Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Козин В.З. Методы исследований в обогащении учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

7.2. Формулы для вычисления коэффициентов модели

Благодаря свойствам симметричности и ортогонально

сти возможен исключительно простой прием получения коэффициентов математической модели поверхности откли ка.'

Выведем формулу коэффициентоВ)исходя из простого примера^ 1" методом Наименьших квадратов /МНК/.

Пусть имеем два фактора Х^ и Ху и матрицу полного факторного эксперимента /табл.7.2/ и функция отклика имеет впд:

/7.6/ Так как МНК основан на минимуме суммы квадратов ошибок JL

/7.7/

или

то взяв частные производные по сХ0 t Я^ , (Ху получим

Откуда получаем систему уравнений, позволяющую найти

ар. al, &2 -

Используя вышеуказанные свойства матриц /7.3/,

/7.4/	и /7.5/, записываем			систему в			внде
	f	ÿ i = < V / /			;
	? - ^ і х і і		~	а і ' ^		>	/7.8/
	^	^ і х а	~	°ij. ' ^		’
т.е. система распалась			на	t	і	независимых уравнений,
откуда следует общая формула расчета коэффициентов
			? - У і х Л
			Jf				/7.9/
Для	<*о все	Х.0 І *	+	1 .

Практически для нашего примера коэффициенты будут

подсчитаны по формулам /7,10/ вытекающим из формул /7.9/

	A-	h	»
я	в =	-Щ+Уі-Уз+Нч	,
я	в =	4	»
	k	4	»
	~Уі ~Ух+Уз +Уч
		/7.10/
	Коэффициенты уравнения /или линейной модели/ пока
зывают степень влияния данного фактора на параметр
оптимизации и показывают,		на какую величину изменяет
ся	этот параметр при изменении фактора от нулевого
уровня до верхнего.

Часто используется понятие эффект фактора, который численно равен удвоенному коэффициенту и соответствует вкладу фактора в изменение параметра оптимизации при

7.3. Особенности полного факторного эксперимента

^ Полный факторный эксперимент позволяет подучить линейную модель процесса. Можно пи извлечь из него дополнительные сведения?

Обратим внимание прежде всего на то, что исходную матрицу можно расширить. Действительно запишем до полнительно столбцы для произведений факторов.

Таблица 7.4

Расширенная матрица ПФЭ

№

н о

1 + 1

2+1

3+ 1

4 ■ +1

Ху		* 1 Х Х	Ху	' * î	y
- 1	- 1	+1	' fl	fl	Уі
				+1	Уі
+ 1	- 1	- 1	+ 1	+1
-1	+ 1	- 1	+1	fl	Уь
	+1	+ 1	fl	+1	Уь
+ 1	+1	+ 1	fl	+1	У"
					У"

Можно видеть, что столбец для отличается от

всех других, следовательно, из йодного факторного эксперимента может быть найден коэффициент при этом члене


	?-Уі х і і ЭСхі
CL/Z -----------jf				•			/7.1 I
При этом столбцы	Ху	И Хх		ЯВЛЯЮТСЯ ОСНОВНЫМИ,
по ним строится матрица,		а столбцы Х0			и	X Æ	ис
пользуются толыЛ для	расчета.
. Произведений факторов ХуХд			называется			взаимодей
ствием факторов, а коэффициент			2	Cf ^	-	эффектом
взаимодействия. При этом		взаимодействие				Ху Ху	назы
вается взаимодействием первого порядка, Х						у	-
взаимодействием второго порядка и т.д., или еще их
называют парны.“ взаимодействия,				тройные		и т.д.

Полное число всех возможных эффектов всегда равно числу опытов полного факторного эксперимента.

Число возможных	взаимодействий какого-либо поряд—.
ка можно рассчитать		по формуле сочетаний
P f		_	t f

~тІ ( А - т) ! 1

где Я —число факторов;

ПТ - число элементов во взаимодействии.

Возвращаясь к табл.7.4 можно видеть, что вектор

столбцы для Х 0} Х±		и. х £ совершенно идентичны.-
Это значит, что пользуясь полным факторным экспери
ментом, найти коэффициенты при этих членах							в отдель
ности невозможно. Другими словами, нельзя сказать,
является пи величина			истинной, или			на	нее повли-
яло наличие в модели			0	членов	і,	и	Л
яло наличие в модели		объекта		членов		и	Xд, .
Если считать, что неизвестным истинным является
некоторое значение	cL0		, то	вычисленное			CL0 будет
смешанной оценкой			, т.е.
			к
d o	=	^ 0	+ 2 .	et ff; .			/ 7 .1 2 /
Следовательно,			—*
Следовательно,	полным факторнымэкспериментом

следует пользоваться только в тех случаях, когда име

ется	уверенность	в том, что функция отклика в пре
делах пространства		варьирования факторов	линейна,,
либо	линейное приближение удовлетворяет		исследователя.

7.4. Дробный факторный эксперимент /ДФЭ/

Полный факторный эксперимент позволяет оптималь ным образом ! использовать пространство независимых переменных: снизить погрешность определения коэффи циентов и получить элементарно простые формулы для их вычисления. Однако, число опытов, необходимых для реализации ПФЭ в ряде случаев может все же оказать ся неприемлемо большим.

Так, если	число	факторов [RftfitïO іЮ, то		необходимой
число опытов	j / -		2 ^ = ,1 0 2 (1. іШгомотря	на все изяще
ство ПФЭ это число			сразу представляется	неоправданно

большим. Поэтому желательно как-л^о-так,изменить мат рицу, чтобы число опытов резко сократилось, »но -в ,то же

время матрица		не	потеряла бы своих оптимальных
свойств.
Рассмотрим вновь простейший случай - матрицу 'ПФЭ
для двух факторов.
					Таблица		.7(6.
ПФѲ	для двух факторов со столбцом взаимодействий
№	я 0			х х	Х і Х х		*
	я 0			х х	Х і Х х

1	+ 1		- 1	- 1	+1		и
			+1				и
8	+1		+1	- 1	- 1		Ух
3	+ 1		- 1	+1	- 1		Уз
4				+1			Уз
4	+1		+ 1	+1	+1		У*
Пользуясь ПФЭ можно получить модель							У*
Пользуясь ПФЭ можно получить модель
	У ~ а °І+ а і х і + а г х і + а ■а х і					■	/7.13
Если есть		основание предполагать,			что CL^ —1<- О			,
то в матрицу		ПФЭ вместо Х±		можно включить третий
фактор	, который в опытах будет принимать значе
ния, соответствующие столбцу				Х^Х^	. Запишем		эту	но-

вукг таблицу и подсчитаем столбцы для всех взаимодей ствий

ДФЭ

для

трех факторов1

Таблица

7.Ѳ

N°

х 0

Х і

dfXjXjj £

-И

0‘i'

+’

№

Мож но видеть, чТо в’ этой табіиде

совпадают столб

цы для

* 0

Гдля

, ДЛЯ

Х х я

; ДЛЯ

Otÿ

й'

%£ХХ , т.ё. рассчитанные коэффи

циенты’ будут

смешанными оценкам.

a l~*‘cLX^ <*-ІЪі а 3 “*

•

Это' значит, что

й'айТй Истинное' значение

&0) &і , а^\

йз ТаКоТо эксперимента

нельзя,- но1 иредИолаТая, что

все

эффекты вэаНмодёйСтйнй стремятся К ауто считаем, что

&ö ***«)

<tL &cC£

;

a 3

ot3 .

Иначе -

Возможность сокращения числа

опытов появля

ется при введении некоторых допущений о свойствах

функции оТкДйкау ä риск ошибочно оценить линейные

эффекты за счет влияния Взаимодействий явпяется пла

той за

эТо сокращение.

Рассмотренный пример использования четырех опытов

ДНЯ трех факторов вместо восьми, необходимых дляГГФЭ,

ЯВДЯеТсЯ Дробным факторным экспериментом ДФЭ от

ІІФЭІ,

2ä

ИЛИ

половиной

ПФЭ

/еще

( ■

йсПогіЬзуеТсЯ Название —попуреплика/. Одна четвертая

ЧасТЬ ПФЭ Называется четверть-репликой и т.п.

Обозначим ДФЭ так:2*'р

, где

к. -

общее число

факторов,

число эффектов взаимодействия,

за

мененных

новыми факторами.

Например, матриаа табл.7,Ѳ есть ДФЭ 23т1

Если полный факторный эксперимент для пяти факто ров содержит 32 опыта, а желательно поставить лишь одну четвертую часть /четверть-реплику/, то ДФЭ будет

таким -	Необходимо	только, чтобы остающееся
число опытов было больше		числа факторов, и н а ч е
б у д у т	с м е ш а н ы	и л и н е й н ы е
э ф ф е к т	ы.
7,5,	Выбор полуреппнк

В общем случае определить, какие эффекты смешаны, можно, пользуясь определяющим контрастом. Определяю щий контраст - это произведение всех столбцов, равное для данного плана +1 или -1. Для того, чтобы опреде лить, какой эффект смешан с данным, нужно умножить определяющий контраст на эффект. Так, если для трех

факторов	0С-іХ^Х3	= 1 , то х± смешанным			будет
так как	Х^-Хі = I.		= х Ах 3 ,

Соотношение показывающее, с каким из эффектов
смешан' данный эффект,			называется	генерирующим соот
ношением.		2^1	возмож иы	8 решений
Для попуреплик
	= **-і	I	** = * г х з ;
* * = - * * * х ;			Хц = - х у ч ;		•
X* = ~ Х і Х 3 ;			Х-ц =	'L* Ѵ
				Л-іХх Х 5	}
Х Н = х АХ3 ;			х н = - х ±х ^ х 3 .
Полуреплики с		Хц -= Хі Х д Х з		или - X i X t X 3

имеют максимальную разрешающую способность, так как линейные эффекты будут смешаны только с тройными взаимодействиями. Попуреплики такого типа называются главными.

Выбор попуреплик всегда связан с использованием какой-либо априорной информация.

При большом числе факторов желательно еще более

снизить число опытов. Рассмотрим пять факторов. Если желательно выбрать не полуреппику с 16 опытами, а |/4 - с 8 опытами, то используя ПФЭ для трех факторов

/Ц опытов/	можно приравнять				Xjj	- парному взаимо
действию, а	Хд	-	тройному:
				х5= Х і Х х х э ;
				Х 5 = ~ Х 1 Х 1 Х 5 )
х г - -		Ѵ	і ;	Х 5 ^ Х ^ Х д )
				х 5 -	-	x Lx x x b ',

	=	X i X y f		Хд = Х Л Х з
				x s = -		X L X ^ X 5 )

Х і, = ~ х х х 31

Xu = Xn X

%‘*-5 !

= -

X s = X t Xx X 3 - X* = ~ х і Ч * з >

X 5 =

Xg - ~ X i X l X5 -,

x 5 = Х і х ^ Х з ;

X 5 = - x i x l x 3 .

Пусть выбраны	и Х д - Х ^ Х х Х3 *
тогда опредепяюлще контрасты будут
і = х іх3х4',	і =х1х1х3х 5.

Перемножим эти контрасты, тогда получим новое выражение

І = Х д Х ц Х 3 .

Разрешающая способность такой реппики определится обобщающим определяющим контрастом

і =

= х 1 х 1 х 3 х 5 =

/ 7 Л '4у

Система смешивания определится последовательным

умножением обобщающего определяющего контраста на факторы

Х 1 = Х 3 *Ч ~ Х Х^3 ^5			~ f y X i Ot j X f f
«	* I	я. * *	*	^	*
ССц —ДСі’ЛІз —					Ху о£$ ,
Х 1 ХЛ ~ Х£ Х3 Х Ц ~				Х5" =	•

/JÏ.5,

В данном случае выбрать і'/4 реплику можно,- лишь анализируя возможные комбинации взаимодействий.

7,7 Реплики»большой дробности

Для выбора реплик большой дробности имеется лишь бдна четкая рекомендация: если известно, что какое-либо взаимодействие является' существенным, его, п'о-возмож- ности не следует заменять фактором, и наиболее важный Фактор сЛёДует ставить на место наиболее слабого вэаимодействия,-

Пусть неооходимо выбрать 1/8 реплики для ПФЭ 2 ®, т.е. 2б~3причем известно, что сильным является взаи

модействие	, а из вводимых факторов Ху	Х 5 Д. Xg
наиболее сильный — CË-iJ ■ Хогда следует выбрать гене
рирующие соотношения*
' x k s X l x i x 5 t‘ Х5 = * 1 ХІ >’ Z G= X i * ?.
Определяющие контрасты будут
і =		;

Обобщающий определяющий .„контраст
1 =		= Х ^ х Х 5 =			= ? 3 ХЧХ 5 =
= Ѵ		ч * 6 = ХХХ5 Х5 ? 1 = £ і х ч * 5 * 6 -				/715/
Система смешивания эффектов будет такая /учитывая
эффекты не выше тройных взаимодействий/
&£	~ ot-f ~f~ dsjç			^ ХЪЧ	t
&Z	-	+cLi5	+oL^	+<^ и к	±(^556 )
a13 ~ oLXb +oi$è + ciijLi + oCi 3 5					+cLzks + OL34€	и m.d.
Матрица планирования				в этом случае.
		ДФЗ	26 ~ 3		Табпиаа 7.7

О н			*3	X s	-2 а _
О н		+	*3	XtXx	x tx à	* і* і* з
+	+	+	+	+	+	+
+	-	+	+	-	-	-
+	+	-	+	-	+	-
+	-	-	+	+	-	+
+	+	+	-	+	-э	-
+	-	+	-	-	+	+
+	+	-	-	-	-	+
+	—		—	+	+	—

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ