книги из ГПНТБ / Бордовский Г.А. Физика учеб. пособие для студентов фак. естествознания пед. ин-тов
.pdfтретьего закона динамики на следующем примере. Электрический
|
заряд, существующий |
на Луне, создает |
в |
||
|
некоторой точке Земли электрическое поле. |
||||
|
Поместим в эту точку другой электрический |
||||
|
заряд. На него сразу же будет действовать |
||||
|
сила со стороны первого, тогда как на пер |
||||
|
вый заряд |
сила начнет |
действовать спустя |
||
Рис.2.13 |
примерно |
секунду, поскольку элѳктромаг |
- |
||
нитноѳ поле передается с конечной скорос- |
|||||
|
|||||
тью, равной скорости света. Естественно, что в том случав |
, |
||||
когда продолжительность взаимодействия велика по сравнению |
с |
||||
промежутком времени, необходимым для прохождения света от од ного тела к другому, третий закон динамики справедлив. Напри мер, он достаточно строго выполняется при всех механических взаимодействиях.
Третий закон Ньютона объясняет кажущееся иногда наруше - ние второго закона динамики. Действительно, не всегда прило -
женная к телу сила будет вызывать ускорение. Например,на груз,
лежащий на |
столе, |
действует |
сила притяжения к Земле, |
но |
груз |
|
покоится, |
или другой случай |
- тело |
прижимают с силой |
F |
к не |
|
подвижной |
стенке |
(р и с .2 .1 4 ). |
Здесь |
также, несмотря на |
дейст - |
|
виѳ силы, ускорение тела равно нулю. Причина этого состоит^в
том, что при соприкосновении тел возникает сила реакции Fr,
которая по третьему закону динамики равна по величине и обрат
на по направлению действующей |
силе |
F . Значит в этом случае |
||||||
|
|
|
|
на тело действует две силы F |
и |
|||
|
|
|
|
Fr |
, равнодействующая которых |
|||
|
|
|
|
равна |
нулю.*' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Силы реакции возникают |
как |
||
|
|
|
|
силы электрического отталкивания |
||||
|
|
|
|
между атомами |
соприкасающихся |
|
||
|
|
|
|
тел и имеют, |
следовательно,элек |
|||
Р и с.2 .14 |
|
тромагнитную |
природу. |
|
|
|||
* / Обратите |
внимание, |
что' силы F |
и % |
приложены, к |
одно- |
|||
му телу |
и ѵ |
них может быть равнодействующая, тогда |
как |
си |
||||
ла г = - F |
приложена к стенке. |
|
|
|
|
|||
t |
|
|
- |
30 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2 .3 . Закон всемирного тяготения
В1682 году Исаак Ньютон в своих знаменитых "Началах"писал: "Тяготение существует ко всем тблам вообще и пропорцио - надъно массе каждого из них". Далее -он установил, что сиды тя готения обратно пропорциональны квадрат.ѵ расстояния между те лами и направлены по прямой, соединяющей центры масс этих тел. Аналитически закон всемирного тяготения для двух точечных тел
массой |
mi и |
П\г , расположенных на |
расстоянии |
г (ри с. |
2.15) |
записывается так: |
|
|
|
|
|
F = |
К jI^ r i . |
(2.22) |
или в векторной форме:
-------г ----------
|
|
ТПг |
Fl2 |
P2I |
Пи |
F 12 =
в4 * и =><
Ш| ll|Z |
|
rz »B |
(2 .23a) |
m. m* rv |
(2 .236) |
r i |
|
Рис.2 |
.15 |
где Г,г и |
K, — единичные |
|
вектора, |
у - |
гравитационная постоянная. |
В системе СИ |
она |
|
составляет |
~ 6 |
,6 7 * І 0 _І* |
н.м2/к г2 . Масса, |
фигурирующая в |
за |
коне всемирного тяготения, характеризует гравитационные свой
ства материи, поэтому она называется гравитационной массой . Совсем не очевидно, что она тождественна, инертной массе, рас смотренной в предыдущем параграфе. Однако многочисленными
опытами, погрешность которых не превышает ІО-8^ , установлено,
что гравитационная и инертная массы |
эквивалентны друг другу |
, |
|||
поэтому часто употребляется просто термин |
"масса". |
|
|
|
|
С законом всемирного тяготения тесно связано широко упо |
|||||
требляемое в жизни понятие веса тела |
|
р . Однако |
в е с , |
тела |
|
и сила его притяжения к Земле Fr |
не |
одно и то |
же. |
Убѳ |
- |
диться в этом можно на следующем примере. При прыжках с вышки человек испытывает состояние невесомости, тогда как сила тя - готения существует всегда и не зависит от того, движется че - ловек или покоится. Весой тела принято считать силу, с кото -
рой |
оно действует на |
опору. |
По третьему закону Ньютона |
вес |
|
тела |
численно равен |
силе реакции |
опоры Р = Fr . У человека |
с |
|
|
|
- |
31 |
- |
|
весом связано физиологическое ощущение тяжести, о которой он
судит по действию со стороны жидкости, заполняющей полукруг - лыѳ каналы внутреннего уха, на окончания нервных клеток.
Разберем понятие веса и невесомости на примере тела мас сой т , помещенного в лифт. С точки зрения стороннего наблю
дателя, находящегося в инерциальной системе отсчета, например,
на лестничной площадке, на тело действует |
сила |
тяготения |
Fr = |
||||||||||||||
= У |
mj^3 |
|
(где llj |
и |
R |
- |
масса и радиус |
Земли) и сила |
ре |
- |
|||||||
акции |
рг . |
В состоянии |
покоя |
(р и с.2 .16а) |
эти |
силы уравно |
- |
||||||||||
вешивают друг |
друга |
Гт |
= Fr , |
и в |
этом |
случае |
вес тела |
|
равен |
||||||||
силе |
притяжения к Земле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Р г FT = |
|
|
|
|
|
|
|
(2 .24) |
|
|||
Если |
же |
лифт начнет |
двигаться вниз с |
ускорением |
а |
(р и с .2.1631 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
то по второму закону Ньютона рав |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
нодействующая всех действующих |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
на |
тело |
сил |
( |
F ' ) |
равна |
произ |
- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ведению массы тела на его уско - |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
рение, т .е . |
F' |
= |
т а . |
С |
другой |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
стороны, |
|
|
F' |
= |
FT - Fr |
= т а , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ис.2.16 |
|
|
|
|
Fr = |
FT - т а |
|
(2.25) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как |
по определению |
сила |
реакции |
опоры численно |
равна |
|||||||||||
весу тела, то легко видеть, что в этом случае вес тела меньше
силы тяготения на величину |
т а . Если |
ускорение будет |
таким, |
что ma^FT, то сила реакции |
опоры, а |
следовательно, |
и вес |
тела будут равны нулю. В этом состоянии человек физиологичес ки не будет ощущать действие каких-либо сил, поэтому говорят, что настуііает невесомость. Видно, что состояние невесомости возникает при свободном падении тела. Ускорение свободного па
дения g |
можно найти следующим образом: |
FT = |
у 2 |
= mg |
|||
|
9 |
= у |
|
|
|
|
(2 .2 6 ) |
т .е . оно |
определяется массой Земли и расстоянием |
падающего |
|||||
тела до |
ее центра и не зависит от свойств |
самого |
тела, |
поэто |
|||
му для любой фиксированной точки |
g |
есть |
величина постоян - |
||||
ная. Для |
покоящегося тела, |
когда |
вес |
равен |
силе |
тяжести, мон- |
|
|
|
- 32 |
- |
|
|
|
|
і
но записать, что
1)
(2 .2 7 )
Космический корабль-спутник при выключенных двигателях находится под действием только силы всемирного тяготен ия,!.е. движется с ускорением свободного падения, поэтому космонавт ,
подобно человеку, прыгающему с вышки, испытывает аналогичное
состояние |
невесомости. |
|
|
Если лифт движется с ускорением, направленным вертикаль |
|||
но вверх |
(р и с .2 .І6 в ), вес тела |
будет больше силы тяготения |
на |
величину |
т а : Fr - F T = т а . |
Fr = Р = Fr + т а . Реактивные |
са |
молеты и ракеты стартуют с большими ускорениями, поэтому пи - лоты и космонавты испытывают значительные перегрузки. Так,при
подъеме |
с |
ускорением |
а = g |
вес тела удваивается, при а = • |
= 2д |
- |
утраивается |
и т .д . |
В лабораторных условиях многократ |
ное увеличение веса достигается с помощью центрифуг, в кото - рых тела вращаются с большими центростремительными ускорения ми.
Влияние ускорения |
на вес тела можно, рассмотреть и с точ |
ки зрения наблюдателя, |
стоящего в лифте, т .е . находящегося в |
неинерциальной системе отсчета. Такой наблюдатель покоится относительно лифта, поэтому не обнаруживает воздействия, ока
зываемого на систему отсчета. Изменение веса он ощущает |
как |
|||||
результат действия некоторой силы, называемой силой инерции |
|
|||||
Fn |
. Сила инерции направлена в сторону, |
противоположную у с |
||||
корению системы отсчета и численно равна произведению массы |
|
|||||
тела |
на ускорение системы отсчета: |
|
|
|
|
|
|
т а |
|
|
(2 .2 8 ) |
|
|
Вес |
тела для наблюдателя, находящегося в |
лифте, можно |
записать |
|||
в виде суммы силы тяготения и силы инерции: Р = |
FT - |
ша.Вид- |
||||
но, что выражение фактически совпадает'с |
(2 .2 5 ), |
т .е ., как |
|
и |
||
следовало ожидать, вес тела не зависит от места нахождения |
|
|
||||
наблюдателя. В повседневной жизни человек часто испытывает |
|
|
||||
действие сил инерции - при подъеме и спуске в лифте, |
при ус |
- |
||||
^Строго говоря, даже в состоянии покоя вес тела не равен
силе тяготения, поскольку из-за вращения Земли вес |
тела |
на |
||
ее поверхности |
имеют |
центростремительное ускорение |
ctn= |
- |
=ѵ2/г = со2г . |
(где |
г - радиус параллели, на которой на |
||
ходится тело). Однако изменение веса тела за счет вращения
Земли незначительно. |
- 33 - |
корѳнии и торможении автомобиля и т .п .
В отличие от обычных сил, для сил инерции невозможно указать, действием каких материальных тел они обусловлены. В силу этого их иногда называют "фиктивными" силами.
§ 2 .4 . Применение законов динамики к вопросу о полете искусственных спутников Земли
' Из повседневной жизни известно, что любое брошенное тело
падает на Землю. Дальность полета горизонтально брошенного те
ла тем больше, чем выше скорость полета. Еще в 1660 году
И.Ньютон показал, что при увеличении начальной скорости поле
та можно достичь такого состояния, когда брошенное тело уже
не упадет на Землю, а будет двигаться вокруг нее по окружнос
ти. Смысл рассуждений Ньютона |
отражает р и с;2 .І7 . |
|
Скорость,ко |
|||||
торую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало |
двигаться |
по |
||||||
круговой орбите вокруг Земли, |
называют первой космической ско |
|||||||
|
ростью. Вычислим значение этой скоро- |
|||||||
— |
сти следующим образом. Допустим, |
что |
||||||
Ѵ |
тело под действием силы тяжести |
уже |
||||||
|
совершает движение по окружности вок |
|||||||
|
руг Земли. По второму закону Ньютона |
|||||||
|
fr = |
т а |
. Так как |
|
FT = у |
|
||
|
|
ТО |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
V , |
|
(2 .2 9 ) |
||
|
Численно |
она |
равна 8.ІСГ |
|
м /сек. |
|
||
Р и с.2.17 |
Тела могут быть искусственными ' |
|||||||
спутниками Земли при ѵ > |
8-ІО^м/сек. |
|||||||
|
||||||||
В этом случае они будут |
двигаться |
по |
элиптическим |
орбитам |
|
|||
(р и с .2 .1 7 ) . Однако при |
скоростях |
ѵ2 |
== II-IO^ м/сек тела |
спо |
||||
собны преодолеть силу земного тяготения и по пораболической траектории покинуть Землю. Такая скорость называется второй космической скоростью. Подробнее о ней будет сказано в следу ющем параграфе.
- 34 -
§ 2 .5 . Законы сохранения
Несмотря на самые разнообразные и сложные процессы, про текающие в природе, существуют определенные физические вели -
чины, которые |
остаются постоянными при любых превращениях. |
В |
|||||
настоящее |
время физикам |
известно несколько законов сохранѳ |
- |
||||
ния. Некоторые |
из |
них были установлены давно. Еще М.В.Лоыоно- |
|||||
сов |
(І7 ІІ |
- 1765), |
например, высказал мысль о сохранении дви |
||||
жения следующим образом: "Все изменения, случающиеся в |
приро |
||||||
д е, |
происходят |
так, что |
если что-либо прибавится к чему-либо, |
||||
то |
столько |
же |
отнимется |
от чего либо др у го го ... Так как |
этот |
||
закон всеобщ, то он простирается также на правила движения, и тело, побуждающее своим толчком другое к движению, столько же теряет своего движения, сколько сообщает другому, движемому им".
Несмотря на |
то, что |
законы сохранения |
во |
многих |
случаях |
не представляют новой информации о явлениях |
и процессах, они |
||||
занимают в физике |
очень |
важное место. Дело |
в |
том, что |
законы |
сохранения не зависят от характера действующих сил или формы
траектории, поэтому на их основе можно делать самые |
общие |
и |
существенные выводы, например, из закона сохранения |
энергии |
|
следует важный вывод о невозможности создания вечного двига - теля и др.
2 .5 .1 . Закон сохранения количества движения ( импульса)
Из второго закона Ньютона (§ 2.2) следует, что импульс тела изменяется благодаря действию импульса силы: dK. = p d t. Рассмотрим замкнутую систему тел, т .е . такую систему, в кото рой действуют только внутренние силы, созданные телами, вхо - дящими в данную систему и отсутствуют внешние силы, созданные телами, не принадлежащими ей. На рис.2 .18 представлена замк - нутая система, состоящая из двух тел. Количество движения замкнутой системы равно векторной сумме импульсов тел, соста вляющих систему:
КС = К , > К 2 |
(2.30) |
- 3 5 -
dKc |
= |
dK , |
+ dK 2 |
|
(2.31) |
||
Поскольку dKi = F|2 dt , |
а |
dK2 |
|
|
Fa, dt, |
TO |
|
dKc |
= |
F|2 dt |
+ |
Fa,dt |
|
(2 .3 2 ) |
|
По третьему закону-Ньютона |
FI2 |
= |
- |
F21 , |
поэтому |
|
|
d K c |
= |
Fi2dt - |
|
F|2dt |
= D |
(2 .33) |
|
( Q[«
На основании (2 .3 3 ) можно дать следующую формулировка закона сохранения количества движения: вектор количества движения зам кнутой системы тел есть величина постоян ная.
|
|
F21 |
// |
|
|
Закон сохранения импульса |
лежит в |
ос |
|||||||||
|
|
1 0 |
нове |
реактивного |
движения. В ракете |
про |
- |
||||||||||
|
|
|
|
|
исходит постепенное |
сгорание |
топлива, |
а |
|||||||||
Р ис.2.18 |
|
|
газообразные |
продукты горения с |
|
высокой |
|||||||||||
|
|
скоростью истекают через сопло назад(рис. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 .1 9 ). За счет |
истечения газов |
масса |
ра |
- |
||||||||
кеты за единицу времени уменьшается на величину |
jw . |
Пусть |
в |
||||||||||||||
момент времени |
t |
|
ракета имела массу |
М и скорость |
относи |
- |
|||||||||||
тельно |
Земли |
ѵ . |
Через |
некоторый промежуток времени dt |
масса |
||||||||||||
ракеты |
составит |
|
M -^ n d t, а скорость |
^ + d v . |
Если |
ско |
|||||||||||
|
|
рость истечения газов-относительно ракеты равна |
|
||||||||||||||
|
|
то относительно Земли газы будут двигаться со ско |
|||||||||||||||
|
|
ростью |
|
Ѵг |
V . В момент времени t |
суммарный им |
|||||||||||
|
|
пульс |
системы |
ракета |
- |
газы |
составлял |
___ Мѵ", |
а |
в |
|||||||
|
|
момент времени |
t + dt |
- |
|
(M~JHdt)(v + dv) |
+ |
|
|||||||||
|
|
-tyvidt(\£ |
+ ѵ/, |
Система |
ракета |
- газы замкнута, |
поэ |
||||||||||
|
|
тому полный импульс будет сохраняться, т .ѳ . |
МѴ |
||||||||||||||
|
|
= ( М - yMdt}(v + d v ) |
+ |
j n d t ^ + v ) , |
|
|
откуда |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
- J* % |
|
|
(2 .3 4 ) |
||||
Рис.2.19 |
Левая |
часть |
уравнения (2 .3 4 ) |
является |
произведени |
||||||||||||
ем массы ракеты на ее ускорение. По второму закону |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
Ньютона эта^величина равна действующей на |
ракету |
||||||||||||||
силе, |
поэтому |
- juv2 = Fp |
|
называют реактивной |
силой . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- 36 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак минус показывает, что реактивная сила противоположна на правлению скорости истечения газов.
Из |
формулы (2 .34) следует, что для достижения |
высоких |
|
|||
скоростей нужно затратить большое количество тошшва.На |
рис. |
|||||
|
|
2.20 показано, как.измѳ - |
||||
|
|
няется масса ракеты |
при |
|||
|
|
достижении ею второй |
кос |
|||
|
, МАССА ПРИ СТАРТЕ |
мической |
скорости.При |
по |
||
|
лете на |
Луну, например |
, |
|||
|
|
|||||
|
|
топливо |
составляет 90% на |
|||
|
|
чальной массы ракеты. |
|
|
||
|
|
Реактивное |
движение |
|||
|
|
имеет место и в живой при |
||||
|
|
роде, в |
частности, своеоб |
|||
|
|
разным реактивным двига |
- |
|||
|
|
телем является |
медуза |
- |
|
|
|
|
сокращаясь она |
выбра сыва- |
|||
|
|
У км/ сек. |
|
|
|
|
|
|
ет струю воды и получает |
|
|||
|
Рис.2.20 |
некоторый импульс в про - |
||||
|
тивоположном направлении. |
|||||
|
|
|||||
|
|
Движение медузы также |
опи |
|||
сывается |
формулой (2 .3 4 ) . |
|
|
|
|
|
2 .5 .2 . Закон сохранения момента количества движения
В замкнутой системе сохраняется не только количество дви жения, но и величина
L = ІЙ-К! |
(2.35) |
/
называемая моментом количества движения или моментом импульса
Для материальной точки, вращающейся по |
окружности радиусом |
R |
|||||
с линейной |
скоростью |
V |
(р и с.2 .2 1 ), |
количество |
движения |
|
|
К = т ѵ |
и |
К і R, |
поэтому момент количества |
движения мож |
|||
но записать |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
= Rmv |
|
(2 .36) |
|
Убедимся, что закон сохранения момента |
импульса нѳпосредст |
- |
|||||
вѳнно вытекает из второго закона Ньютона для вращательного |
|
||||||
движения |
(§ |
2.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- - 37 |
|
|
|
L |
|
|
Ifi |
= м |
|
(2.371 |
||
Применительно к рис.2.21 |
I = mR2 . |
Д = $ У |
|
|||||
и) |
|
|||||||
Тогда |
выражение (2 .37) можно представить |
в |
||||||
|
||||||||
|
виде |
(тѴ?СЗ) |
М |
_Т_ак как |
cuR = V, |
|||
|
а |
|
піѵ = К , то |
|
М, |
т .е . |
|
|
Р ис.2.21 |
|
dL |
= м |
|
(2 .38) |
|
||
|
|
|
|
|||||
Если момент внешних сил М = 0 . то момент количества |
движения |
|||||||
тела есть величина |
постоянная. |
|
|
|
|
|||
|
Второй закон |
Кеплера, который гласит, что радиус вектор |
||||||
любой планеты относительно Солнца описывает за равные промѳ -
жутки времени равные |
площади (р и с.2 .2 2 ), есть следствие зако |
||
на сохранения момента |
импульса. |
|
|
|
Р ис.2 .22 . |
|
|
|
Если планета 3 за одно |
и то |
же |
|
время переместится из |
точки А |
в |
|
точку В и из точки А' в |
точку |
В* , |
|
то площади АВС и А 'в'с |
равны. |
|
2 .5 .3 . Закон сохранения энергии Закон сохранения энергии один из самых важных и фунда -
ментальных законов, управляющий всеми явлениями и процессами в природе.
Окружающий нас мир существует в движении. Количественной мерой движения служит физическая величина, называемая энерги ей. Имеется очень много форм движения материи, например, про стое механическое перемещение тел, внутреннее движение моле - кул, движение, связанное с электромагнитным полем и т .д . Каж дой форме движения соответствует определенный вид энергии(механическая, внутренняя, электромагнитная и т .д .) . Говорят,что
- 38 -
энергия есть функция состояния. Это определение означает, что
любому состоянию тела или системы тел соответствует опреде -
ленная величина энергии, которая изменяется лишь при измене - нии состояния. В природе имеет место непрерывное изменение со стояний материальных объектов, переход одного вида движения в другой, сопровождающиеся непрерывным превращением энергии из
одного вида в другой. Например, в живом организме можно выде
лить |
следующие |
превращения энергии: |
|
|
|
|
||||||
|
Химическая |
энергия |
----- — |
механическая энергия ( |
работа |
|||||||
мышц, жгутиков бактерий, ресничек инфузорий, передвижение |
||||||||||||
лейкоцитов в |
крови, |
кишечное |
всасывание |
и д р .). |
|
|
||||||
|
Химическая |
энергия |
------*- |
электрическая энергия (в |
нер |
|||||||
вных клетках и у некоторых рыб). |
|
" |
|
|
||||||||
|
Химическая энергия — »- световая энергия (у светлячков). |
|||||||||||
|
Световая |
энергия |
-------— |
электрическая энергия (в |
сетчат |
|||||||
ке гл аза). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Световая |
энергия |
------ •- химическая |
энергия (при |
усвоении |
|||||||
растениями углекислого |
|
газа) |
и др. |
|
|
|
|
|||||
|
Закон'сохранения энергии утверждает, что полная |
энергия |
||||||||||
замкнутой системы постоянна. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рассмотрим |
подробнее вопрос о механической энергии. С ме |
||||||||||
ханической энергией тесно связано понятие работы. Пусть |
тело |
|||||||||||
массой m движется вдоль оси |
х |
под |
действием силы F |
с |
уско |
|||||||
рением |
|
. При этом сила |
F |
будет совершать работу , |
||||||||
которую на бесконечно малом участке пути можно представить |
||||||||||||
как |
dA = |
F dS |
= m a d s |
= m a v d v |
= m v ^ d t |
= m vdv. |
||||||
Полная работа за время, в течение которого скорость тела из -
менится от |
Ѵі до' |
Л£, |
определяется |
выражением (2 .39) |
|
А = |
Jy v d v |
= Ш |
' £ |
= |
(.2.39) |
Величина |
|
|
|
|
|
|
|
W |
= |
2 |
(2 .40) |
называется кинетической энергией. Кинетической энергией обла
дают |
только движущиеся тела. Из уравнения (2 .39) следует, что |
||
работа, |
совершенная над телом, |
равна изменению его энергии. |
|
|
Это |
положение справедливо |
не только для кинетической эне |
ргии, |
но |
и для потенциальной. |
Познакомимся с потенціальной |
|
|
- |
39 - |