книги из ГПНТБ / Козин В.З. Методы исследований в обогащении учеб. пособие
.pdfДалее получили бы вершины № 7 с координатами /4,5;
2,036/ і № |
8 /4,0; |
3,3/; № |
9 /5,0; 3,3/; № 10 /4,6; 4,6/; |
||||
№ 11 /5,5; 4,6/, причем |
результаты последних |
трех |
|||||
опытов следующие; |
ÿg |
= 105; |
= |
113; h i ~ |
112,32. |
||
Находим координаты вершины № 1 2 |
|
||||||
|
= |
2 |
/4,5+5,5/ |
_ 5 і 0 |
= ді0; |
|
|
|
X112 |
|
|
|
|
|
|
|
х 212 = |
2 |
/4,6+4,6 / |
- 3,3 |
= 5,0; |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Видим, |
h i |
= |
11 1 • |
|
|
12 соответствуют |
|
что координаты вершины № |
|||||||
худшим результатам, чем оставшиеся № 10 ц № 11. Поэто му возвращаемся к предыдущему симплексу с вершинами
N° 9, Ne 10 и Ne 11 и выбираем худший результат не обращая внимания на опыт № Ѳ. Следует, что заменить необходимо вершину № 1 0
XИЗ |
|
2 |
/5,0 |
+ 5,5/ |
|
_ |
4 (5 = 8 ,0 ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 213 |
= |
2 |
/5,3 |
+ 4,6/ |
_ |
4 _б = |
3,3 ) |
|||||
|
и |
|
- |
106 • |
|
/Не 9 |
/5,0; 3,3/ № 11 /5,5; |
|||||
В этом новом |
симплексе |
|||||||||||
4,6/ и N° 13 /6,0; 3,3/ худший результат у опыта N° 9. |
||||||||||||
Заменяем |
вершину Не 9 |
6 ,0 / |
|
г? г, |
.. о к |
|||||||
|
V |
_ |
2 /5,5 т |
- |
||||||||
|
ХЦ4 ----------- --------!--- |
O.U |
- |
0,0, |
||||||||
|
Y |
= |
2 |
/4,6 + 3,3/ |
|
~ |
а .. |
.. |
, р |
|||
|
Х214 |
|
------~~2-----— |
|
3,Л |
~ 4-6/ |
||||||
|
|
^ = 1 1 4 ,2 1 . |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
Результаты |
|
опытов Ne 11, |
Не |
13 и |
На |
14 |
||||||
= 106 и |
|
|
= 114,21. |
Заменяем |
вершину Не 13. |
|||||||
* |
Х115= |
|
Ü |
â l Æ |
- |
|
6,0 |
=6,0; |
||||
|
Х2 і : |
- |
|
|
|
|
- |
3,3 |
= 5,9, |
|||
|
|
ÿi5= |
н а . |
|
|
|
|
|
|
|
||
Получен худший результат, чем в оставшихся опытах № П и № 14. Заменяем поэтому опыт № 11.
Хп в |
= |
2 /6 ..5 ..+ |
6,0/ |
- |
5,5 = 7,0; |
Х216 |
= |
~ . / 4 , 8 |
+ 5,9/ |
- |
4,6 = 5,9; |
|
|
2 |
|
|
' |
H l-
Это также худший результат, поэтому в симплексе N° 11, № 14 и № 15 заменяем опыт № 14.
Х ц 7 = 2 / 5 -5 + Ѳ'0/ - 6-5 = 3,0.
Х2 і 7 = 2 / 4 ^ 6 + 5>9/ - 4,6 = 6,9.
Рис. 12.1. Траектория движения к точке экстремума симплекс - методом
Рис. 12.2. Траектория движения к точке экстремума бесцикповым эволюционным методом
Вершины № 17 и № 12 совпадают, |
- ÿ a |
И 1- |
|
Снова худший |
результат. Итак замена |
тобой |
вершины |
симплекса № 11, № 14 и № 15 дает худшие результаты. Следовательно экстремум находится внутри этого сим плекса.
Далее можно уменьшить интервал варьирования и от любой вершины двигаться вновь. Если же с точностью до шага варьирования результаты нас устраивают, можно
считать задачу |
решенной. |
|
|
||
Следовательно координаты экстремума |
|||||
|
0,5 |
и |
Лг я 4 , 6 ; |
ÿ |
=114,21. |
Истинные |
координаты экстремуму |
но / IZ.6/ |
|||
Хі = |
6,0 |
и |
Ж*;- 5,0/ |
ÿ = |
115- |
12.3.Эволюционное ' планирование
Суть эволюционного планирования заключается в мно гократном усреднении результатов опытов, проводимых в одних и тех же угловнах. Это особенно необходимо при большой дисперсии воспроизводимости, когда получаемые коэффициенты M O I /т окапаться незначимыми,
1
1 : -а
ѵ Однократная постановка опытов матрицы называется циклом, а серия циклов - фазой исследования. После окон чания фазы исследователь меняет основноА уровень либо и нтервалы варьирования.
Вследствие трудоемкости и сравнительно сложной об работки результатов эволюционное планирование в чистом вице используется редко /подробную методику смотри
в работе С kJ /. Однако, идеи эволюционного плани рования - повторение опытов и целенаправленная смена центров оказывается весьма плодотворными при выполне нии экспериментальных работ.
12.4.Бесцикловое эволюционное планирование
Недостатком симплекс-метода является то, что отбра
сываются и заменяются худшие результаты и эта замена не всегда соответствуют движению к лучшим результа там. Это приводит к дополнительным поворотам сим плекса и, следовательно, к удлинению поиска. Поэтому предложено, используя план, гарантирующий перебор всех возможных направлений, при получении первого хорошего результата двигаться в этом направлении до тех пор, пока результаты не станут снижаться, после чего шсущестБияется переход к следующей стороне плана и т.д. ПФЭ, например, является примером такого плана, гаран тирующего перебор всех возможных направлений.
Поволоцким В.С. показано, что планами, обеспечиваю щими перебор всех тройных взаимодействий, являются:
для плана из 8 -ми опытов при 4 независимых перемен
ных план с составляющими : х ^ х ^ |
; *з ; х^ |
'2 Х3 |
|
Х 1 |
|
для плана из 16 опытов при 8 -ми |
независимых переменных |
|
х г х 2 ,; V |
*4 ; |
x s |
|
|
Х7 = Х1 |
хд х4 ; |
00 X |
Х1 |
Х2 |
х3 |
; х 6 = Х1 |
Х2 |
Х4 ' |
= Х г . |
Х „ |
X . |
и т. д,, |
т.е. |
новые пе. |
2 |
3 |
4 |
ремеишле вводятся путем замены тройных, а затем и пя терных Vнапример, ,для плана из 64 опытов для 32 неза висимых гсеременнь^ взаимодействий.
Так как Г1ФЭ н предложенные Поволоцким В.С,
планы симметричны, можно использовать лишь одну их половину, а при необходимости замены строки плана, переходить к противоположной ей и лишь после дости
жения экстремума в выбранном |
направлении |
переходить |
||||||
к следующему. |
|
|
|
|
|
|
||
П р и м е р |
12.2. Условия те |
же, что и в примере |
||||||
для симплекс-метода. |
+ |
30 |
—3 |
^ |
||||
Объект |
|
—4 + 12 |
■ |
|||||
Xfg = 3 |
и Xjÿ = - 1 ; ЛХ± |
= 1 ,0 ; Л |
= |
1 ,5 . |
||||
Для двух факторов ПФ Э |
|
|
|
|
||||
|
п |
|
Хі |
X. |
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
2 |
|
- |
|
+ |
|
|
|
|
3 |
|
+ |
|
- |
|
|
|
|
4 |
|
— |
|
— |
|
|
|
Валедствие симметричности матрицы для движения и |
||||||||
экстремума |
принимаем план |
|
|
|
|
|||
|
. П. |
Х і |
+ |
|
|
|
||
|
1 |
+ |
|
|
|
|||
|
2 |
|
+ |
_ |
|
|
|
|
Расчет координат ведем в таблице 12.2. Геометрически |
||||||||
траектория движения |
представлена на рис. 1 2 .2 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12.2 |
|
Расчет |
координат опытов и результатов |
|
||||||
Опыт № 1 |
на |
Ф а |
к т о р |
ы |
~ |
|
у |
|
|
Хі |
- 1 , 0 |
|
|||||
основной уровне |
3,0 |
|
- 2 |
|||||
Интервал |
варьиро- |
|
1,5 |
|
|
|||
ваипя |
№ 2 |
% |
1 , 0 |
|
50,25 |
|||
Опыт |
|
4,0 |
+0,5 |
|
||||
Опыт № 3 |
|
5,0 |
2 , 0 |
|
87,0 |
|||
Опыт |
№ 4 |
|
6 , 0 |
|
3,5 |
108,25 |
||
Опыт |
№ 5 |
|
7,0 |
|
5,0 |
114,0 |
||
Опыт |
№ 6 |
|
8 , 0 |
|
6,5 |
105,0 |
||
Опыт |
№ 7 |
|
8 , 0 |
|
3,5 |
|
68,25 |
|
Опыт |
№ 8 |
|
6 , 0 |
|
6,5- |
109 |
||
Так |
как выбранное |
направление |
/+, +/ |
в опыте № 2 |
|||
привело |
к увеличению |
ÿ |
, продолжаем |
движение. |
|||
В опыте № 6 результат хуже, переходит |
к направле |
||||||
нию |
нет смысла, так как пойдем назад. Поэтому |
||||||
приішмаем за центр нового плана /основной уровень/ |
|||||||
условия |
опыта Na 5 и переходим |
к |
направлению /+ ,-/. |
||||
•Направление /+ ,-/ по опыту |
№ 7 |
приводит |
к ухудшению |
||||
результата, поэтому принимаем противоположное направ ление /-, +/ не меняя центра /опыт № 5/.
Результат опыта № 8 также хуже опыта Na б. Можно видеть, что все направления исследованы и лучшего резуль
тата, чем |
в |
опыте |
№ В не получено. Следовательно, коор |
|||
динаты экстремума |
= 7,0 |
и |
= 5,0 |
14,0. |
||
Истинные |
координаты экстремума |
|
||||
Х.1 = 6 , 0 |
|
и |
Хг = 5,0 ; |
|
ÿ = 115. |
|
Таким образом, в одних и тех же условиях весьма |
||||||
близкие результаты |
получены симплекс-методом за |
17 опы |
||||
тов, а бесцнкловым |
эволюционным |
планированием - |
за |
|||
8 опытов. |
|
|
|
|
|
|
Следует |
помнить, |
что эти |
сравнительные результаты - |
|||
частные и не всегда б'еешікловое эволюционное планирование в два раза аффективнее, но эффективность его несомненна,
иобьем вычислений - минимален.
пр и м е р 12.3, (/оставить план бесцикпового эвошоииошюго планирования для шести факторов. Принимаем
miau для восьми переменных на ЛИМіЬ комбинации Xj > Х2 > хз, х 4 ’
X 1 |
План для |
G факторов |
|
* 2 |
*3 |
Х4 |
|
+ |
+ |
ь |
+ |
— |
+ |
•h |
+ |
+ |
— |
•і- |
+ |
— |
— |
+ |
+ |
|
+ |
- |
+ |
— |
- |
+ |
|
+ |
— |
|
+ |
|
|
|
|
—
1 6 опытов. но используем
Ѵ 2 Ѵ W r
Таблица 12.3
X 5 |
CD X |
++
——
_ —
++
—+
+_
+—
—+
В качестве рабочей можно взять любую половину
из 8 опытов |
/и екпючпв |
противопложные строки, |
напри- |
||
мер, оставим, опыт № 1 , но исключим |
опыт № |
16/. |
|||
|
|
|
|
Таблица 12.4 |
|
Х 1 |
Х 2 |
Х 3 |
Х 4 |
Х 5 |
Х 6 |
+ |
+ |
•h |
+ |
+ |
+ |
— |
+ |
+ |
+ |
— |
— |
+ |
— |
+ |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
-I* |
+ |
+ |
+ |
+ |
— |
•г |
_ |
+ |
— |
+ |
— |
+ |
+ |
— |
+ |
- |
- |
-+ |
— |
|
— |
— |
— |
-t- |
— |
+ |
Р а з д е л ХШ. ПРОЧИЕ МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
13.1.Адаптационный метод
Весьма перспективными методами получения моделей
являются адаптационные, отличающиеся тем, что наблю даемые данные используются по мере поступления для исправления /коррекции/ коэффициентов уравнении.
Пусть имеется математическая модель процесса и возможность наблюдать и использовать действительные текущие значения входных и выходных переменных. В этом случае можно непрерывно улучшать уравнения, меняя
их коэффициенты, например по формуле:
и
|
U S * |
' |
|
y i |
JL |
|
|
|
|
/13.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
здесь |
/V |
- |
номер |
наблюдения; |
|
|
|
|
|||
|
CL-j j |
- |
значения |
коэффициентов уравнения |
на |
||||||
|
|
|
Ѵ -ом [ш аге коррекции; |
|
|
|
|||||
|
<2ІЛЧ;! - |
то же |
на |
|
J / + |
1 ом |
ша ге ; |
|
|
||
|
- |
наблюдаемое |
значение |
^ |
на |
|
+ 1 ом |
||||
|
|
|
шаге ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
- |
некоторое |
число, |
учитывающее |
влияние |
|||||
|
|
помех, |
П - |
'2U с.-го |
н о SLj-^youЦ ц е н - Г;.*'. { |
. |
|||||
С ходимость таких |
алгоритмов доказана |
и |
в конце |
||||||||
концов будет получено уравнение, с заданной наперед по |
|||||||||||
грешностью |
описывающее |
процесс. |
|
|
|
|
|||||
Формула /13.1/ не является единственной и допустй-
мо применение ее упрощенных вариантов
и
|
a L,//+l ~ a L,* + |
(fys+i |
- Z |
а,- |
где |
i.=i |
г.л' |
||
Ъt - некоторый коэффициент. |
||||
например
К /13.2/
Обозначим |
|
|
|
~ £xt a с |
’ Д'і,л'+і = |
”” |
|
|||
разность между действительным и предсказанным значе |
||||||||||
нием выходной величины, тогда равенство 13.2 примет |
||||||||||
вид |
|
&L,*+L |
|
= |
+ |
|
' A tfw + i * |
/1 3 .3 / |
||
|
|
|
|
|||||||
Коэффициент |
|
необходимо брать переменным |
|
|||||||
|
|
|
_ |
|
Ä К - X t . r f + i . |
/1 3 .4 / |
||||
Наибольшая скорость сходимости наблюдалась при |
К = ~ 1 |
|||||||||
Уменьшение коэффициента К |
|
уменьшает скорость сходи |
||||||||
мости, а увеличение приводит |
к |
появлению колебаний. . |
||||||||
Связь |
между числом переменных и числом шагов |
|||||||||
коррекции |
за |
которые |
переменные |
входят в область 1 0 % |
||||||
отклонения от своих действительных значений при .K-'jf- |
||||||||||
описывается |
уравнением |
*Л/ = ЮН, |
|
|
||||||
Следовательно, |
итоговая |
і формула для |
вычисления |
|||||||
коэ ффициентов |
|
|
|
Я |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a L,s/+i |
~ |
a L,* + ~П |
|
|
‘ /1 3 .5 / |
||||
Значение |
ООі при вычислении свободного члена |
CL0 |
||||||||
принимается |
всегда равным |
единице. |
|
|
||||||
Важной особенностью адаптационных алгоритмовявля |
||||||||||
ется то, что |
значение |
X-L |
необходимо представлять в |
|||||||
относительных единицах, для чего некоторое значение Х(,0 близкое к среднему , принимается за нуль, а весь диапа
зон .изменения |
X |
считается |
равшям + 1 , тогда преобра |
|||
зование действительных значений X |
в относительные |
|||||
осуществляется по формуле |
|
|
||||
|
|
_ |
Xç |
Хсо |
/13.6/ |
|
^ |
L отн ~ |
X i max ~~ X іо |
||||
|
||||||
т . |
_ |
т |
I = |
IXi |
- x t0'l . |
|
L max |
|
|
'L HiLh |
|
||
|
Уравнение модели будет подучено в виде |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
у |
~ |
а 0 |
+ а і |
|
®тн. |
|
|
|
|
/ і з л / |
|||||
|
П р и м е |
р |
13.1. Пусть исходная |
модель |
(неёеоная) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= і |
+ 2 X огн, |
|
|
||||
причем |
.ХСо |
= 10; |
|
|
|
15. |
Объект описывается |
урав |
||||||||||
нением ( «<СтUUHUMj у |
я |
&+ |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Так |
как |
І1 =2, |
расчет |
ведем |
по формулам, тлЬ'л. 13. j |
|
||||||||||||
|
|
|
^о.-У+і |
|
31 |
|
|
+ |
|
v+i |
' |
|
|
) |
|
|||
Исходное значение |
|
|
^ h -V "1” |
|
|
|
|
|
i |
• |
0 .^=2 . |
|||||||
|
л' =1 , следовательно |
Д0І = 1 и |
||||||||||||||||
Предсказанное |
значение |
по уравнению |
|
|
^ |
= 1 +• 2x0,4= |
||||||||||||
= 1,8, |
Находим |
0£ог |
и |
Л 1г |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
<TÜ4 = |
1 |
+ |
1 , 0 |
. |
0 , 0 |
= |
lü; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a iSL = |
a |
+ |
o,4 |
. |
o,o |
= |
5,e |
|
|
|
Х <пн= 1,0; |
|
||||
ÿ |
Второе |
наблюдение |
дает результаты |
|
||||||||||||||
= 15,0. |
Предсказание ведется |
всегда |
|
ло |
новым |
коэф |
||||||||||||
фициентам |
|
#«* “ |
№ + |
!Д |
- /-0,6/ = 9,4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
» |
8 ,Ѳ + |
1 , 0 . / - 0 ,6 / |
=5,0 |
|
|
||||||
Находлм предсказанное |
значение |
^ |
в третьем наблю |
|||||||||||||||
дении |
|
|
= 5,4. |
Находлм |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
аіоѵ= |
0,4 |
+ |
1,0 . |
/-3,0 ' = |
6,4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
а іч |
= 5,0 |
+ |
/-0,8/ /-3,0 ' |
= 7,4 |
|
и Т . д . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изменение а„ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
процессе |
коррекции |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изменение |
ct4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 процессе |
коррекций |
|
||||||
1
О— г—,— г —г— ,— , —i—i— i— i— i—
i a з |
н |
; 6 |
3 |
$ |
Ю И |
1і ;3 Иі 1*5 |
л'+і |
Рис, 13.1 |
График в |
йенеш/. • |
дффициентов |
«о и я . |
|||
|
в |
паяв |
■•ости |
о t J" |
|
|
|
Таблица 13,1 Получение модели адаптационным путем
----------------------:--------------------- ,---------- ------------------------- |
|
|
|||||||
|
наблюдаемая. |
фактн- |
пред- |
|
„„„ |
|
|
|
|
|
величина |
д |
ческое |
сказан— Раз |
|
|
|
||
п/п |
абсолют относи |
значе |
ное |
|
ность |
|
|
||
ных еди |
тель |
ние |
по урав |
|
|
|
|
||
|
ниц |
ных |
Î |
нениям |
|
|
|
|
|
1 . |
|
единиц |
f |
" |
9,0 |
|
5,6 |
||
1 2 |
0,4 |
1 0 , 8 |
1 , 8 |
|
1 0 , 0 |
||||
2 . |
15 |
1 , 0 |
І5.0 |
15,6 |
|
- 0 , 6 |
■ 9,4 |
5,0 |
|
а |
8 |
- 0 , 8 |
2,4 |
5,4 |
|
-3,0 |
8,4 |
7,4 |
|
4. |
11 |
0 , 2 |
9,4 |
7,9 |
|
1,5 |
7,9 |
7,7 |
|
5. |
8 |
-0,4 |
5,2 |
4,8 |
|
0,4 |
8,3 |
7,5 |
|
8 . |
1 0 |
0 , 0 |
8 , 0 |
8,3 |
|
-0,3 |
8 , 0 |
7,5 |
|
7 |
U |
0 , 8 |
13,6 |
14,0 |
|
-0,4 |
7,8 |
7,2 |
|
ЙІ |
1 2 |
0,4 |
1 0 , 8 |
10,5 |
|
0,3 |
7,9 |
7,3 |
|
у! |
7 |
- 0 , 6 |
3,8 |
3,5 |
|
0,3 |
8 , 2 |
7,1 |
|
1 0 . |
7 |
- 0 , 6 |
3,8 |
3,9 |
|
- 0 , 1 |
8 , 1 |
. 7,0 |
|
1 1 . |
11 |
0 , 2 |
9,4 |
9,5 |
|
- 0 , 1 |
8 , 0 |
7,0 |
|
1 2 |
1 0 |
0 , 2 |
8 , 0 |
8 , 0 |
|
0 |
|
8 , 0 |
7,0 |
Можно видеть, что в относительные единицы следует |
|||||||||
переводить лишь значения X. |
. Переход к |
натуральным |
|||||||
координатам осуществляем так |
|
|
|
|
|
||||
7 - |
3 5 ^ . - w |
* W'■V W |
- - e + 1МX |
||||||
На рис.13,1. приведены графики изменения &д и_Л^_ Сходимость весьма хорошая. В примере мы получили точное значение коэффициентов за 11-12 наблюдений. Следует учесть, что в примере отсутствуют помехи .ошибки измере ния и т.п. При их наличии процесс поиска коэффициентов затягивается /как уже было указано, надо примерно 1 0 наблюдений на один коэффициент/, а коэффициенты не могут быть найдены точно. Их величина начинает колебаться с амплитудой, зависящей от уровня помех.