Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бордовский Г.А. Физика учеб. пособие для студентов фак. естествознания пед. ин-тов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

souy вероятность нахождения частицы в точке "х" пропорциональ


на	величине	j Ч'(х, t J \|2 . Таким образом, непосредственный физи
ческий смысл имеет квадрат абсолютного значения амплитуду					ф -
-	функции, а	не сама		Ф - функция.
	В заключение		следует отметить, что ксрпускулярно-водно -
вому дуализму нет			механической аналогии, и он не может		быть

представлен наглядно. Как уже было сказано выше, очень многие

реальные свойства материального мира гораздо многообразнее				и
сложнее, чем	т е,	которые человек воспринимает	зрительно,о	ко
торых узнает	из	повседневного опыта.
		§ 5 .5 . Элементы квантовой механики
Открытие корпускулярно-волнового дуализма			микрообъектов

привело к возникновению нового раздела физики - квантовой ме ханики. Квантовая механика не противоречит классической физи ке. Она является более общей и переходит в классическую физи

ку в том случае, когда длина	волны, соответствующая частице		,
становится бесконечно малой.	Так как	Л обратно пропорцио	-
налъна массе tn (5 .6 4 ), то	для тел большой массы (макроско -
пичѳских объектов) Л = 0 и	законы классической механини впол
не справедливы.
5 .5 .1 .	Уравнение	Шредингера

Движение макрообъектов подчиняется второму закону Ньюто на. Роль второго закона Ньютона в квантовой’ механике играет уравнение Шредингера (1887-1961) для ф-функции. Если потен циальная энергия не зависит от времени, то уравнение Шредин - гера можно записать в виде

' ^	(Е ~ и ) ѵ --0	(5 .6 5 )
где Е - полная энергия	частицы, равная сумме кинетической		и

потенциальной энергии.^Рассмотрим одномерную бесконечно глу -

бокую потенциальную	яму (р и с .5.4-9). Можно убедиться подста -
новкой, что решение	(5 .6 5 ) будет иметь вид:
	- 150 -

		Р и с.5.49					Р и с.5.50
			Ѵ(Х)		=	A s i t i ( ^ ^ x + c t ;		(5 .6 6 )
где		cL - начальная фаза.				Существование частицы, например			,
электрона, в			области,		где	U = <=>*» , физически невозможно,по
этому Ч7 -			функция должна обращаться в ноль при х = 0 и х						=
=	а ,	т .е .				Asinuo= 0
			ч^о)		-			(5 .6 7 )
			Ч"() =			A$in(^jrEa+<t)=0		(5.6В )
Из	этих уравнений следует, что						оС = 0 , а
								(5 .6 9 )
где		h = 1 . 2 , 3 , . . .		называется			квантовым числом. Следователь
но,		энергия	электрона		принимает дискретные значения
			F	-			„2	(5 .7 0 )
			1	-	2m а2ГІ

Дискретные уровни энергии и соответствующие им								'Н -функции
предотавлены			на р и с.5 . 50а и 5 .506. Вероятности					нахождения

электронов в том или ином месте потенциальной ямы представле

ны на р и с.5 .50в . Видно, что	при П = І частица находится пре
имущественно в центре ямы, а	при и	= 2 ее	с равной вероятно
стью можно обнаружить как в	левой,	так и в	правой части. Оче

видно, что с классической точки зрения частица могла бы иметь любую энергию и находиться в любом месте потенцюльной ямы.

- І5І -

5 .5 .2 . Тунельный эффект

Тунѳльным эффектом называется "просачивание" микрочасти цы сквозь потенциальный барьер. Это квантово-механическое яв ление не имеет аналогии в классической механике. Поясним его

на	следующем примере. Шарик, находящийся в цилиндрическом ста
кане (р и с .5.51) может		оказаться	снаружи лишь в том случае,ес
ли	получит энергию Е	= m jh .	В отличие от этого, электрон.

Р и с.5 .51 Р ис.5.52

помещенный в потенциальную яму, стенки которой имеют конечную

высоту и толщину, может оказаться через некоторое время за

пределами потенциальной ямы даже при нулевой энергии. Тунель-

ный эффект объясняется тем,	что в	рассмотренном случае	-фун
кция отлична от нуля как в	области	потенциального барьера,так

и за его пределами, поэтому всегда будет существовать опреде ленная вероятность обнаружить электрон вне потенциальной ямы.

Схематически это явление представлено на рис.5 .5 2 . Вероят							-
ность тунельного эффекта возрастает при уменьшении высоты							и
ширины потенциального	барьера. V - функция частицы в				потенциаль
ной яме с тонкими стенками		изображена на р и с.5 .5 2			пунктиром.
Тунельный эффект имеет место при автоэлектронной эмис							-
сии, при радиактивном	oL -	распаде		и в некоторых других		слу
чаях .
5 . 5 .3 .Соотношение неопределенностей Гейзенберга
Квантовая механика отвергает сложившееся в классической
физике представление	о том,	что	все	физические величины		мо	-
		-	152	-

гут быть в принципе измерены одновременно с любой точностью .

Например,		с	кдассической точки зрения			в любой момент времени
t	можно		точно	определить	координату	"х" и импульс "р"	ка	-
кого-либо		тела.
	В.Гейзенбѳрг			(р .1 9 0 1 ),	один из создателей квантовой		ме	-

ханики, показал,		что при измерении координаты частицы					с	точ -
ностью	Д х нельзя одновременно определить ее					импульс	с	точ	-
ностью,	большей,	чем	Д р	=	. Или:
		ЛХдр		«	2 0 1		(5 .7 1 )
Это положение называется			принципом неопределенности Гейзен						-

берга. Поясним принцип неопределенности следующим образом.До пустим, что известно точное значение импульса частицы р.Такой

частице соответствует монохроматическая волна, длина			которой
Л =	. Выше было сказано, что монохроматическая волна не
ограничена в пространстве и времени, т .е . интенсивность				такой
волны	одинакова во всем пространстве. Следовательно,			такую
частицу можно с		равной вероятностью обнаружить в любой		точке-
- ее	координата	оказывается неопределенной. С другой	стороны,

если частица локализована в некоторой области пространства (координата ее определена, точно), то ей следует сопоставить набор большого числа монохроматических волн (см . § 5 . 2 ) , ко - торые накладываясь друг на друга создают локализованный вол - новой пакет. Поскольку волновой пакет не может быть охаракте ризован одной длиной волны, импульс частицы в этом случае бу дет неопределенным.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга является след ствием влияния условий эксперимента на состояние микрочастиц,

окотором уже было сказано выше.

§5 .6 . Упражнения

1 . Написать уравнение гармонического колебательного про

цесса с	амплитудой 0 ,1 м, периодом		5 сек. и начальной		фазой
. Начертить график этого движения.
2 . Определить частоту, с которой будет совершать колеба
ния паук, висящий на паутине длиной			10	см.
3 .	Какую	собственную частоту имеет		колебательный	контур,
состоящий из		катушки, индуктивность	которой равна 2-Ю -^ гн ,
		- 153	-

и конденсатора емкостью 2*І0“^ф?

4-. Катушка с активным сопротивлением 20 ом и индуктив -

ностью 5-10"^ гн, а также конденсатор емкостью 2-10—^ ф пос - ледовательно включены в цепь переменного тока частотой 50гц.

Определить полное и реактивное сопротивление этой цепи.
	5 .	человеческое ухо способно воспринимать звуковые коле
бания	в	диапазоне 20-18000 гц. Определить		длины волн, соот	-
ветствующиѳ граничным колебаниям. Скорость распространения
звука	в	воздухе принять равной 340	м /сек.	0
	6 .	Свет, длина волны которого	равна	5000 А, падает пер	-

пѳндикулярно щели. При какой ширине щели под углом 30° будет

наблюдаться дифракционный максимум пятого порядка.

7 . Определить длину световой волны, которая проходит че

рез дифракционную решетку		с d =	10"^ мм,	если известно,	что
под углом 10°	наблюдается	максимум третьего порядка.
8 . Какое	количество	энергии	излучает	Солнце на одну	се -

кунду? Считать, что оно является абсолютно черным телом. Тем пература поверхности Солнца приблизительно равно 6000°К. Ка -

кую массу теряет Солнце ежесекундно?

5 . Определить длину волны, на которую приходится макси -

мум спектрального распределения энергетической светимости аб солютно черного тела, имеющего температуру, равную температу ре человеческого тела (37°С ).

10. Выразить полную энергию фотона через длину волны.

11. Работа выхода электронов для калия составляет 2,0 эв

Определить красную границу фотоэффекта. Какую максимальную

энергию будут иметь электроны, вылетевши^ из калия, если об -

лучать его фиолетовым.светом	( Л = 4000А)?
12. Пороговая чувствительности сетчатки человеческого
глаза к желтому свету ( Л =	6000 А) составляет 1,7.10"*® вт.
Сколько фотонов-попадает ежесекундно на сетчатку?
13. Каким импульсом обладает электрон с энергией ІОООэв?
Какова его длина волны?
14. Какой длиной волны	обладает протон, движущийся	со
скоростью 20000 км/сек,?	. .
15. Какова длина волны	пули массой 5 г , летящей со	ско -
ростъ» 600 м/сек?
	- 154 -

16. В экспериментах с электронными пучками установили что электроны проходят через щель шириной 10 Л. С какой точ ностью можно определить импульс электронов в этот момент?

- 155 -

Г л а в а УІ

СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА

§ 6 .1 . Строение атома

6 . І . І .	Строение атома водорода и постулаты Бора
Опыты,	проведенные	Э.Резерфордом		(1871 -	1937)	в 1910	-
- 1913 годах, показали,		что атом	ш ѳѳт	ядерное	строение. Ос		-
новная масса	атома сосредоточена		в малом по размеру			ад ре1'	,
которое окружено электронами. Ядерная модель столкнулась							с

огромными трудностями. Статическая система, состоящая из по - ложитѳльного ядра и окружающих его отрицательных электронов ,

не устойчива, т .к . за счет взаимного притяжения зарядов элек

троны должны упасть на ядро. Более удовлетворительной являет ся планетарная модель, согласно которой электроны под дейст - виѳм кулоновских сил притяжения вращаются вокруг ядра, подоб но тому как вращаются по своим орбитам планеты. Однако с клас сической точки зрения и такая система не может существовать

продолжительное время. Из электродинамики следует, что любой

ускоренно движущийся электрический заряд, а электрон в плане тарной модели имеет центростремительное ускорение, излучает электромагнитные волны, которые уносят часть его энергии. По

этому		электрон		должен был бы двигаться по сходящейся спираде
и уже		через	~	10“^ сек	упасть		на	ядро. Итак, строение			атома
не может быть объяснено					в	рамках классической				физики.	Решить
эту	проблему		позволяет
					квантовая механика.
		Рассмотрим		простейший из атомов - атом водорода. Потен —
1 /	Размер ядер			составляёт величину				~	ІО- ^ см, т . е . в		десят
	ки тысяч		раз	меньше	размера		всего		атома.
						-	156	-

циальная энергия электрона в поле ядра может быть представле

на выражением ( 6 .1 ) .

		U		і !		(6 .1)
		U		г
где	е - заряд	электрона, а	Г -	расстояние	электрона	от яд	-
ра.	Видно, что	с энергетической		точки зрения	электрон	нахо	-

дится в потенциальной яме, которая схематически представлена
на рис.6 .1 .	Уравнение Шредингера в			этом	случае	следует		запи	-
сать так:				Л
	сі2^	2m	(Е	Л	= 0		(6 .2)
	a t 2	T F		р
Решение уравнения ( 6 . 2 ) ,		как	и уравнения		(5 .6 5 )	в предыдущем
параграфе, приводит к выводу, что энергия электрона в								атоме
водорода дискретна:
	г -_ me4 L						(6 .3 )
		-	J W	п*			(6 .3 )
		-	J W	п*
где параметр	П = 1 , 2 , 3 ,	и т . д . ,		получил название гшвного
					квантового		числа .
					Некоторые из			энер
					гетических уровней
					представлены			на
					рис.6 .1 горизон				-
					тальными линиями .
					Вероятность			нахо	-
					ждѳния электрона
					на том или			ином
					расстоянии		от ядра
					определяется			квад
	Рис.6.1				ратом модуля			У -
	Рис.6.1

функции (р и с.6 .2 ) .

Видно, что электрон "размазан" в пространстве вокруг ядра.при

чем для каждого значения энергии (для каждого значения П )

есть определенное расстояние, на котором плотность "электрон ного облака" максимальна. С увеличением энергии электрона максимум "электронного облака" удаляется от ядра на расстоя - ние, прямо пропорциональное квадрату главного квантового чис

ла п . Не следует полагать, что электрон в атсмѳ в самом

- 157 -

деде имеет форму некоторого оолака. Электронное облако - это линь своеобразное распределение вероятности нахождения элект рона в той или иной точке прост - ранства. В силу принципа неопре - деланности Гейзенберга вообще не

имеет смысла говорить о точном


		местоположении		электрона		в атоме.
			Как следует		из вышесказанно
		го, строение атома в квантово-ме
		ханической интерпретации не явля
		ется	наглядным.
	Рис.6 .2		Исторически		квантовой меха -
		нике	предшествовала полуклассиче

ская теория строения атома водорода, которую предложил в 1913
году Н.Бор. Теория Бора сыграла определяющую роль в						развитии
квантовой механики. Бор сформулировал три постулата:
I .	Электрон может	двигаться вокруг			ядра только по опре -
деленный стационарным ороитам, на которых он обладает момен -
том импульса, кратным постоянной Бланка				Ь :
	mvr	= nh				(6,4)

2 . Электрон, движущийся по стационарной орбите, не излу чает электромагнитных волн, поэтому его энергия остается пос тоянной.

3 . Электрон излучает квант света

Ьш = Е П 2 - Е п ,

(6.5)

при переходе с более высокой стационарной орбиты на более низ кую.

Для электрона, находящегося на стационарной ороите, вы - полняется условие:

І І	-	mV2	( 6 . 6)
г2	~	Г
При совместном решении уравнений		(6 .4)	и (6 . 6) находим:
V	е		(6.7)
V	nh		(6.7)
	nh
Гп			( 6. 8)

- 158 -

Видно, что радиусы стационарных орбит возрастают прямо про

порционально квадрату

квантового числа

П .

Кинетическая

энергия2электрона

на

орбите \Ѵ = -° ^

= -|р -

потенциальная

U - -fr-

. Полная

энергия электрона

£ — W

е2

е2 _

. С учетом этого

вы -

— '2Г

— г

"р-

ранение (6 . 8)

преобразуем в

(6 .9)

Легко видеть, чтоЕэто-

т е *

(6 .9)

T F -

с ( 6 . 3 ) , кото

выражение

совпадает

рое получается при строгом квантовомѳханическом рассмотрении

электрона в атоме водорода. Радиус боровской орбиты

следует

сопоставить расстоянию, на котором вероятность нахождения

электрона

максимальна

(р и с . б . 2 ) . Условие квантования

электрон

ных орбит

( 6 Л )

волновой

точки зрения

означает то,

что

воз

можны лишь такие

орбиты,

на

которых укладывается целое

число

волн Де Бройля. Действительно, умножим

обе части уравнения

(6 .4)

на

2 (Г

и произведем

следующие

преобразования:

2 f r

тѵ=

nti 2f.

2 f r

П.

2 f r

ЛИ

(6 .1 0 )

Итак, выводы теории Бора, несмотря на ее противоречи

вость,

согласуются с выводами квантовой

механики.

6 .1 .2 . Электронные

переходы в

атомах

Еще в XIX веке было экспершентально установлено,

что

спектр излучения атомов водорода состоит из серий, одна

из

которых представлена на рис.6 . 3 .

Частота спектральных линий

находится

соответствии

с формулой Бальмера (1825 -

1898)

* ( &

где

2,07«І016

сек"1

постошная Ридберга,

П = 1 , 2 , 3 . . .

2 , 3 , 4 , . . .

( h

+1).

Значение

определяет

порядковый

номер

серии,а

- порядковый номер линии в данной

серии.

Замечательным достижением теории Бора было объяснение

этих

спектральных закономерностей. На рис.6 .4 в соответствии с фор

мулой (6 . 9 )	представлены разрешенные значения энергии элѳкт	-
рона в атоме	водорода. В нормальном состоянии электрон обла	-
	- 159 -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ