книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

Будем предполагать, что функция интенсивности

R, (t)

помехи

в обратной связи известна; функция интенсивности

Q (t)

ошибки

компенсации неизвестна,

причем

задана ее аналитическая

струк­

тура,

содержащая неизвестные

параметры.

В

начальный момент

работы

системы

управления при t = О

известны априорные значения начальных

данных

(V.23)

КУ

w

цвм2

и

ио

ЦВМ,

ОС

Рис. 10. Цифровой комплекс

по выработке угла

рыскания:

КУ — корректирующее

устройство; ИО — исполнительный орган; ОС — звено

обрат­

ной связи; ЦВМХ

— управляющая

ЦВМ по выработке сигнала

компенсации; ЦВМ, —

управляющая

ЦВМ по выработке

закона

управления

углом рыскания

Требуется

построить

управление

и = и (ф (I), I), так, чтобы

минимизировать

функционал

г

(V.24)

I = JM№(t)-f(t)]*dt,

о

где / (t) — известная функция,

характеризующая заданный

угол

рыскания.

,

t

(V.25)

W(t)

=

\w(s)dst

о

имеющий независимые приращения.

Моменты распределения

процесса

W (/) равны MW (t) = 0;

при 1г

t2

" Ks

(h, tt) = MW ((,) W (/,) = MW- (tx) =

I,

I,

I,

= \\MW(s)W

(Sl)

ds dSl =

\Q (s) ds =

0

0

0

Проверим гипотезу Нг:

bL = bn,

где Ьп^Тг

Поскольку

процесс W (t) по условию

нормально

распределен,

то и процесс

делен; если к тому

же приращения zt = W (t£) — W ( t ^ J

(i = 1, т) нормально

распределены, то статистики vL нормально

т + 1 из генеральной совокупности,

отвечающей

некоторой нор­

мально

распределенной

величиной

и,

моменты

распределения

которой

равны

Mv =

0,

(,

ol =

Mz\ = M[W (*,) — W (О)]2

=

j [bns + 5„s2 ]« ds + Q0tu

если только верна гипотеза Я .

о

Отсюда следует, что

для проверки

гипотезы

Я достаточно

Таким образом, область принятия

гипотезы

равна

т

C i < - f T l > 2

< c 2 ,

- (V.27)

где постоянные сх, с.г

определяются согласно условию (11.50).

Так как значение Mv

= 0 истинно и гипотезой

Я не проверя­

ется, то отсюда следует, что при заданном числе т +

1, определяю­

щем количество выборочных значений статистики

vlt число а,

функции

интенсивности Q (t). Для этого зададим последователь­

ность чисел

а 1 > а 2 > . . . ,

(V.28)

где а,- —

уровень значимости гипотезы Я на i-м

шаге. Каждому

числу ас

при некотором числе наблюдений mi +

1, соответствую­

три

числа с0 .,

с и ,

с и ,

где

cQC

определяется

формулой

(11.46),

с п ,

с[2—

формулой

(11.50).

Пусть взято число ах.

Если при данном значении /п, и числе

сох

условие

(11.48)

не

выполняется, то

проверяется

условие

(V.27).

Если условие (V.27) выполнено, то гипотеза Я считается истин­

ной

и значение

функции интенсивности

Q (t)

имеет

параметры

Ъ\ =

Ь1Ъ

Ь2

=

Ьгх.

Пусть

для

определенности массив R^,,

со­

держащий

тх

+

1

значений

процесса W

(t),

получен

на

проме­

жутке времени

[0,

Тх].

Так

как

предполагается, что

априорное

значение функции

интенсивности

известно и равно Q (t) =

Q0

(t),

жутке времени, равном

[0, Тх\,

будем полагать значение функции

интенсивности равным

Q (t) =

Q0 (t).

Начиная с момента

вре­

мени Тх будем считать,

что в функции

интенсивности Q (i)

пара­

метры равны

Ьх

— b l l t

Ь2 =

Ь%х.

Если условие

(V.27)

не выполняется, то. гипотеза Я

неверна;

переходим к

проверке

новой

гипотезы Я: bt = bl2,

Ь( -2 6Г,--

параметров

bx,

Ь% с большей точностью, при этом массив стати­

стических данных рассматривается

на отрезке времени [0,

Г 2 ] ,

где Тг

5> Тх,

т. е. массив R^, содержит все множество данных о про­

цессе

W (t),

поступивших в ЦВМ2

к моменту выбора числа

а 2 .

Определение

величины минимального объема массива

Rw,

А (О LY

(0 -(- Ь (t) и (t) = X (t),

16 Т,

(V.29)

Формирование

Увеличение

массива

Rw

массива

Rw

Задание последова­

Условие (11.48)

тельности

(V.28)

не

выполнено

Получение

чисел

Проверка

условий (11.48)

Условие (11.481

Задание гипотез

Hi

выполнено

Проверка условий

Выдача

команды

на

формирование закона

(11.50)

управления

Условие

(11.50)

Условие (11.50)

Гипотеза Н

не

выполнено

выполнено

верна

Рис. 11. Блок-схема проверки

гипотез

и построения закона

управления

где A (f)

—

(n +

1)-мерная

матрица-строка

А ( 0 =

(Лд (/), An_x(t),

....

A0(t)),

в которой Аг (t)

(1 =

0,

1,

/г) — известные

непрерывные

на Т

функции;

L F (t)

— (п

+ 1)-мерная

матрица-столбец

Кх (1и /,) -

MX(t)

=

mx(t),

)\

(V

sot

М [X &)

- тх

&)|• [X (L) - тх

(t2)\ |

1 '

;

содержат

неизвестные

параметры.

Уравнение (V.29) имеет нулевые начальные данные, причем

при

t

= 0

известны

априорные

значения

моментов

т.Л0) = тх0,

Кхф,0)

=

КхО.

Требуется построить управление и (/) так, чтобы максимизи­

ровать

следующую

вероятность:

/ (

w

f T ^ P I c ^ F f r x ^ ) ,

(V.31)

где

с ъ

с2

— заданные

числа.

Управление системой при

известных

моментах

распределения

t

Y

(t) =

f В (t,

s) [ -

b (s) a (s) +

X (s)] ds.

(V.32)

Отсюда

б

MY

(t)

=\B(t,s)'[-b

(s) и (s) +

mx (s)] ds,

(V.33)

о

i\

КУ{1Ъ^)

=

М\В(tlt

S l ) [ X ( S l ) - m x ( s , ) } d s , X

о

X j В (t2, s2) [X (s2) — mx (s2)] ds2 =

0

=

J J В (tlt

Sl) В (t2, s2) Kx (S l ,

s2) dsx ds2.

(V.34)

о 0

ходного процесса не зависит от управления.

Введем

следующие обозначения:

г т

}

J В (Т, Sl)

В (Т, s2)Kx (su s2) dSl ds2 =

A (T),

о 0 т

T

s) [b (s) и (s) — mx (s)] ds =

a (T).

} В (T,

1

Со

(V.35)

I(u{T))=y=A~~*(T)le-A-1iT)iv

+ a{T)feiy.

Пусть •—с± = с 2 ,

тогда функционал (V.35) будет максимален,

если минимальным

будет интеграл

т

\

В(Т, s) [b(s)и(s)ds

— tn,(s)] ds

(V.36)

\В(Т, s)mx{s)ds

=

myl(T)>0,

u(s) = —sign В

(T,s)b(s).

3. Если

(Т) > О,

г

и (0 = sign В (Т, t)b

(t),

/ею,

Л

для / 6

I T * , ' Т ]

движение является

автономным, u.(f) = 0.

Здесь

Т* есть

наименьшее значение t,

при котором

t

\\B(T,s)b(s)\ds

=

myl(T).

-

о

4. Если mei (Т)

< 0 ,

г

}|В(Т, 8)Ь(8)\й8 +

,Пиг(Т)>0,

жество;

возьмем,

например,

управление

« (0 = - s i g n В (Г, о 6 (0,

<€10,

Л

для £ £

Г1 движение системы является автономным, и (t) = 0.

Здесь

Т*

есть

наименьшее значение

t, при

котором

t

\В\(Т,

s)b(s)\ds

+ myl(T)

=

0.

о

5. Если пгу1 (Т) = 0, тогда движение объекта является авто­

номным

для

t£

[0,

Т],

т. е.

и

(t) = 0.

Пусть теперь

с ъ

с 2

—

любые

числа,

тогда

вероятность

(V.35)

будет максимальна,

если

минимальным

будет

интеграл

т

(V.37)

J В (Т, s) [Ьх (s) и (s) -

m , (s)] ds -

i * ± ^

Введем функцию

туг (Т) =

\В

(Т,

s) mx (s) ds +

.

равное

Т, в

ЦВМ

образуется

массив статистических

данных

Rx = IX

(t0),

X (tj),

. . ., X (tm)],

с помощью которого

следует

входящих в моменты распределения mx (t),

Кх

h)-

Если X (t) — стационарный случайный

процесс,

обладающий

свойством

эргодичности,

тогда, применяя

методы,

изложенные

в п. 6, определим по массиву Rx

неизвестные

параметры,

входя­

щие

в

моменты

распределения

MX

(t)

=

тх,

Кх (t^ t2) —

— Кх

( ^ i — t2). Если X

(t) — процесс с независимыми

прираще­

ниями, тогда, используя

результаты

п. 8 по массиву Rx,

определим

неизвестные

параметры,

входящие

в

моменты распределения

MX

(f) =

тх

(t),

Кх

t2) = Кх

(min (tu

t2),

m i n (tlt

t2)).

Если

ции 1{х

(tlt i2) только к моменту времени, равному

Т.

Для

последовательного оценивания неизвестных

параметров

шаге

дискретности

необходимо

определить:

1)

минимальный объем данных

Rv , с которого следует начать

уточнение

неизвестных

параметров;

2)

моменты времени, в которые следует производить последо­

вательное

уточнение

неизвестных

параметров.^

Обозначим через

10,

7\] — 7\

отрезок времени, за которое

неизвестных параметров в момент времени, равный Tlt

предпола­

гает обработку

массива статистических

данных

Rv , полученного

за отрезок

времени,

равный

[0,

Тс].

Моменты

времени удовлет­

воряют

неравенству

о < г 1 < г 2 < . . . < г л ^ г .

Дадим определение моментов времени Т, (i

= 1, п)

в

зависи­

мости

от

свойств

процесса

x(t).

1.

Пусть X

(t)

—

стационарный процесс с нормальным законом

распределения,

обладающий

свойством

эргодичности.

Для выбора момента времени Тх

в ЦВМ вычислим

интегралы

г,

?\x(t)

dt=%n,

* о

(V.38)

Л

X(t)dt=l12.

1 т

В

качестве

статистических оценок

для моментов

пгх,

Кх (0)

на отрезке

[0,

Тг]

возьмем

соответственно интегралы

± \ X(t)dt

=

mxU

(V.39)

^\[X(t)-mxX]2dt

= vx

1 n

Образуем

статистику

%2 =

- V

[(hi -

^.vi)2 + (Ы -

tnxi)2].

(V.40)

Поставим

гипотезу

Я х :

\ х х , | 1 2 — н е з а в и с и м ы .

Если

гипо­

теза Нх

верна, то

статистики

(V.40) имеют

распределение хи-

квадрат с одной степенью свободы. Зададим

число р : , характе­

ризующее

уровень

значимости

гипотезы

Нх.

Определим

число

Тх таким, чтобы гипотеза

Нх

была верна.

Такое Тх

всегда

най­

дополнительное

ограничение

ТХ<^Т.

Выбирать значение р\

следует таким,

при котором ограничение имеет место. Дан­

ное значение Тх

соответствует

тому

моменту времени, начиная

вим значение

Г 2 вместо Г л в интегралы (V.38),

(V.39), затем

со­

ставим

статистику (V.40). Поставим гипотезу

Я 2

: случайные

ве­

личины ё 2 1 ,

£ 2 2 — независимы, где

£ 2 1 , | 2 2

соответствуют

зна­

чениям

полученным по формуле (V.38) путем замены Тх на

Т2.

Зададим число р\, характеризующее уровень значимости ги­

потезы

Но. Выберем такое число Г 2 ,

при котором гипотеза

Я 2

верна

и выполняется ограничение ТХ<СТ2<СТ.

Определенное

таким

образом значение Т2 соответствует следующему после

Тх

моменту уточнения значения математического

ожидания MX

(I).