книги из ГПНТБ / Козин В.З. Методы исследований в обогащении учеб. пособие

переходят к поиску безусловного экстремума, формируя искусственную гиперповерхность типа

t ( x ) = у ( х ) - И [ £ ( х ) - Л ] * / и . і и

тем самым формируя гребень, по вершине которого про­

ходит линия ограничения.

11.7. Поиск экстремума на отрезке. Метод "золотого сечения"

Рассмотрим задачу. Пусть известно, что экстремум функции расположен на отрезке X =L . Как поставить опыты , чтобы в любом сгіѵчае число опытов было наимень­

а.y ( * i ) = ï ( X i ) :

Врезультате мы сделали бы вывод, что в первом

тогда при любом выборе исходный отрезок сократится на

отсюда

Следовательно, по методу "золотого сечения" следует ставить опыты на расстоянии 0,62 от концов исследуемого

стью 5%, то руководствуясь правилом "золотого сечения"

11.8.Метод Гаусса-Зайделя

Простой разновидностью методов, не требующих знания

градиента является метод Гаусса-Зайделя.

Суть метода проста, а метод стар, но его схема явля­ ется классической. Отказавшись от выбора и вычисления градиента, предлагается варьировать переменные поочеред­ но. Вначале осуществляется поиск локального экстремума_ по %і , затем по и т.д.

Путь при этом, конечно, не самый короткий, но зато' вычислительные процедуры сведены к минимуму.

11.9.Локальный случайный поиск

Коль скоро вычисление градиента достаточно сложная'

операция, а результат в значительной мере субъективен /зависит от выбора масштаба/, то конкурентоспособным может быть метод спучайЕіого поиска.

Пусть, например, из начальной тачки мы сделали дробный шаг в произвольно выбранном направлении.

то принимается противоположное направление и т.д.

В некоторых случаях будет проигрыш, по сравнению с тем, что мы получили бы, вычислив градиент, но в дру­ гих случаях будет и выигрыш. Оценка в каких случаях будет проигрыш, в каких выигрыш, является сложной и нами не рассматривается.

Другой вариант случайного поиска. Можно вообще отказаться после удачного шага от одномерного регуляр­ ного поиска, а сразу осуществлять рабочие шаги до тех пор, пока ÿ + не станет больше у , причем слу­ чайным является как направление, таге и шаг.

В цепом стратегия исключительно проста. Пробуй, от­ бирай и двигайся.

Сравним, однако, случайный поиск с градиентным. Пусть необходимо двигаться ;:о плоскости. Очевидно, что если будет выбран шаг в верхнюю полуплоскость, то он будет удачным, если в нижнюю - неудачным.

методе случайного поиска.

Это, естественно, лишь пример, и всякий раз необхо­ дим более тщательный и конкретный анализ обоих мето­ дов, но пример показывает, что случайная стратегия в ряде случае может быть Но '■.уже, а даже лучшей регуляр­ ной, и в ситуации аналогичной рассмотренной /линейный

объект/ преимущества случайного поиска с ростом чис­ ла факторов П. увеличиваются.

На экстремальных объектах при приближении к вер- . шине вероятность получить хороший результат резко сни­ жается по сравнению с ранее приводимой цифрой /в точке экстремума эта вероятность равна нулю/ и эффек­ тивность случайного поиска падает.

Вот поэтому общепринятым считается мнение, что в областях,Далеких от экстремума, целесообразно использо­ вать случайный поиск, а вблизи экстремума какой-либо из регулярных /например, наискорейшего спуска/,

11.10.Поиск при наличии ограничений

Ограничения при поиске могут быть различными. Выде­ лим два принципиально различных ограничения

1. Ограничения факторов, типа

с условным экстремумам.

Решение задачи в первом случае не представляет затруд­ нений. При достижении фактором Х-і ограничения движения по нему следует просто прекратить и двигаться по осталь­ ным. Это почти универсальное правило. Рекомендуется допоішительно в сложных или сомнительных случаях изменить начальную точку поиска и повторить поиск.

При наличии.ограничений второго тина задэча поиска резко усложняется, хотя общая рекомендация выглядит сравнительно просто: необходимо вначале двигаться том направлении, где будет выполнено условие £ ( х ) = Л ,

жение к экстремуму, Эта мысль приводит внешне к схеме наискорейшего спуска. Дело, однако, осложняется тем, что мы не можем в данном случае принять гипотезу о том, что двигаясь к локальному экстремуму, не удаляемся от линии

ограничения. Следовательно, практически следует исполь­ зовать метод градиента.

При наличии составляющих градиента и функции ограни­ чения можно рекомендовать следующий простой графический метод определения направления движения для целевой функ­

У(Х-) и проведем ординату, описываемую уравнением ограни­ чения £(_;х) = Л (put - 1 1 . І . ) .

П р и м е р 11,2. Поясним суп., метода ил при :оре (рмс..й/).

ÿ ( æ ) =atx, + а2хг - а 3х л ;

Z ( х ) ~ ê , X , + ZI я Z +è$X. 3 .

Дадим всем факторам единичные приращения такого знака, чтобы у ( Х ) увеличивалась /если имеется макси­

Ра з д е л ХП. АДАПТАЦИОННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

12.1.Сущность адаптационных методов Рассмотренные выше методы планирования эксперимен­

тов ч движения к экстремуму связаны с вычи пением опре­ деленных характеристик гиперповерхности. Б то же время возможно движение к экстремуму и без каких-либо вычис­ лений характеристик гиперповерхносг т, а лишь за счет отбора соответствующих результатов опыта и выбора ус­ ловий выполнения предыдущих..

Такой особенностью характеризуются уже рассмотрен­ ные нами локальный поиск на сетке, метод Гаусса-Зайдодя и случайный поиск. Однако рассмотренные схемы слишком просты, чтобы быть эффективными и, как уже было отме­ чено, лишь случайный поиск и лишь вдали от экстремума эффективен для многомерных объектов,

В сложных условиях , в особенности при низкой точ­ ности измерений целесообразно применять специальные планы, которые отличаются указанным достоинством, -

Если, например, необходимо составить симплекс план для двух факторов, то вначале ставят 3 опыта с коордилатами

1.Поставить опыты в вершинах симплекса.

2.Выбрать на результатов самый плохрй. с

3.Заменить условия осуществления самого плохого

опыта новыми, соответствующими "переворачиванию" сим­ плекса. Предполагается, что если з і пенить условия пло­ хого опыта противоположными, могут быть получены луч­

значение Xj

для заменяемого опыта не входит.

4. Замена условий и постановка новых опытов осуще­ ствляется до тех пор, пока значение хотя бы одной коор­ динаты XI систематически изменяются в одном направле­ нии. Как только значения Xj начнут колебаться около некоторого уровня /симплекс "закручивается"/, поиск заканчивается.

Если после замены худшего опыта получают вновь худший результат, заменяют условия следующего плохого опыта и т,д.

П р а м е р 12.1. С целью более детального изучения методов оптимизации введем понятие условного объекта, задаваемого уравнением

/ 12,5/

Экспериментатору это уравнение неизвестно. Значения он получает в результате опыта. В примере же будем по­

лучать результатъ' "опыта" путем расчетов по уравнению /12.5/.

Пусть объект обладает свойствами, соответствующими урав­

Найдем экстремум функции симплекс-- іетодом. Выберем основной уровень факторов. Предположим, что по некоторым

Находим координаты первых трех опытов, ибо

вия опыта № 3 следует заменить. Геометрически траекто­

f r =57,1.

Вычисляем координаты вершины № 6 ,заменяя вершину №1. Хіе = ~ 73+4/ - 3,5 = 3,5;

Хоі = 2 /0,735+0,735/ + 0,565 = 2,035'

f r = S2 -3 •