книги из ГПНТБ / Бордовский Г.А. Физика учеб. пособие для студентов фак. естествознания пед. ин-тов
.pdfрофизина, геофизика, физическая химия, электроника и др. |
|
Таким образом, следует сделать вывод, что знание |
основ |
физики необходимо самым различным специалистам. |
|
физика - весьма сложная наука. Ее сложность заключается |
|
прежде всего в том, что нельзя сразу сформулировать все |
ос - |
новные законы, которые объясняли бы все свойства материально |
|
го мира, все |
явления и процессы, протекающие в нем. Дело |
в |
том, что законы физики носят приближенный характер, и с раз |
- |
|
витиѳм науки |
мы все более и более уточняем свои представления . |
|
о свойствах материи, открываем новые взаимосвязи и явления. Физика постоянно пополняется новыми законами. Эти законы час
то оказываются очень сложными для понимания, а порой даже противоречат кажущемуся здравому смыслу. Физические законы , справедливые в одной области явлений, нельзя автоматически
переносить в другую. Рассмотрим такой пример. Пассажир летит со скоростью 1080 км/час (300 м/сек) в город, расположенный на расстоянии 10800 км. Каждому ясно, что на такое путѳшѳст - вне потребуется 10 часов. Однако, если пассажир попытается проверить это по своим часам, сидя в самолете, то обнаружит, что пройдет лишь 9,999999999995 час. Такое отличие может по - казаться несущественным, но тем не менее в системе, движущей
ся |
со скоростью |
V, |
согласно теории относительности Эйнштей |
||
на |
время замедляется |
в |
I / V |
I - ѵ/сг раз (где с - скорость |
|
распространения |
света) |
и в |
будущих космических полетах с око- |
||
лосвѳтовыми скоростями это обстоятельство может иметь большие
последствия.*^ |
|
Настоящее пособие является лишь очень іфатким введением |
|
в физику. Б нем не рассматриваются подробно многие важные |
и |
интересные вопросы, а изложены только главнейшие узловые фи - зическиѳ законы, без знания которых немыслимо глубокое изуче
ние |
естествознания. |
|
|
|
§ 1 .2 . Краткое математическое введение |
|
Многие фундаментальные физические идеи могут быть сфор - |
|
мулироваиы без |
громоздкого математического'аппарата, но се - |
|
I / |
♣2 .6 . |
теории относительности подробнее изложены в |
Следствия из |
||
|
|
- 10 - |
I |
|
|
рьѳзное изучение физики измыслило без определенной матѳмати - ческой подготовки. Помимо знания алгебры, геометрии и триго - номѳтрии необходимо иметь представления о началах дифференци ального и интегрального исчисления, о векторной алгебре.
І . 2 . І . Дифференцирование функций
При проведении биологических экспериментов по выращива - нив микроорганизмов установлено, что биомасса Н вначале бурно
растет, но из-за истощения раствора через некоторое время
|
рост |
замедляется. Этот |
процесс |
|||
|
показан |
на рис. 1 .2 |
сплошной |
|||
|
кривой. |
Часто существует необхо |
||||
|
димость |
определить |
скорость рос |
|||
|
та биомассы в различные моменты |
|||||
|
времени. Легко вычислить среднюю |
|||||
|
за время эксперимента скорость |
|||||
|
роста, |
поделив всю |
образовавшую |
|||
|
ся биомассу U на полное |
время |
||||
|
эксперимента t . |
|
|
|||
|
Л р = |
- f |
|
|
d - и |
|
Можно определить |
среднююскорость |
роста |
занекоторый |
меньший |
||
промежуток времени At . |
|
|
|
|
|
|
|
Л р - |
^ |
|
|
|
(1-2) |
Далее промежуток |
At можно взять сколь |
угодно малым. |
Величи - |
|||
ны, которые могут быть меньше любой заранее заданной малой величины, называются в математике бесконечно малыми величина
ми. Они обозначаются так: |
|
" - дифференциал t . |
|
нашей |
||||
задаче |
при бесконечном |
уменьшении промежутка времени |
At бу |
|||||
дет соответственно |
уменьшаться и |
дЫ. Отношение бесконечно |
||||||
|
|
"dt |
|
в |
|
|||
малых величин |
|
и |
|
представляет уже мгновенную |
|
ско |
||
рость |
роста биомассы в |
некоторый момент времени. Математиче - |
||||||
ски ее |
можно |
записать |
так: |
|
|
|
|
|
dM |
|
dt |
- I I |
- |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
В общем случае отношение |
бесконечно малых величин называется |
|||
производной. Производная |
функция М ( t ) |
по |
t |
представлена |
на р и с .1 .2 штрихпунктиром. |
|
|
|
|
Из рассмотренного примера видно, |
что |
обращение к диффѳ - |
||
рѳнциалам позволяет анализировать любые слоаныѳ процесоы, по
тому |
что в области бесконечно малых величин |
их можно счи |
тать |
протекающими равномерно. Учитывая это, |
большинство урав |
нений, отражающих реальные процессы в физике |
и технике запи - |
|
сываются в дифференциальной форме. |
|
|
|
Нет необходимости для каждой новой задачи проводить про |
|
деланные выше рассуждения. Существует определенный матеыати - ческий метод дифференцирования функций, с которым мы познако
мимся ниже. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
На ри с.1 .3 |
представлена |
произвольная функция у = |
|
f ( x ) . |
|||||
|
|
|
|
|
Найдем отношение Ц . дх =х2-Х, |
|||||
|
|
|
|
|
|
ДѴ _ |
f ( X ^ J - № |
(I |
||
|
|
|
|
|
|
ДХ - |
|
д х |
|
|
|
|
|
|
|
Как и в предыдущем примере,от |
|||||
|
|
|
|
|
ношение (1 .3 ) показывает |
ско - |
||||
|
|
|
|
|
рость изменения функции в дан |
|||||
ном |
интервале |
д х . Если |
> 0 - |
функция возрастает, |
если |
|||||
же |
^ |
< о |
- убывает. С другой стороны, |
- |
это |
тан |
||||
генс угла наклона секущей AB к оси абсцисс. Для перехода |
от |
|||||||||
(1 .4 ) к производной, |
которую |
обозначают |
"у'п* |
нужно найти |
пре- |
|||||
дел |
отношения |
^ |
, устремляя |
д х к |
"О", |
т .е . |
|
|
||
|
У ' = |
Um Ш |
|
|
|
|
|
|
( І - 5) |
|
|
|
дх—в |
|
|
|
|
|
|
||
|
По величине у' |
можно |
судить |
как быстро |
изменяется фун |
|||||
кция |
f ( x ) . По знаку |
у' можно определить, возрастает |
она |
|||||||
- 12 -
или убывает. Кроме того, производная позволяет выяснить, дос
тигает ли где-нибудь |
f (x ) |
экстремального (минимального |
или |
||||||||
максимального) |
значения, поскольку |
в минимуме |
или в максимуме |
||||||||
д у = 0 при |
дх |
* 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из рис.1.3 |
и соотношения (1 .5 ) |
следует, |
что |
геомѳтриче - |
|||||||
ский смысл производной |
- это |
|
тангенс |
угла наклона |
касатель |
- |
|||||
ной, проведенной |
к кривой у |
= |
f ( x ) |
в |
данной |
точке, |
к |
оси |
|||
абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные |
всех функций |
отыскиваются согласно |
равенству |
||||||||
( 1 .5 ) . Например, требуется определить тангенс угла наклона ка
сательной к |
параболе у |
= х2 . |
У' г |
4 |
- |
іип |
^ ~ ^ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ДХ—Q |
|
)(х) = |
X2; |
(X +ЛХ) |
= |
(X +-дх)2 |
; |
у |
- Um |
(X+A*>2~ X* = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх~0 |
ДХ |
- lim |
X2 + АХ2 + 2АХ -Х -Х* |
_ |
- |
2ХДХ + |
ДХ2 |
|
|||
дх—0 |
ДХ |
|
|
о |
|
д х |
|
|
|
Поскольку |
дх —>- 0 , |
то |
|
будет пренебрежимо малой ве |
|||||
( д х ) |
|||||||||
личиной по |
сравнению с |
2х д х |
и можно записать, |
что |
|||||
|
|
у ' - |
lim ^ Х _ |
= |
2Х, |
|
(1.6) |
||
|
|
2 |
равна |
2х. |
|
’ |
|
|
|
т .е . |
производная от х |
ДХ-О |
АХ |
|
|
|
|||
|
Для практических целей |
нет необходимости |
каждый раз про |
||||||
делывать такую операцию. Математики уже давно отыскали произ водные всех простых функций, наиболее употребительные из ко - торых приводятся ниже.
У |
~ |
const |
У' = 0 |
||
У = |
ах |
у '- |
|
||
У ; |
Хп |
у '- |
пх"'1 |
||
у |
_ |
1 |
ѵ '- |
аИ |
|
у |
г |
а* |
Г _ |
Хп+1 |
|
У'г |
а х1па |
||||
У — |
ІпХ |
у /_ |
J _ |
||
* |
X |
||||
|
|
|
|||
V = logax
у г Sinx
Ул tqX
Уг ctgX
У— C0SX
Ул е *
у '- |
1 |
|
X Іпа |
У'= C0SX |
|
у - |
1 |
V - |
C0SX |
1 |
|
" SinJX У--5ІПХ
У= ех
Если функция является произведением двух других функций,
у(х) = f(X ) • <f( х ) , то ее производная находится так:
у ' - f(x)-y'(x) |
+ |
f'(x j-y (x ) |
(1.7) |
- |
13 |
- |
|
Если яѳ у(х) = |
Их) |
, |
то |
|
у(х) |
|
|||
|
|
|
|
|
У ' г |
? (х )у (х ) |
- у'(х)Я х) |
( 1 . 8) |
|
|
|
£у(х)32 |
|
|
1 .2 .2 . Интегрирование
Рассмотрим еще один пример. На рис.1 .4 представлен гра - фик скорости роста оиомассы. Теперь задача состоит в том,что-
оы по временному изменению скорости роста определить количе - ство образующегося вещества. На языке математики это означает
следующее. |
Скорость есть производная |
||||
по |
времени |
от функции |
М (х), |
т .е . |
|
ju |
= |
. |
Следовательно,нужно |
най |
|
ти функцию по ее производной. Матѳ - |
|||||
матическая операция отыскания функ - |
|||||
ции по ее производной называется ин |
|||||
тегрированием. Очевидно, что интѳг - |
|||||
рирование |
обратно дифференцированию |
||||
также, |
как, например, |
слояение |
обрат |
||
но вычитанию, умножение - делению, а потенцирование - логариф мированию.
Биомассу, образовавшуюся за некоторый малый промежуток |
|||
времени At; .можно вычислить так: |
|
|
|
ДМ ; = /Mt At; |
|
(1 .9 ) |
|
поскольку за малый промежуток времени |
Ati |
скорость |
рое |
та биомассы изменяется незначительно и jM; |
мояно полагать |
||
постоянной величиной. На рис.1 ,4 эта |
величина |
составляет |
за - |
штрихованную площадочку. Полное количество вещества, получен
ное с момента времени t< |
до момента t 2 |
можно определить с |
||
некоторой ошибкой, просуммировав все малые |
участочки |
д Мі » |
||
т *ѳ * |
N |
V |
|
|
м |
~ |
= £ /Чі Ati |
|
С1 .10) |
|
1=1 |
1=1 |
|
|
Точность такого подсчета будет тем выше, чем меньше промеяу -
ток времени |
A t;, поэтому можно сказать, что М есть предел |
|
- 14 - |
указанной сушш при д ^ -Ю :
|
|
|
М = |
lim |
£ М âti |
|
|
|
( I .I I ) |
|||
|
|
|
|
|
Дх-0 |
w |
|
|
|
|
|
|
или, |
переходя от A t |
к |
d t, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
М = |
J t2/K d t |
|
|
|
|
(1 .12) |
|||
|
|
|
|
|
t t |
|
|
|
|
^ |
|
|
Предел сушш ( I . ІО ), обозначенный в |
( 1 . 12) как |
ßidtr на |
||||||||||
зывается оП£еделѳнши_интег£алон функции ß. |
n o .t |
|
(от |
t , |
||||||||
До |
t 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отвлекаясь от разобранного примера, операцию интѳгриро - |
|||||||||||
вания можно |
записать |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
у г |
jj ( x ) d x |
|
|
|
( I .I 3 ) |
||||
Пусть |
^(х) |
= 2х, тогда |
у = |
/2 x d x |
. Эта запись |
означает,что |
||||||
нужно найти |
такую функцию, |
производная от которой равна 2 х М |
||||||||||
Ранее мы видели, что этой функцией является у |
= х 2 (см .стр .Щ, |
|||||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
= |
f 2x-dx : X2. |
|
|
( 1 . 14) |
||||
Однако этот ответ не совсем точный, потому что производную |
, |
|||||||||||
равную |
2х имеет не только функция х |
, но и х2 |
+ С |
(где |
С - |
лю |
||||||
бая |
константа). Выражение ( I .I 4 ) |
правильнее записать |
так: |
|
||||||||
|
|
|
у |
= |
j2 X d x |
= Х 2 + С |
|
|
( 1 .15) |
|||
Из-за наличия константы "С" интеграл такого вида называется неопределенным интегралом. Наличие неопределенной константы ю является недостатком метода. Наоборот, в этом проявляется осо бая сила математического аппарата, поскольку получается общее решение задачи. Конкретное решение можно получить из общего ,
если задать определенные начальные условия. Допустим, что |
из |
|
всех функций у = X2 + С нас интересует |
такая, которая при х= |
О |
принимает значение равное I . Из этого |
условия следует, что |
|
І = 0 + С ;С = І и У = X2 + I . |
|
|
Вотличие от неопределенного интеграла, который представ-
вматематике первоначальную функцию называют первообразной.
-15 -
ляѳт собой первообразную функцию, определенный интеграл имеет
несколько иной смысл - это площадь, ограниченная подинтег -
ральной функцией при изменении аргумента от одного значения до другого. Отвлекаясь от геометрического образа, определенный интеграл показывает изменение первоначальной функции при не -
котором изменении аргумента. |
|
|
|
|||
|
Вычисление определенного |
интеграла сводится |
к слѳдующе - |
|||
му: I) нахождение первообразной; 2) определение ее значения |
|
|||||
при |
X = в; 3) |
определение |
ее |
значения при х = а ; |
4) нахожде |
- |
ние |
разности |
у(в) - у (а ), |
которая и является искомой вѳличи |
- |
||
ной. Разберем это на следующем примере. Требуется найти пло -
щадь, |
ограниченную кривой f(x ) |
= Зх2 |
при изменении х от а |
= 2 |
||||
до в = |
5 , т .е . у = С Зх2 • dx |
(р и с.1 .5 ) . Легко |
проверить, |
что |
||||
■/(х) |
|
первообразная |
от Зх |
равна х |
поэтому |
у = |
||
|
|
= £ з х 2 -d x |
= |
х3/ / |
= 1 2 5 |
8 = II7 (еди - |
||
|
|
ниц площади). Очевидно, что главная проб - |
||||||
|
|
лема интегрирования заключается в нахожде |
||||||
|
|
нии-первообразной. Для этой цели разрабо - |
||||||
|
|
тано большое число различных способов . |
и |
|||||
|
|
приемов, которые здесь мы разбирать не бу |
||||||
Рис.1 .5 |
дем, поскольку интегралы от большинства |
|
||||||
простых функций давно известны и их назы - |
||||||||
|
|
|||||||
вают табличными. Ниже приведены некоторые из табличных инте
гралов. |
,П+1 |
|
|
|
|
|
|
||
Jxndx = |
+С |
Jsinxdx |
|
= - cosx + c |
|||||
п Т |
Г |
|
|||||||
n + |
1 |
|
|
|
|
|
|||
с äx |
- |
|
|
+ C |
f |
cosxdx |
|
= sinx+ c |
|
J X |
- l n | x | |
|
|
||||||
Jeх |
= ex + |
C |
r |
dx . |
: |
ctg X+■C |
|||
J Sin2x |
_ |
||||||||
jVdx = |
iäJjf + С |
r |
dx |
|
|
||||
J |
C0J2X |
= tgx + c |
|||||||
При вычислении интегралов необходимо учитывать следующие правила.
1 . Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых:
2 . Постоянную можно выносить за знак интеграла:
- 16 -
1 .2 .3 . Операции с векторами
Очень многие физические величины (сила, скорость, им пульс и др .) являются векторами. С помощью векторов также
удобно представлять различные процессы, например, колебатель ное движение. В связи с этим, операции с векторами занимают в физике важное место.
Векторные величины могут быть представлены графически -
стрелкой, построенной в определенном масштабе, или аналитиче
ски. На р и с.1.6 |
вектор А задан |
единичным вектором |
' t , |
а |
на |
||
|
-р , —• рис.1.7 |
- тройкой взаимно перпендику |
- |
||||
1' » la |
единичных векторов |
"Г |
"Г" |
К. |
|||
іт)-і |
лярных |
і, |
J и |
||||
Р ис.1.6 |
Вектор, начало которого совпадает с |
|
|||||
началом |
системы координат, а |
конец |
с |
||||
|
|||||||
некоторой точкой А называется радиусом - вектором 7 |
|
этой |
|||||
точки. |
Сложение |
и вычитание векторов |
|
||||
|
|
||||||
|
удобнее |
всего производить графиче |
|||||
|
ски (см. соответственно рисунки |
|
|||||
|
1 .8 |
и 1 .9 ) . Деление вектора |
|
на |
|||
|
вектор невозможно, зато |
векторные |
|||||
|
величины, в отличие от скалярных , |
||||||
|
могут быть умножены друг на друга |
||||||
двумя способами.
Рис,1.7
с = А+В
оС= А + В
Рис.1 .8 Рис.1.9
I . Скалярное произведение
скалярным называется такое произведение векторов, в ре зультате которого получается скалярная величина. В физике
- 17 - .
Г вс. публичная
научно - т ->хнк . С ‘ кал
бибЛКОТй.і* ОС-е.Is
ѲКЗЕіѴіПЛ.л'Р
примером скалярного произведения может, служить формула |
для |
|
вычисления работы: |
|
|
А = (P,S) |
(I.I6) |
|
Для того, чтобы подсчитать численное значение скалярного про изведения, необходимо модули векторов умножить друг на друга и на косинус угла между ними:
|
|
|
<А = |
(T,S) |
|
= |
F-ScoSoC |
|
(1 ,1 7 ) |
|
|||
Поскольку |
Fcos^ = Fs |
и s-cos«c=Sp есть |
проекции одного |
вектора |
|||||||||
на направление другого, скалярное произведение иначе |
|
можно |
|||||||||||
записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
А = |
(F .S ) |
= |
Fs S |
= F-SF |
|
( 1 .18) |
|
|||
|
|
|
2 . Векторное произведение |
|
|
|
|||||||
|
Результатом векторного произведения двух векторов |
А |
= |
||||||||||
= [В |
• |
С] |
также является |
вектор, |
численное |
значение |
|
кото |
- |
||||
рого |
определяется выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|А| = |
|В |- |С | |
Strict |
|
|
|
( I .I 9 ) |
||||
где |
|А) |
, |
1ВI и |CJмодули |
векторов, |
а аі - |
угол между |
век |
- |
|||||
торами В и С. Вектор А перпендикулярен |
обоим |
векторам |
- |
со |
- |
||||||||
множителям, а его направление определяется правилом |
|
право |
|||||||||||
го винта |
(р и с .1 .1 1 ). |
В физике примером векторного произведѳ |
- |
||||||||||
ния могут служить момент силы, момент количества движения |
и |
||||||||||||
др. Некоторые из этих величин рассматриваются во второй |
главе» |
||||||||||||
|
|
|
Отметим, что скалярное произведение принято |
|
|||||||||
|
|
|
обозначать круглыми скобками, а векторное |
|
|||||||||
|
|
|
квадратными, |
как это |
сделано |
выше. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
§ |
1 .3 . |
Системы единиц |
|
|
|
||
Одной из важнейших задач физики являет - ся измерение физических величин и установление взаимосвязи между ними. Измерить физическую
величину - значит сравнить ее с однотипной величиной, приня - той за эталон (единицу измерения). В принципе для любой физи ческой величины можно выбрать свой эталон, однако, это приве-
- 18 -
дет к огромному числу единиц измерения и очень затруднит ко -
личественное представление физических закономерностей. На
практике поступают иначе. Несколько эталонов физических вели чин принимают за основные единицы, а затем, пользуясь извест
ными взаимосвязями, устанавливают другие единицы. Например ,
для измерения длины и времени в качестве основных величин при
няты соответственно I метр |
(м) и I секунда (сек ) . Очевидно , |
||||
что для |
измерения скорости |
нет необходимости вводить |
особую |
||
единицу |
- она просто измеряется в метрах в |
секунду (м /сек ). |
|
||
Основные единицы выбираются так, чтобы запись физических |
|||||
законов |
была более удобной |
и простой. Существует |
несколько |
||
систем |
единиц. В СССР с I |
января ІУ63 года |
в соответствии |
с |
|
рекомендацией XI Генеральной международной |
конференции по ме |
||||
рам и весам введена как предпочтительная Международная систе
ма единиц (СИ). |
В нижеследующей таблице приведены |
основные , |
|||||
дополнительные |
и производные |
единицы, |
используемые в |
этой |
|||
системе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
І . І |
|
|
|
|
Международная система |
единиц (СИ) |
|
|
|
№ |
Физическая величина |
Единица |
измерения |
Обоаначение |
|||
п/п |
|
|
|
|
|
единицы |
|
|
|
|
I . ОСІ10ВНЫЕ ЕДИНИЦЫ |
|
|
||
I |
Длина |
|
|
метр |
|
м |
|
2 |
Масса |
|
|
килограмм |
кг |
|
|
3 |
Время |
|
|
секунда |
|
сек |
|
5 |
Температура |
градус |
Кельвина |
°К |
|
||
Сила |
электрического |
ампер |
|
а |
|
||
|
тока |
|
|
|
|
|
|
6 |
Сила |
света |
свеча |
|
СВ |
|
|
|
|
|
11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ |
|
|
||
I |
Плоские |
угол |
радиан |
|
рад |
||
2 |
Телесный угол |
стерадиан |
стерад |
||||
|
|
|
I . НЕКОТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ |
|
|||
I |
Скорость |
|
метр в секунду |
м/сек |
|||
|
|
|
- |
19 - |
|
|
|