер сооственный объем молекул со ставляет уже половину всего занимаемого газом ооъема, т .ѳ .

свободный ооъем уменьшается в 2 раза. Уменьшение свободного - 64 -

Рис.3.4-

объема можно учесть, если в уравнение Клапейрона-Менделеева ввести соответствующую поправку:

p (v -6) = RT. Далее следует учесть,что ме жду молекулами реального газа действуют силы притяжения, благодаря которым мо - лѳкулы, находящиеся у стенок,будут втя гиваться в объем. Это равносильно дей - ствию добавочного давления. Добавочное давление пропорционально квадрату кон - центрации или обратнопропорционально ■квадрату объема Следовательно, для более точного отра -

жения свойств реального газа нужно в уравнение Клапейрона-Мен делеева ввести поправку на'добавочное ("внутреннее") давление,

равную	-^2 . Введение вышеназванных поправок приводит	к
уравнению	Ван-дер-Ваальса

(р + $)(Ѵ		- ß) =	RT	(3 *20)
Численные значения	поправок а й в		определяются свойствами
конкретных газов.
3 .3 .3 .Физический смысл температуры
Температура,	как один	из макропараметров, есть		понятие

эмпирическое. О ней судят, например, по физиологическому ощу

щению (тепло, холодно, жарко), по изменению каких-либо физи							-
чѳских характеристик материальных тел (по изменению объема
газов и жидкостей, по	изменению цвета раскаленных тел) и т .п .
Физический же смысл температуры при этом остается неясным.
Вернемся к соотношению (3 .1 6 ), в котором						заменим
постоянной Больцмана	к :
Е -	4	к Т				(3 .21)
Из этого соотношения следует, что				температура		определяется
средней кинетической энергией хаотического					движения молекул		«
т . е . , как и давление,	это	понятие		присуще	лишь статистической
системе и не существует у отдельной шэлекулы						или атома.
Из соотношения (3 .21)		Е	=	=	^-КТ следует, что
		-	65	-

температура идеального газа не зависит от концентрации моле - кул, от их массы и других микропараметров, кроме средней ки - нѳтической энергии. Если газ состоит из смеси разнородныхмо

лекул и находится при постоянной температуре, то средняя	к и
нетическая энергия всех сортов молекул одинакова	=
- \| к т .
Опыт показывает, что при соприкосновении двух тел,	имею

щих первоначально различную температуру, начинается ее посте


пенное	выравнивание за счет перехода тепла от более нагретого
к менее	нагретому телу. С точки зрения молекулярно-кинетичѳ			г
ской теории этот процесс		можно представить так. Пусть перво		-
начально молекулы одного		и другого теда имели среднюю кинети
ческую	энергию соответственно 8і = ^ ~ j KI , Ьі		J-KT2

В результате хаотического столкновения молекул будет происхо дить постепенный обмен энергией,и со временем все молекулы_

станут характеризоваться средней кинетической энергией			£ь =
=	= -\|- КТ3 ,	т .е . оба тела примут температуру	Т5 .
•	Взаимосвязь	температуры со средней кинетической энергией

молекул имеет место не только для газа, но и для любых макро скопических тел вообще. В частности, повышение температуры при заболевании связано с усиленным выделением энергии в ор - ганизмѳ, которая идет на борьбу эритроцитов с болезнетворными микробами. Если очаг инфекции локализован, например, ранка на

пальце, то повышается температура только этого участка тела .В

ослабленном организме выделение энергии уменьшается и темпе - ратура может стать ниже нормальной.

После более детального знакомства со статистикой газа

мы еще раз вернемся к уточнению физического смысла температу ры.

3 .3 .4 .Распределение Максвелла-Больцмана

В жизни очень многие события и величины являются случай ными. Например, нѳльзя заранее точно сказать сколько человек в течение месяца заболеет гриппом, с какой скоростью пройдет по улице автомобиль, сколько зерен будет содержать сорванный колос, пшеницы, и .т .п . Случайными являются и микропараметры , которыми обладает в данный момент какая-либо молекула газа .

- 66 -

Несмотря на то, что случайные величины не могут Оыть

заранее точно предсказаны, тем не менее они подчиняются опре деленным законам - законам статистики. Такие закономерности

отчетливо проявляются		в распределении учеников одного	класса
по росту	(р и о .3 .5 ), в	распределении волокон хлопка по	длине
(р и с.3 .6)	и т .д . Подобным хе образом можно рассмотреть		и рас

пределение молекул по скоростям. Поскольку газ представляет

Рис.3 .5 Рио.3 .6

собой статистическую систему, а скорости молекул есть величи

ны случайные, то не имеет смысла предсказывать заранее ско -

рость какой-либо молекулы или число молекул, обладающих, на -


пример, скоростью 340 м /сек . Численно распределение							молекул
по скоростям можно охарактеризовать отношением						^лГ »_		ГДѲ
ДѴ	- интервал скоростей от		V до	V +ДѴ , а			д Й	- чи
сло молекул, скорости которых лежат в				этом	интервале. Иногда
используют относительное		число молекул, скорости которых лѳ							-
жат в единичном интервале -			(	N	- полное		число	мо	-
лекул в рассматриваемом		объеме	га за ).	Для примера в нижееле -
дующей таблице приведено		распределение		молекул кислорода					по

скоростям при температуре 273°К. Эти же результаты представ - лены графически на рис.3 .7 . При бесконечном уменьшении интер

вала скорости ( ДѴ ——0	)	ступенчатая кривая перейдет в
плавную, которая на ри с.3 .7	изображена пунктиром. В этом			слу
чае вместо величины		следует рассматривать	отношение
бесконечно малых величин		. Данное отношение,	зависящее
от скорости, называется функцией распределения молекул				газа
	-	67 -

							Таблица			3.1
ДМо/
- цдѵ'«				ДѴ, м/сек				ДЯ		• 100%
								AVN
					0	-	100		I
				ІОІ		-	200		8
				201		-	300	16
				301		-	400	21
				401		-	300	20
				501		-	600	15
				601		-	700		9
						>700			7
	Рис.3.7
газа по	скоростям:
		$	- f(v)					3.22)			(
Функция распределения показывает число молекул, скорости ко -
торых лежат в единичном интервале. Аналитический вид										этой
функции	определил Максвелл		(1831	- 1879).
	$	= Х						<3 -23>
Функция распределения Максвелла				экспериментально				была	впер		-
вые проверена Штерном в 1932 г . Прибор для проведения										опыта
Штерна состоит из двух жестко скрепленных коаксиальных цилин
дров, по	оси	которых натянута серебряная			проволочка (р и с.3 .8 ).
Внутренний цилиндр имеет узкую прорезь.					В пространстве между
				между	цилиндрами создан						ва
				куум.	Проволочка раскаля						-
				ется	так, что молекулы
				серебра		будут		испаряться			и
				радиально			разлетаться.				На
				рис .3 .8а			их траектория изо
				бражена		пунктиром. Некото
				рая часть этих молекул че
				рез отверстие				в малом ци -
		Рис.3.8		линдре		оудет		достигать

- 68

стенки наружного цилиндра и осаждаться на ней н некоторой то чке А. Заметим, что в эту точку будут прилетать все молекулы, прошедшие через прорезь, независимо от величины их скорости . Пусть скорость молекул равна V , тогда расстояние между ци линдрами они пролетят за время

	A t »		(3 .22)
Если привести цилиндры во вращательное движение с			угловой
скоростью ш , то за	время A t	система повернется на угол
ДЦ> - со At. Молекулы,	прошедшие	через щель, будут	по-прежнему

сдвигаться относительно неподвижной системы отсчета прямоли - нѳйно, но относительно вращающихся цилиндров их траектория бу дет криволинейной (на рис.3.8а она изображена сплошной лини -

ей ).	С учетом (3 .22) угол отклонения молекулы от первоначаль
ного	положения можно представить в виде	(3 .23)
	A < f ~ с о R	(3.23)
	V

Из этого соотношения следует, что молекулы, обладающие разны

ми скоростями, отклонятся на разные углы . Количество сереб ра, осажденное в некотором угловом интервале сі(дір) пропорци

онально числу молекул, скорости которых находятся в интервале

d v . Таким ооразом, профиль осевшего на стенку вещества бу

дет экспериментальной кривой распределения молекул по скорос

тям. Графически такая кривая представлена на рис.3 .9 , из ко -

торого видно, что функция распределения Максвелла имеет мак - симум. Скорость, соответствующая этому максимуму, называется

наиболее вероятной скоростью ( Vj ) . Это означает, что наи - большее число молекул обладает скоростями, олизкими к данной. Аналитически наиболее вероятная скорость определяется выраже нием (3 .24)

Vj = y]WL

(3.24)

численно Ѵ| оказывается меньше средней арифметической ѵ и

средней квадратичной скорости,	которые могут быть представ
лены соответственно как (3.2Ь)	и (3 .26)

V = \ IW _	<3-25'
V ' = JW'	(5 .2 «)

- 69 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ