книги из ГПНТБ / Козин В.З. Методы исследований в обогащении учеб. пособие
.pdfСреднеквадратичная ошибка’ определении и'звЛёчёпйн'
$ % =/(Л) ^ +(И Г ^ +^ )
= i^007ü8X' 0,5^-i- 0,d85aОІО'Л -jf* =
- УіО'^-А.5+iO-G' 26 +і£Г6-010Эі/ = /id'"6- stf, 5'24f ~
= 5,511-10-3= û.ooSS1) доли едишщы иди 0,554%.
Кстати этот пример наглядно показывает свойства формулы извлечения. Можно видеть, анализируя цифры под корнем, что ошибка в определении извлечения / в данном диапазонеd-,fi и ТУ / практически полностью опре деляется ошибкой определения содержания металла в хвостах. Погрешность в определений d~ сказывается' незначительно; а погрешность определения Jb ■ вообще не влияет на точность вычисления извлечения.
Р а з д е в У. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
5.І. Общая схема
Дисперсионный анализ является йш’ройО распространен
ным методом выявления влияния каких-либо факторов. Пусть имеется предположение, что на ошибки измерения влияют не только случайные ошибки, связанные с харак тером анализа, но и ошибки, связанные с квалификацией экспериментатора. Необходимо разделить эти ошибки.
С этой целью можно применить простейшуіо схему дис персионного анализа, которую и рассмотрим.
Несколько экспериментаторов /к |
/ выполняют по П |
|
опытов каждый. Результаты |
Цц |
заносятся в табли |
цу 5.1. |
* ^ |
|
Таблица 5.1 Обшая схема дисперсионного анализа
|
|
|
£ |
Номер |
|
|
Экспериментатор |
опыта |
1 |
п |
. . J . , - к |
і |
gu |
H i |
Уh |
L ? |
Ï U |
H * |
И** |
\1,
п•
п |
Ліп |
Н п |
у ь |
|
Суммы |
Yi |
Ун |
У і |
|
Общая сумма |
|
|
|
|
|
j |
* i , ï |
|
|
|
i |
~ i , Z ■ ■ п. |
для всех j |
одина |
В дальнейшем предполагаем ft |
||||
ковыми, т.е. n - tlj . |
|
|
|
|
Вычислим среднюю дисперсию отклонений результатов каждого экспериментатора от средних значений, получен ных этим экспериментатором
|
|
i |
f t y j - y j ) * ' |
|
|
|
-Jt |
2 |
п ~ 1 |
/5.1/ |
|
i t |
J |
||||
есть средняя дисперсия воспроиз |
|||||
Очевидно , |
^ |
- |
|||
водимости опытов |
“6^ |
~ Sg |
|
||
Найдем теперь средний квадрат отклонений средних значений, полученных каждым экспериментатором, от об
щей средней |
£ |
|
/5.2/' |
Как известно, дисперсия среднего оирсде |
-еі си \, |
||||
точностью |
Ù |
, тогда |
!L |
|
|
П |
|
|
|||
|
,Х |
„X |
$8 |
|
/5.3/ |
|
И |
= 5 эк |
п |
|
|
"де Л к |
- средний квадрат |
дисперсии, вносимый в |
|||
|
результат эк.спериыенатором. |
|
|||
Выражение для |
лучше записать так |
|
|||
|
п Л |
Ах |
is |
• |
/6.4/ |
|
=к 5эк + |
||||
Зная Si |
и |
легко найти |
4* |
|
|
о эк |
несколько |
||||
Следует указать, |
что чаще |
предпочитают |
|||
завуалированный прием определения дисперсий, связан ный с вычислением определенных сумм. Так как в боль
шинстве руководств |
приводятся |
готовые |
схемы, |
пока |
|||||||
жем, |
как они получаются, |
|
|
|
|
|
|||||
йтак^ |
|
|
_ \Ц |
А ■* |
X |
А |
п |
à п |
% |
||
1 |
i ( n - l ) |
|
|
|
t i n - і ) |
|
|||||
s |
|
|
|
|
|
|
_ î Î É |
k  |
i l |
||
|
|
|
|
t c j x - i ) |
|
|
|
|
* ( n - l j |
|
|
|
A |
n |
t |
2. y f |
|
|
|
|
|
|
|
, |
| T |
> |
t |
- |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A(n-i) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A |
J |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
- - |
|
|
~ X |
|
||
|
|
|
|
|
|
-X |
|
|
|
||
|
|
A-i |
|
f x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ffr - zAyx+ i f |
|
f |
ÿj |
- |
|
|
||||
|
|
|
A-i |
|
4 |
|
A-i |
|
|
||
|
Дг ■Ê YjX- i |
|
9 4 |
Л- |
A |
A n |
|
||||
|
|
|
- |
fit |
|
|
|||||
|
Л1, |
|
J |
J |
• f |
t |
|
|
|
||
- i |
A —i |
Огсгода
здесь |
'Yj - |
сумма данных |
в |
j |
-ом |
столбце. |
|
|
Из полученных формул следует, например, такая широко |
||||||||
распространенная форма дисперсионного анализа. |
|
|||||||
Найдем суммы |
|
|
|
|
|
|
||
_ |
А « |
< |
/сумма квадратов всех данных/ /5.ТЗ/ |
|||||
|
|
|
||||||
I |
M |
t• |
/сумма |
квадратов частных сумм/ /5.8/ |
||||
«■у |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
in . |
|
/квадрат |
суммы всех данных/ |
/5,7/ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем |
находят дисперсию воепроизводямостя |
|
||||||
|
|
|
= ~ Г с д “Л |
7 |
= |
|
|
^ а/ |
и смі.чнанплгю днсперсию |
|
|
|
|
|
|||
|
М 5* |
- |
= |
Sé |
+ п |
. |
/в.0/ |
|
Найденные таким образом дисперсии анализируются на значимость различия по критерию Фишера.
Получим основное уравнение дисперсионного анализа.
М о д р п ь . соответствующая рассматриваемой |
схеме диспер |
|
сионного анализа |
|
|
У Lj - f - |
S V |
/Б.10/ |
или |
|
|
( f o - W = ( ß i |
|
- f i ) ■ |
Истинные оценки J 1 |
и |
J*J |
|
нам неизвестны, |
а известны лишь статистики |
jf |
" |
8 J |
|
|
|
|
||
( j / t j - ÿ ) = ф - Ц ) + l 8 ‘j - р '>
Возведем равенство в квадрат и просуммируем no I и по j
+ n f C j j j - p i y t j - Ü j ) -
Последний член равенства можно представить так
^ |
~ f ^ ‘ ^ f |
( У ч |
~ У і ) J * |
Выражение в квадратных, скобках равно нулю при
любых j • Следовательно
f ? t o - 5>*-? f ( 3 r V * î f |
S J * |
*■"' |
|
Это о с н о в н о е |
у р а в н е н и е |
д и с |
|
п е р с и о н н о г о |
а н а л и з а . . |
|
|
Выше уже было показано, что необходимые суммы можно найти по формулам, которые являются рабочими.
Общая |
сумма |
|
|
|
£ « щ |
= jf |
? )$ ? } " |
■ |
>алз / |
Сумма , определяемая различием вариантов испытаний
/ваиример экспериментаторов и ошибкой воспроизводимос ти/
|
X |
* YJ |
/6.14/ |
|
|
ч % |
J |
||
Можно видеть, что |
что часто |
|||
$6 “ S оЬ'щ~ S оси |
||||
|
|
|||
ирпольауется.
Дпя получения дисперсий суммы делят на число степеней..свободы j-
|
|
/5-13/ |
t w |
i - H |
/6-w |
f t |
= л - і - ( t - l ) = і(пг і). |
лит/ |
Эта схема расчетов может быть распространена на лю бой вид дисперсионного анализа /см.пример анализа латин
ского квадрата/. |
|
% |
|
л, |
& |
|
может |
|
Затем из равенства |
io ta |
= Sé + |
ЭК |
|
||||
быть найдена |
дисперсия |
^ |
, вносимая в результат раз |
|||||
личной квалификацией экспериментаторов. |
|
|
||||||
6,2. |
Получение коэффициентов моделей |
|
|
|||||
Пусть необходимо получить |
|
|
|
|
|
|||
|
$ 4 |
=J L+ß -J |
+ ^ ч |
|
|
/5.18/ |
||
Найдем оценки j i j |
и j x |
; t j |
и |
ГП |
методом |
наимень— |
||
тих квадратов |
, |
, |
|
|
. X w |
п и п |
||
|
|
|
|
|
|
• " |
||
Возьмем частные производные |
по |
/.L |
и J,L j |
|
|
|||
H j i j ? |
= _ 2 -5 ( ÿ y ~ ß ~ ß i ) = a ■ |
Отсюда
|
|
~ |
f j ß - |
* |
|
; |
|
|
|
= f j - 1- |
+ |
|
|
|
|
Или, переходя к оценкам, |
|
|
|
||||
Y - |
j / ' т |
|
+* I n' .*; £ t : |
• |
|||
Y j |
= |
fij- m + rt^tj • |
|
||||
Так как |
|
= 0 |
» TU |
|
|
|
|
J |
J |
|
|
V |
; |
|
/5Л9/ |
|
|
m = — |
|
||||
|
|
|
|
Jv |
' |
|
|
, |
_ |
Yj |
|
_rj |
__ff |
/0.20/. |
|
r j |
" |
|
Mj |
|
~ % j |
d ' |
|
5.3. Рандомизированное блочное планирование.
Если экспериментаторы работают на разных /хотя и
однотипных/ аппаратах, например А и В,-С и Д, может возникнуть подозрение, что разница в результатах зави сит не только от них, но и от свойств аппарата. Пусті необходимо выявить и это различие.
В этом случае целесообразна назвать группу аппара тов А В С и Д блоком и дать выполнить каждому экспе риментатору работу на полном блоке, рандомизируя лишь порядок аппаратов в блоке.
L |
П |
Ш |
1У |
В |
|
А |
с |
п |
с |
В |
д |
А |
в |
д |
В |
Д |
А |
с |
Л |
іаьое планирование позволяет получить модель в виде
УЧ |
+ |
+ |
• |
/6.21/ |
Условии и результаты эксперимента записывают в
виде такой табішды |
|
|
|
||||
|
|
|
|
А |
В |
С |
Д |
|
|
î |
|
А |
ä 1* |
а*11, |
|
|
|
П |
|
||||
|
|
|
Ï«* |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
in |
V |
, |
|
|
|
|
1У |
|
. |
|
|
У*» |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vj |
|
Уа |
YB |
YC |
||
Теперь |
S A |
у / |
» |
|
* |
||
1te гко |
подсчитываем |
||||||
5 о&й |
|
|
|
|
х л . |
|
|
|
|
i t |
л |
» |
|
||
Ь ОСИП = |
ж |
I t |
|
, |
|||
|
|
J |
|
H |
У/ |
|
? |
с |
= |
2 |
i t |
. I T |
|
||
<Ь ЭК |
у / |
|
» |
||||
|
|
£ |
|
h |
|
||
S i |
- |
5 .oSutf ~ |
<S ann |
~~ |
|||
Дели суммы квадратов на
средние квадраты, применяя проверяем и.к значимость.
Уі.
ÏI X*
*г |
х* |
|
|
Y* |
г і |
|
|
і__Уй |
|
XE# |
|
T . |
|
|
|
?і і Х |
/ |
|
|
Число степеней |
|||
|
свободы |
|
|
іб |
= |
У ~ і |
; |
з |
= |
&~і |
; |
з |
* |
п - і |
: |
Б.4. Латинские, квадраты
. П ----
В более сложных ситуациях, применяют бонее сложные пианы. Яркими представителями этих планов являются латинские квадраты. Например, необходимо испытать че тыре реагента в четырех типах флотомашин с четырьмя уровнями дозировки реагента. Тогда используется план
Тип |
флотомашины |
|
|
||
Коничество |
|
L |
|
|
|
і |
2 |
3 |
4 |
||
реагента |
|||||
|
|
|
|
||
1 |
с |
■Д |
А |
В |
|
П |
в |
С |
Д |
А |
|
Ш |
А . |
в |
С |
Д |
|
1У |
Д |
А |
в |
С |
|
Типы реагентов А, В, С и Д. £ — .
Рандомизация заключается в том, что латинский квад рат берется случайный. Но квадрат построен так, что каждый тип реагента встречается с каждым типом флото машины и на каждом уровне.
Латинским квадрат называется потому, что для обоз начения условий /типа реагентов/ использованы латинские буквы.
Если необходимо включить в изучение еще дополни тель ный фактор, например, время измельчения на четырех уров нях, то' на латанский квадрат следует наложить ортогональ ный квадрат из греческих букв. В итоге будет нонучен греко-латинский квадрат. Его особенность также заключа ется в том, что в план испытания включены по одному разу. всевозможные ситуации.
Пример греко-латинского квадрата
К о ли ч е с тв о |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
р е а ген та |
А t |
|
s- |
|
|
|
1 |
в |
С |
сС |
aß |
||
п |
с |
д |
г |
Aß |
В d- |
|
ш |
Bß |
А оС |
д |
£ |
С І |
|
1У |
Д <*- |
Cß |
В К |
hS |
||
Такой план очень экономичен и позволяет на первых
этапах исслецованип проверить большое количество вариан тов, выбрать наилучшее сочетание и продолжить его иссле
дование |
более тонкими методами. |
|
|||
Для |
справки приведем квадрат |
5 x 5 |
|||
|
АcL |
Bß |
C Tf |
a# E fi |
|
|
в<Р |
cs |
a* |
Eß A 1 |
|
|
c ß |
a t |
E & |
AS, |
Boi |
|
as |
E |
Aß |
В К C S’ |
|
|
Е г |
A S' |
B£, |
Cot |
д P |
Результаты опытов, поставленных по схеме латинского
квадрата можно выразить линейной моделью |
|
Tfijk ~ J 1 +J Lj + &i-+C l + $Ljk . |
/5.22/ |
Расчеты ведутся так же, как было уже указано в слу чае блочного плана , а именно подсчитываются суммы квадратов для каждого из эффектов и для ошибки /по раз^ ниде общей суммы квадратов и выделенных сумм/, затем переходят к дисперсиям и с помощью критерия Фишера оценивают их значимость по отношению к Дисперсии ошиб ки.
Таким же образомі могут быть построены и проанали зированы не рассматриваемые здесь латинские кубы и прямоугольники.