книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

Алгоритм экстраполяции статистических данных достаточно прост. Экстраполяция данных процесса X , (t) на одинтлаг состав­

необходимо увеличить в 3 раза среднее время обработки коорди­ наты Хг {t}.

8. ОЦЕНИВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОМЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, ИМЕЮЩИХ НЕУБЫВАЮЩУЮ ДИСПЕРСИЮ

Постановка задачи. Как отмечалось в п. 2, процессы с незави­ симыми приращениями и мартингалы имеют неубывающую дис­

ставляет собой либо случайный процесс с независимыми прира­

фикации неизвестных параметров, входящих в моменты распре­ деления процесса xt (t) (i — 1, I);

ипредъявляющие к памяти ЦВМ минимальные требования. Нужно отметить, что процесс Хс (t), являющийся мартинга­

60

Требования, предъявляемые к памяти ЦВМ, будут минималь­ ными, если алгоритмы оценивания допускают последовательную обработку массивов.

Метод оценивания с применением неравенства Чебышева. Рас­ смотрим одномерный процесс X (t), представляющий собой лю­

Условие (П.ЗЗ) означает, что известно максимальное значение реализации процесса \Х (t)\ или оценка сверху за время Т.

Аналитическая структура моментов распределения процесса содержит неизвестные параметры размерности k и р соответственно для математического ожидания mx (t) и корреляционной функции Кх (t, t). Обозначим п = max (k, р). Зафиксируем временную последовательность

номер члена данной последовательности, причем число г выби­ рается максимальным из всех чисел, которые удовлетворяют не­ равенству

В силу того, что процесс X (t) имеет независимые приращения, случайные величины z„, z£- (t = 1, m) взаимно независимы.

Составим статистики

61

- Рассмотрим две группы статистик щг и щг, соответствующие значениям s = 1 и s = 2. Возьмем любое е > 0, тогда в силу неравенства Чебышева

где Р — вероятность события, указанного в фигурных скобках; Duu — дисперсия величины и]г,

В силу неравенства (11.33) имеем следующие оценки:

Mzf < 4 V S .

Отсюда следует, что

т2°с4

т. е. с увеличением г значения е2 уменьшаются. Предположим, что число г выбрано столь большим, что max {е^ e3 j- ^ е3 . Тогда соотношение (11.39) заменится следующим

Р{\и\г-Ми\г\<г}^\-г,

т. е. с вероятностью большей или равной 1 — е

\uir — Mulr\<e, \и]г— Ми]г\ < е.

Учитывая, что Muir — 0, составим функционал

Определим момент M u 2 r . В силу равенства (11.40) достаточно определить величину дисперсии DzL. Имеем:

62

ность в определении параметров, входящих в моменты распреде­

чит либо допустимая точность в определении параметров q, q завышена, либо число точек т , входящих в последовательность (11.34), мало. В этом случае следует или уменьшить допустимую точность, или увеличить время наблюдения, т. е. увеличить либо е, либо число т.

Необходимо отметить следующее.

1. Имеет место простое соотношение между числом т, которое характеризует количество взятых для обработки дискретных наблюдений над процессом X (0 за время Т, и числом п, значение

которого равно наибольшей размерности между параметрами q, q.

Действительно, при построении статистик uir (i = 1, N) ис­ пользовалось условие ns^N. Совместно с неравенством • (11.36) имеем

п {г + 1 ) < N (г + 1 ) < m + 1.

Вместе с тем, выбор числа m определяет величину шага дискрет­ ности, с которой следует формировать массив статистических дан­ ных R. Других ограничений снизу на число пг нет.

63

2. Если моменты MX (0), MX- (0) неизвестны, то математиче­ ское ожидание и корреляционная функция процесса X (t) опре­ деляются с точностью до постоянного значения.

Алгоритм оценивания математического ожидания и корреля­ ционной функции процесса X (t) при последовательной обработке

Т\-\ <± t\\ < t\a < • • • < t%m <С Тх.

При этом массив для одномерной координаты наблюдаемого про­

Данные последовательности в силу своего построения не пере­ секаются ни внутри массива, ни между массивами.

1)X (t) — нормально распределен.

2)X (I) является либо процессом с независимыми прираще­ ниями, либо мартингалом.

3)Даны дискретные множества Г и Г, содержащие конечное число известных параметров размерностей k и р соответственно.

Известно, что q £ Г, q £ Г.

64

Задача обработки статистических данных R состоит в том, чтобы определить, какое именно значение из множества Г прини­

моменты времени tt взяты из последовательности (11.34), то про­ цесс X (t) имеет независимые приращения. Поэтому идентифика­ цию параметров q, q достаточно провести только для процессов, имеющих независимые приращения.

Для идентификации параметров q, q рассмотрим последова- . тельность моментов времени (11.34); по формуле (11.37) образуем последовательность случайных величин z0 , zL (i = 1, т). Составим статистики

Значения vt (i = О, 1, т) образуют независимую выборку объема т + 1, полученную из генеральной совокупности, отве­ чающей случайной величине и, которая имеет нормальный закон распределения с параметрами Mv = 0, oi = Mv2 — Mz\, т. е. «€ N (0, ст„).

Поставим гипотезу Я : q = q 0 ) q = q 0 . Данная гипотеза экви­ валентна условию, состоящему в том, что при значениях пара­ метров q„, q„ выборочные значения vt (i = 0, 1, т) взяты из

N (0, а0).

Используем следующий результат [17].

Пусть у — случайная величина, имеющая нормальный закон распределения, у которой математическое ожидание~/Иг/ и дис­

значение выборочного среднего. Тогда длягипотезы My = 0 критическая область уровня а

где постоянная с0 определяется из условия

Здесь Xm (у) плотность распределения хи-квадрат с т степенями свободы.

Для аи = Оо область принятия гипотезы

Применим этот результат к проверке гипотезы Я . Тогда для гипотезы Mv = 0 критическая область уровня а

66

ритм обработки включается дополнительно и алгоритм определе­

полняется, то гипотеза Н отвергается. Если условие (2.48) не вы­ полняется, то проверяется условие (11.49). Если оно выполняется, то гипотеза Я считается истинной.

Обычно при выборе а берут одно из стандартных значений та­ ких, как 0,005, 0,01, 0,05.

Оценивание неизвестных параметров с помощью метода макси­ мального правдоподобия. Пусть X (t) — одномерный процесс, представляющий собой любую координату процесса X (/). Де­ лаются следующие предположения:

1)X (/) — нормально распределен;

2)X (t) является либо процессом с независимыми прираще­ ниями, либо мартингалом.

Для оценки неизвестных параметров, входящих в моменты распределения процесса X (f), поступим следующим образом.

Возьмем случайные величины z 0 l , zt (i = 1, т)\ они незави­ симы и нормально распределены. Рассмотрим плотность вероят­ ности события

Она равна

т

/=о

где

В качестве значений us возьмем выборочные значения и; = z-r Найдем частные производные

dlnL дЫЬ dqr --dqs

(Г = 1, k\ S—1, р),

68

Согласно методу максимального правдоподобия оценки для неизвестных параметров определяются из условия обращения в ноль частных производных. Составим функционал

р

Найдем минимальное значение функционала У 2 по всем зна­ чениям неизвестных параметров, взятым из области допустимых

ных параметров снизить нельзя. Тогда необходимо увеличить число точек массива R, т. е. увеличить число т.

Однако следует отметить, что метод максимального правдо­ подобия может и не привести с увеличением числа /п к более точ­ ному оцениванию. Как отмечается в [ 9 ] , оценки, получаемые по методу максимального правдоподобия, могут быть даже смещены.

Алгоритм не обладает свойством аддитивности относительно обработки статистических данных, входящих в массивы R^, и предъявляет к- памяти ЦВМ жесткие требования. Реализация алгоритма в случае, когда объем памяти ЦВМ не достаточен для хранения всего массива R, осуществляется с помощью составных решений (см. п. 5).

Об оценке моментов распределения процессов, являющихся мартингалами. Как уже отмечалось, если X (t) — мартингал с нор­ мальным законом распределения, то обработка данных процесса X (f) при условии, что разности распределены нормально, про­ водится так же, как и для процессов с независимыми прираще­

где и — некоторый вспомогательный аргумент.

69