книги из ГПНТБ / Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ

М | dX

(со) |2 = sy

(со) dco,

где

Sy (со) — спектральная

плотность

процесса.

Интеграл (11.51) представляет собой спектральное представле­

ние

стационарного

случайного процесса.

Вычислим момент

УИ I X (со + Асо) — X (со) Р

= MX'2

(со +

Лео) —

MX2

(со) =

= /С, (со +

Асо, со +

Асо) —

Кх (со, со).

(11.52)

Из условия (11.52) следует, что для дифференцируемой функции

К'Л®,

(о) = 5„(ш).

(11.53)

Так как по условию для функции Кх (tx,

t2) задана ее анали­

тическая структура,

то из

условия (11.53) следует,

что

известна

лизации процесса Y (и) и произведя обработку данных стационар­

ного процесса Y (и) так, как это указано в п. 6, получим оценки

для неизвестных

параметров спектральной

плотности

sy (со).

Используя

условие

(11.53)

и тот факт,

что

при t = 0 известны

значения

MX

(0),

MX2

(0),

определим

корреляционную

функ­

цию Кх ( М 1 ©)•

Оценка взаимной корреляционной функции. Рассмотрим любые

две координаты

X,- (/), Х у

(t)

процесса X

(t). Допустим, что ХД(/),

z0 = Xi(tQ)—mi

(*„),

zk

=

X , (4) -

Xt . (4_х) -

mt

(4) +

mt (4_i),

Чи =

Уi & ) -

Уi Vk-i) -

,nj

(tk) +

m, (4_i).

Тогда для

любого момента времени

tk

стим, что zs,

у5

зависимы

между

собой,

a zs,

ур

при s =h р —

взаимно

независимы.

Тогда

Mzsyp = MzsMyp

=

О,

Ku(tk, tn)

=

Ku{mm{tk,

tn),

min(ff t >

tn)).

Для

оценки

функции

Кц (tlt

t2)

следует

взять статистики,

аналогичные

(11.38),

а

именно:

• • • - f - Z ( r - H ) ЛГ-1

Л Л - l ] .

Аналитическая структура корреляционной функции Кц (t, t)

определяется так, как-указано в п. 2, с использованием

канони­

ческого

разложения процессов с независимыми приращениями.

Пример.

Рассмотрим определение параметров, входящих в мо­

менты распределения случайного процесса X (/), имеющего незави­

симые приращения,

с

помощью

массива

статистических

данных

R

= (X (tx),

. . .,

X

(tm)).

Точки

tt

равномерно

распределим на

промежутке

Т =

[О,

Т].

Аналитическая структура математического ожидания дается

отрезком

степенного

ряда

/п( (0

=

2 > / >

'(П.54)

где k — фиксированное

число;

1=0

(i = 0,

1,

k) —

неизвестные

ai

коэффициенты.

i

Разложение

(11.54)

является

частным

случаем

разложения

(1.14).

Аналитическую структуру корреляционной функции пред­

ставим одним

из

следующих видов:

min (s, t)

0),

Kx(s,

t)

=

j

%Ьтчт(и)

du

+

Kx(0,

(11.55)

0

\m=l

Kx (s, 0 =

p

min (s, О

(0,

0),

2

bl

J

<f2m (u)du

+

Kx

.

(П.56)

где cpm (и) известная система функций на

Т;

bm

(k =

1,

р)

— не­

известные параметры.

В качестве

функций

cpm (и) можно взять, например, ортого­

нальные

полиномы

Чебышева,

полиномы

Якоби, если от

проме-

и =-jrt—

1 перейти к промежутку

обработки, равному [ — 1 ,

1 ] .

Неизвестные

параметры моментов

распределения

есть

q =

(«о,

аъ

а^),

q = Фи

Ь2,

Ьр).

Область

допустимого

изменения

параметров: —оо

< я(. <

со,

—оо < Ьт

< оо

(t = 0 ,

1, (k—

1 ) ;

tn =

1, р).

Метод

оценивания

с

применением

неравенства

Чебышева.

Пусть

п — max (р,

k) — 10 . Так как

постоянная

с,

входящая

в неравенство

(11.33),

определяется

заранее, то

для

статистик

щг,

uir

имеем оценку

дисперсии

Dllir:

4 2 С 2

r+

1

DuJr

=

2 8

с 4

Из

данных

неравенств определяется порядок величины г. Если

| с\. <

0 , 5 ,

то

Z 3 « / r < 7 ^ T '

д " ^ < т ^ г -

Из условия

N ^

п и неравенства

(11.36)

определим порядок

вели­

чины N . Возьмем г =

1 0 , JV = 5 0 .

Вычислим статистики и\г по формуле

(11.38).

их

мини­

Составим функционалы ( 1 1 . 4 1 ) ,

( 1 1 . 4 2 )

и определим

мальное значение.

Если

минимальное

значение

удовлетворяет

q = q o € f .

q = q o € r ,

где f , f — заданные конечные

множества.

\ / 1 0 0 0 )

\ V юоо )

которые дают значения с 2 = 547,5; сг — 476.

Составим статистики (11.45). Вычислим значения с0,

clt с2.

Проверим выполнение условий (11.48), (11.49), с помощью

которых

примем или отвергнем значения q = q„, q = q 0 .

элементов

являются:

1)

систематическая ошибка акселерометра; она не зависит от

времени

работы

системы;

2)

ошибки из-за научета нелинейности акселерометра;

3)

постоянный

дрейф гироскопа;

4)

начальное отклонение по уровню платформы;

5)

помехи на входе акселерометра, характеризующиеся рядом

ряющие ускорение

объекта управления, вызванные действием

сил сопротивления

при перемещении объекта в пространстве.

Обозначим

через

a (t) любой из сигналов ах

(f), ау (t), az

(t).

Относительно

вероятностных свойств сигнала a (t) сделаем одно

из следующих

предположений.

1. Сигнал

a (t) —

Ma (t), где Ma (t) означает математическое

ожидание, является

стационарным процессом

[33], причем

его

корреляционная функция

/Га (т).= С е - в | т | .

(11.57)

Ка (t,

t)

=

kt,

(11.58)

где k — постоянная величина,

k

>

0.

Рис. 7. Поступление сигналов от

акселерометров на обработку в управляю­

щую

ЦВМ:

Д\. Л г, Дз

—

акселерометры

t

t)^\[b0

+ blUfdu

+ Ka(0, 0)

(11.59)

о

ние основано на том, что процессы с независимыми

приращениями

имеют

неубывающую дисперсию.

Возникает, естественно, вопрос, какому из сделанных предпо­

ложений относительно вероятностных свойств

процесса a (t)

отдать

предпочтение. Ответ

может дать лишь обработка статисти­

ческих

данных о процессе

a (t).

сигнал

a (t)

составляет массив

статистических

данных Ra =

= (a (tj,

. .

., a (tm)). Допустим

также, что a (t)

является стацио­

N

А (

ТА

12

(11.60)

где

Тх— время поступления массива

R^ (к =

1, А),

при после­

довательной обработке статистических

данных

в ЦВМ |J R?. =

=

Ra; T n — точки,

взятые на

интервале корреляции

процесса

a

(t);

N — общее

число

точек

т„.

Допустим, что

сигнал

a (t)

имеет независимые приращения и

Омь 0ы2 максимальные значения дисперсии процесса a (t)

за время

работы системы,

равное

соответственно

Т

-у- и

Т.

Имеем

т

т

J [bo +

biufdu

==£ J [fig -{- 21 b0bi

I и +

ЬЩ du <

-

о

0

T (fi0

+ b j ' f при £>0 3s0,

fi^O.

Обозначим

б 2 и / =

< & - * «

(0,

0)

(1=1,

2).

Отсюда получаем

- Y - f

^ ^ +

^

-

i

- ^ Y

-

r 8

^

. (п.61)

- Y - T ^ b ' + w ^ Y - r 6

" * -

( I I - 6 2 )

Из неравенств (11.61), (11.62) определим допустимые области

для значений параметров b0,

b v

При этом,

выбрав

шаг

дискрет­

нивания используем значение

функционала

(11.42)

при

т =

= MX

(0), bt

= ~bt (i — 0, 1). Пусть

при этом значение функцио­

нала

равно

Vi2.

.Если значения функционалов V12,

V2 2 >

г Д е

функционал

V 1 2

определяется

формулой (11.60),

таковы, что

У 2

2 > Vi2,

тогда на

ступим

следующим образом.

Допустим, что статистической связью между сигналами

ах (t),

ау (t),

аг (t) можно пренебречь и считать их независимыми.

Тогда

А именно, в каждый момент t

вычислим величину

дисперсии

по

каждому каналу и определим их сумму. Пусть

*«(*!, h) + Ka,(h,

tS+КаЛ*!,

(".

63)

Тогда команда

«Коррекция» в момент времени,

равный tl t

не выдается. Если

в момент времени tx имеет место

неравенство,

алгоритмов

обработки

вопрос

об объеме памяти ЦВМ не является

основным.

Дадим

оценку

среднего

времени

решения.

Время,

- необходимое

для обработки массива статистических данных Ra ,

при условии, что процесс a (t) стационарен,-определяется

данными

табл. 2. Оценим среднее время, необходимое

для идентификации

параметров

Ь0, Ьл

корреляционной функции

(П.59) при

проверке

гипотезы b;

= bt

(i

=

0,

1), в случае, когда

процесс a

(t) имеет

независимые

приращения.

От массива чисел

Rn перейдем к новому массиву чисел, состав­

ленному из разностей (11.37) (табл. 3).

Таблица 3.

Оценка

среднего времени, необходимого для

проверки

гипотезы

Количество

операций

Среднее

Вычисления

время

сложений

умножений

делений

10" 3 с

Л

л

500

—

—

30

500

500

—

155

Проверка

условий

2

2

1

0,8

(11.48)

Проверка

условий

2

—

2

0,7

(11.49)

ством

эргодичности. Здесь 0 = ( 0 Ь . . ., Qk) —

точка /г-мерного

пространства в . Предполагается, что поля Xt

(0), X,- (в) (i =/=

=h j) —

независимы.

М [X, (9Х) - т,] [Xt

(92 ) _

т , ] = Ки (01 2 ),

где 9 1

2 =

|вх — 9 2 j — длина вектора

0 г — 6 2 .

Таким

образом, известны:

1)

значения поля X (Э„) (п =

1, т)\

2)

аналитическая структура корреляционных функций Кц (0i2 ).

Требуется оценить параметры т д . ,

q- и тем самым определить

моменты распределения поля X (0).

Оценивание моментов распределения поля с помощью перехода

R , „ = ( y ( ( 6 ; ) ,

. . . . Yiib'r)).

(П.66)

Здесь

Yi{b's) = Xt{bs,

6,,2,

0,l A ) ( s = l T 7 ) .

оценки получены в результате обработки процесса, значения

кото­

рого зависят от первой координаты точки 0.

Аналогичную процедуру проделаем для второй, третьей и т. д.

вплоть до k-й координаты точки 6.

В результате получим последовательности оценок

т'а,

m-2,

.. •,

mik,

(11.67)

_<7п»

як

• • • > Я*1к-

(П.68)

Последовательности

(11.67), (11.68) состоят из случайных

вели­

чин и имеют в силу однородности

и изотропности поля X (6) оди­

наковое распределение.

Выборочные

средние

—*

I

v

'

—*

1

р

»

Qi =

-г

L

9ч

Постановка задачи. Пусть X

(t, 0) =

(Хх (t, 0), . . ., Xt

(t, 0) —

измеряемая координата системы управления

за время Т,

причем

N

Т = S Т.,

Т, -

[(i —

1) Т*,

iT%

Т* > 0;

i = i

X; (t, 0) — случайное

поле; t

6 Т, 0

= '(0 Х )

. . ., О^) — точка

(k— 1)-мерного пространства;

8r £ ®г — заданное

множество.

Обозначим через X (t, 0) любое из полей X,- (t, 0).

Делаются

следующие

предположения.

0) та­

1. Поле X

(t, 0) нормально

распределено. Поле

X (t,

изменяться лишь от промежутка

Тп к

промежутку

Тр (п

^ р).

2.

Известны выборочные

значения

поля

X

(t,

0„),

t £ Т„

(я =

\TN).

3.

Выборочные значения

X (t,

0„),

t£ Тп;

X

(t,

0„),

t^lp,