книги из ГПНТБ / Козин В.З. Методы исследований в обогащении учеб. пособие

каждый из них нужно испытать в 10 узлах /такова требу­ емая точность определения необходимого значения фак­ тора/, то необходимо выполнить 103 = 1000 опытов, что в .'подавляющем большинстве случаев нереально.

Однако, этот случай следовало бы рассмотреть, так как часто все же, пренебрегая точностью, для небольшою

числа факторов такой поиск планируют, ибо он исключитель­ но прост. Мы не рекомендуем этот метод дли использова­ ния.

Более эффективным является локальный поиск на сетке. От предыдущего он отличается тем, что опыты осуществ­ ляются не все, а лишь те, которые способствуют движению к дели, другими словами выбор следующего варианта опыта доплееч зависеть от результатов предыдущих /обычно со­ седних/ опытов.

Отметим, что число необходимых опытов по принципу локального поиска на сетке зависит от выбора начальной тички. При удачное выборе это число может быть весьма малым /в пределах - 5/, в менее удачных случаях это чиспо увеличивается, но все равно остается меньшим по сравнению с перебором на сетке.

Прибііи чнтепьно число шагов в локальном поиске на сетке /в сам JM неблагоприятном случае/ может быть оце­ нено так.

' Пусть в одномерном опыте придется пройти всю ось, тогда чиспо опытов

вдвумерном /пусть зигзагообразно/ мы пройдем

т± + т Р + 1

ер.т.чмальных на дачном іпаге опытов и по 4 = 2 к 2 соседних опытов дпн каждой оптимальной точки.В трех­

тов /по сравнению с 1000/ и то лишь в-самом неблагопри­ ятном случае.

Правда, это достигнуто следующей ценой: предполага­ ем, что найденный локальный экстремум совпадает с гло­ бальным, т.е. функция одноэкстремальна, В противном слу­ чае і.іы рискуем ошибиться.

Но выигрыш в числе опытов столь велик, что очень части идут на такое предположение. Однако, число опытов мож но сокращать и далее.

11.2Пропорциспальный поиск

Вени г процедуре покалыюго поиска на сетке принять не

постоянный шаг, а выбирать его также в зависимости от результатов предыдущих опытов, то выигрыш бѵдет боль­ шим.

Пусть шаг сетки будет пропорциональным производной функции на исследуем ом участке. Практически

Иногда этот метод называют методом градиента. Выбор К - сло/к ный процесс. Мочено вначале сказать,

что чем больше К - тем быстрее движение к экстремуму, но в случае неточных данных или неблагоприятных свойств функции /склоны с резко переменной крутизной/ большое К

может привести к "качке", причем процесс "качки" может стать далее расходящимся. Поэтому еще Ньютон предложил депать К переменным. Так, чем меньше ско­ рость изменения функции /вторая производная/, тем боль­ ше К можно взять /допустимы широкие шагп/, чем быстрее меняется характер функции, тем осторожнее необходимо двигаться.

Так, если произвести два измерения функции с шагом Л и 2Ù , то приблизительно молено вычислить вторую производную

ния и сходимостью. /Знак минус берут при достижении максимума, плюс - минимума, чтобы обеспечить положи­

точно большое К с целью быстрейшего движения и при наступлении "качки" начинает его снижать, руководству­ ясь интуицией. Правда, многое зависит от стоимости и процолж ительности опытов. И всегда можно подсчитать, что дает выигрыш в затратах и времени - некоторый пере­

расход в числе опытов за счет незнания второй производном, либо более точный*расчет правда также при перерасходе в числе опытов.

Наконец, заметим, что если бы мы могли эксперимен­

11.3.Метод стохастической аппроксимации

Двигаясь к экстремуму в условиях высокого уровня помех /больших ошибок игмерения/ вполне возможны ошибки в определении градиента , в особенности ' вблизи экстремума, когда частные производные преближаются к нулю.

Например, пусть ошибка измерения рагна Z .тогда в исходной точке будет получено значение

= ÿ ( x o ) + £ o .

После осуществления шага, будет измерено

у , * ( х 0 + л ) = у ( х о + й ) + £ і .

Тогда вместо истинного значения производной

Ц- = т ^ (зс»+й)- ^ х”)]

получим

Процесс поиска экстремума превратится в колебательные движения со случайной амплитудой вокруг экстремума.

Максимум функции лежит в точке

ij* ——L х ~ 0 при х = 0 .

ности движения, и, наконец, тем больше, чем меньше L т.е. положе функция.

Свойства Функции нам не подвластны и последнее можно лишь иметь-в'виду. Целесообразно также выби­

случаях достигается путем применения специальных планов эксперимента с одновременным варьированием нескольких факторов /чему мы посвятили достаточно много времени

Проблемой становится выбор скорости уменьшения S , так как при слишком быстром убывании можно не успеть дойти до экстремума, как движение пракратчтся, при мед­ ленном - теряются преимущества идеи.

Имеется ряд предложений по выбору S Например

Можно использовать и усовершенствование.

Так, если движение осуществляется несколько р---: в одном и том же направлении, то это почти наверняка

если П - число перемен направления движения, то

является предпочтительным алгоритмом изменения Ѳ

11.4.Наискорейший спуск

Видее пропорционального поиска есть одно слабое место, - после каждого шаге /хотя бы удачного и эффек­ тивного/ необходимо вычислять размеры и направление сле­

дующего шага, а это уже связано с дополнительными опы­ тами.

Чтобы преодолеть этот недостаток был предложен один из самых популярнейших и эффективнейших методов поиска - метод Наискорейшего спуска.

Его идея в принципе проста - не следует ничего вычис­ лять, а необходимо двигатюя в первоначально выбранном направлении до тех пор пока это приводит к увеличению целевой функции, и только после достижения её экстре­ мума поставить опыты в соседних точках, уточнить направ­ ление и снова как можно скорее двигаться к экстремуму.

По существу, задача многомерного поиска на этом докальном пути движения к экстремуму сразу превращается в одномерную: необходимо искать экстремум на намечен­ ной в пространстве прямой пинии.

Когда речь идет о многомерном объекте, то в качестве факторов используются самые различные величины, это может быть время /сек/ и температура /град/, концентра­ ции /г/см а / и т.п.

Поэтому, практически всёгда целесообразно переходить

Тогда все факторы будут изменяться только в пре­ делах йфі и не иметь размерностей, /кстати, некоторые алгоритмы например, адаптационные, расчитаны только на безразмерные факторы, изменяющиеся в пределах

Офі/.

Алгоритм наискорейшего спуска будет следующим В начальной точке пространства определяются каким-

либо способом частные производные по всем факторам

измеряется значение функции цели и сравнивается с пре­ дыдущим

достигнутой точке и движение продолжается. Окончится оно

но малым и обеспечить планов достижение частного эк­ стремума на выбранной линии.

11,6, Особенности градиента Градиент не является абсолютно неизменной характе­

ристикой свойств процесса. Его величина зависит от масштаба переменной.

Это печальное обстоятельство приводит к тому, что выбрав масштаб факторов, мы субъективно формируем свойства гиперповерхности и в определенной мере влияем на эффективность всей последующей работы.